2022年高考理科数学专题突破四立体几何 .pdf

学习必备欢迎下载2016 高考里数学专题突破四立体几何问题考点自测1(2013 广东 )某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是() A4 B.143C.163D6 答案B 解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V13(22112211)2143. 2(2013 课标全国 )已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l? ， l? ，则 () A 且 l B 且 lC与 相交，且交线垂直于lD与 相交，且交线平行于l答案D 解析假设 ，由 m平面 ，n平面 ，则 m n，这与已知m，n 为异面直线矛盾，那么 与 相交，设交线为l1，则 l1m，l1n，在直线m 上任取一点作n1平行于 n，那么 l1和 l 都垂直于直线m 与 n1所确定的平面，所以l1l. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载3(2014 四川 )如图， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点设点P 在线段 CC1上，直线OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是() A33，1 B63，1 C63，2 23 D2 23，1 答案B 解析根据题意可知平面A1BD平面 A1ACC1且两平面的交线是A1O，所以过点P 作交线 A1O 的垂线 PE，则 PE平面 A1BD，所以 A1OP 或其补角就是直线OP 与平面 A1BD 所成的角 . 设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP 与平面 A1BD 可以垂直当点 P 与点 C1重合时可得A1OOP6，A1C122，所以1266sin 12222，所以 sin 2 23；当点 P 与点 C 重合时，可得sin 2663. 根据选项可知B 正确4(2014 山东 )三棱锥 PABC 中， D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为V2，则V1V2 _. 答案14解析设点 A 到平面 PBC 的距离为h. D，E 分别为 PB，PC 的中点， SBDE14SPBC，V1V2VADBEVAPBC13SBDE h13SPBC h14. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载5(2014 江苏 )如图，在三棱锥P ABC 中， D，E，F 分别为棱PC，AC， AB 的中点若PAAC， PA6，BC8，DF 5.则 PA 与平面DEF 的位置关系是 _；平面BDE 与平面ABC 的位置关系是_(填“平行”或“垂直”) 答案平行垂直解析(1)因为 D，E 分别为棱PC，AC 的中点，所以 DEPA. 又因为 PA?平面 DEF， DE? 平面 DEF ，所以直线PA平面 DEF . (2)因为 D，E，F 分别为棱PC，AC，AB 的中点， PA 6，BC8，所以 DE12PA3，EF12BC4. 又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以DEF 90 ，即 DEEF. 又 PAAC，DE PA，所以 DEAC. 因为 AC EFE，AC? 平面 ABC，EF? 平面 ABC，所以 DE平面 ABC，又 DE? 平面 BDE，所以平面BDE平面 ABC. 题型一空间点、线、面的位置关系例 1(2014 安徽 )如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为8 的正方形，四条侧棱长均为217.点 G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面GEFH 平面 ABCD，BC平面 GEFH . (1)证明： GH EF；(2)若 EB2，求四边形GEFH 的面积思维点拨(1)证明 GH EF， 只需证明 EF平面 PBC， 只需证明BC EF， 利用 BC平面 GEFH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载即可； (2)求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积(1)证明因为 BC平面 GEFH ，BC? 平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFH GH，所以 GHBC. 同理可证EFBC，因此 GH EF. (2)解如图，连接AC，BD 交于点O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PAPC， O 是 AC 的中点，所以POAC，同理可得PO BD. 又 BD ACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD. 又因为平面GEFH 平面 ABCD，且 PO?平面 GEFH ，所以 PO平面 GEFH . 因为平面PBD平面 GEFH GK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2 得 EBAB KBDB 14，从而 KB14DB12OB，即 K 为 OB 的中点再由 POGK 得 GK12PO，即 G 是 PB 的中点，且GH12BC4. 由已知可得OB42，POPB2OB268326，所以 GK3. 故四边形GEFH 的面积 SGHEF2 GK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载482 318. 思维升华高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用(2013 江苏 )如图，在三棱锥SABC 中，平面SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A 作 AFSB，垂足为F，点 E，G 分别是棱SA，SC的中点求证： (1)平面 EFG 平面 ABC；(2)BCSA. 证明(1)由 ASAB，AFSB知 F 为 SB中点，则 EF AB，FGBC，又 EF FGF，AB BCB，因此平面EFG平面 ABC. (2)由平面 SAB平面 SBC，且 AFSB，知 AF平面 SBC，则 AFBC. 又 BCAB， AF ABA，则 BC平面 SAB，又 SA? 平面 SAB，因此 BCSA. 题型二平面图形的翻折问题例 2(2014 广东 )如图 (1)，四边形 ABCD 为矩形， PD平面 ABCD，AB1，BCPC2，作如图 (2)折叠，折痕EFDC.其中点 E，F 分别在线段PD， PC 上，沿 EF 折叠后点P 叠在线段 AD 上的点记为M，并且 MFCF. (1)证明： CF平面 MDF ；(2)求三棱锥MCDE 的体积思维点拨折叠后， MD 与平面 CDEF 的垂直关系不变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载(1)证明因为 PD平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 PDAD. 又因为 ABCD 是矩形， CDAD，PD 与 CD 交于点 D，所以 AD平面 PCD.又 CF? 平面 PCD，所以 ADCF，即 MDCF. 又 MFCF，MD MFM，所以 CF平面 MDF . (2)解因为 PDDC，BC2，CD1，PCD60 ，所以 PD3，由 (1)知 FDCF，在直角三角形DCF 中， CF 12CD12. 过点 F 作 FGCD 交 CD 于点 G，得 FG FCsin 60123234，所以 DEFG34，故 MEPE334334，所以 MDME2DE23 34234262. SCDE12DE DC1234138. 故 VMCDE13MD SCDE136238216. 思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化已知四边形ABCD 是矩形， AB1，BC3，将 ABC 沿着对角线AC 折起来得到AB1C 且顶点 B1在平面 ACD 上的射影 O 恰落在边 AD 上，如图所示(1)求证：平面AB1C平面 B1CD；(2)求三棱锥B1ABC 的体积 VB1 ABC. (1)证明 B1O平面 ABCD，CD? 平面 ABCD， B1OCD，又 CDAD，AD B1OO，CD平面 AB1D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载又 AB1? 平面 AB1D，AB1CD，又 AB1B1C，且 B1C CDC， AB1平面 B1CD，又 AB1? 平面 AB1C，平面 AB1C平面 B1CD. (2)解由于 AB1平面 B1CD， B1D? 平面 ABCD，所以 AB1 B1D，在 Rt AB1D 中， B1DAD2AB212，又由 B1O AD AB1 B1D 得 B1OAB1 B1DAD63，所以 VB1 ABC13SABC B1O1312136326. 题型三线面位置关系中的存在性问题例 3(2014 四川 )在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形(1)若 ACBC，证明：直线BC平面 ACC1A1；(2)设 D，E 分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB 上是否存在一点M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论思维点拨(1)先证明AA1平面ABC，可得 AA1 BC，利用 ACBC，可以证明直线BC平面 ACC1A1；(2)取 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，A1C 与 AC1交于点 O，证明四边形 MDEO 为平行四边形即可(1)证明因为四边形ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1 AB，AA1AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线，所以 AA1平面 ABC. 因为直线BC? 平面 ABC，所以 AA1BC. 又由已知， ACBC，AA1和 AC 为平面 ACC1A1内两条相交的直线，所以BC平面 ACC1A1. (2)解取线段 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，设点 O 为 A1C，AC1的交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载由已知，点O 为 AC1的中点连接 MD， OE，则 MD，OE 分别为ABC， ACC1的中位线，所以 MD 綊12AC，OE 綊12AC，因此 MD 綊 OE. 连接 OM，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE MO. 因为直线DE?平面 A1MC， MO? 平面 A1MC，所以直线DE平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点M(线段 AB 的中点 )，使直线DE平面 A1MC. 思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC. (1)求证： D1CAC1；(2)问在棱CD 上是否存在点E，使 D1E平面 A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由(1)证明在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，连接C1D， DC DD1，四边形 DCC1D1是正方形， DC1D1C. 又 ADDC，AD DD1，DC DD1D， AD平面 DCC1D1，又 D1C? 平面 DCC1D1， AD D1C. AD? 平面 ADC1，DC1? 平面 ADC1，且 ADDC1D， D1C平面 ADC1，又 AC1? 平面 ADC1，D1CAC1. (2)解假设存在点E，使 D1E平面 A1BD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载连接 AD1，AE，D1E，设 AD1 A1DM，BD AEN，连接 MN，平面 AD1E平面 A1BDMN，要使 D1E平面 A1BD，可使 MN D1E，又 M 是 AD1的中点，则 N 是 AE 的中点又易知ABN EDN， ABDE. 即 E 是 DC 的中点综上所述，当E 是 DC 的中点时，可使 D1E平面 A1BD. 题型四空间向量与立体几何例 4(2014 辽宁 )如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2， ABC DBC 120 ，E，F 分别为 AC，DC 的中点(1)求证： EFBC；(2)求二面角EBFC 的正弦值思维点拨可以 B 为原点，建立空间直角坐标系，用向量法方法一(1)证明如图 (1)，过 E 作 EOBC，垂足为O，连接 OF. (1) 由题意得ABC DBC，可证出EOC FOC. 所以EOCFOC2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载即 FOBC. 又 EOBC，EOFOO，因此 BC平面 EFO. 又 EF? 平面 EFO，所以 EFBC. (2)解如图 (1)，过 O 作 OGBF，垂足为G，连接 EG. 由平面 ABC平面 BDC，从而 EO平面 BDC. 又 OGBF，EO BF，所以 BF平面 EGO，所以 EGBF. 因此EGO 为二面角EBFC 的平面角在 EOC 中， EOOF12FC12 BC cos 30 32. 由 BGO BFC 知， OGBOBC FC 34，因此 tan EGOEOOG2，从而 sin EGO2 55，即二面角EBFC 的正弦值为255. 方法二(1)证明由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过 B 作垂直于BC 的直线为x轴， BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，(2) 易得 B(0,0,0)， A(0， 1，3)，D(3， 1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0，12，32)，F(32，12，0)，所以 EF(32，0，32)，BC(0,2,0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习必备欢迎下载因此 EF BC0.从而 EFBC，所以 EFBC. (2)解如图 (2)，平面 BFC 的一个法向量为n1(0,0,1)设平面 BEF 的法向量为n2(x，y，z)，又BF(32，12，0)， BE(0，12，32)，由n2 BF0，n2 BE0，得其中一个n2(1，3，1)设二面角EBFC 的大小为 ，且由题意知为锐角，则cos |cosn1，n2|n1 n2|n1|n2|15. 因此 sin 25255，即二面角EBFC 的正弦值为2 55. 思维升华用向量法解决立体几何问题，可使复杂问题简单化，使推理论证变为计算求解，降低思维难度使立体几何问题“公式 ” 化，训练的关键在于“归类、寻法 ” 在如图所示的几何体中，底面 ABCD 为菱形， BAD60 ，AA1綊 DD1綊 CC1BE，且 AA1AB， D1E平面 D1AC，AA1底面ABCD. (1)求二面角D1 ACE 的大小；(2)在 D1E 上是否存在一点P，使得 A1P平面 EAC，若存在，求D1PPE的值，若不存在，说明理由解(1)设 AC 与 BD 交于点 O， 如图所示建立空间直角坐标系O xyz，设 AB2，则 A(3，0,0)，B(0， 1,0)，C(3，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,2)，设 E(0， 1，t)，t0，则 ED1(0,2,2t)， CA(23， 0,0)，D1A(3， 1， 2) D1E面 D1AC，D1ECA，D1ED1A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习必备欢迎下载ED1 CA0，ED1 D1A0，解得 t3，E(0， 1,3)， AE(3， 1,3)，设平面 EAC 的法向量为m(x，y，z)，则m CA0，m AE0，23x0，3xy3z0，令 z1，y3，m(0,3,1)又平面 D1AC 的法向量 ED1(0,2， 1)， cos m， ED1m ED1|m| |ED1|22. 所以所求二面角的大小为45 . (2)假设存在点P 满足题意设D1P PE (D1ED1P)，得D1P1D1E (0，21 ，1)，A1PA1D1D1P (3， 1,0)(0，21 ，1) (3，121，1) A1P平面 EAC，A1Pm， 3 03(121)110，解得 32，故存在点P 使 A1P面 EAC，此时 D1PPE32. (时间： 70 分钟 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习必备欢迎下载1(2014 重庆 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A54 B60 C66 D72 答案B 解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图 (1)中，直角梯形ABPA1的面积为12(25)414，计算可得A1P5.直角梯形BCC1P 的面积为12(25)5352.因为 A1C1平面 A1ABP，A1P? 平面 A1ABP，所以 A1C1A1P，故 Rt A1PC1的面积为1253152. 又 Rt ABC 的面积为12436，矩形 ACC1A1的面积为5315，故几何体ABCA1PC1的表面积为1435215261560. 2已知 m，n 分别是两条不重合的直线，a，b 分别垂直于两不重合平面 ， ，有以下四个命题：若 m ，nb，且 ，则 mn；若 m a，nb，且 ，则 mn；若 m ，nb，且 ，则 mn；若 m ，nb，且 ，则 mn. 其中正确的命题是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习必备欢迎下载ABCD答案D 解析对于， b ， nb， n ，m ，且 ，mn，错误；对于， a，b分别垂直于两不重合平面 ， ， ，ab，ma，nb，mn，正确；对于， nb，b ，n ，m ， ，mn，正确；对于，m ，b ， ，mb， nb， m n 或 mn 或 m，n 相交，不正确 所以正确3如图梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，ADBCAB234，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论：DF BC；BDFC；平面 DBF 平面 BFC；平面 DCF 平面 BFC. 在翻折过程中，可能成立的结论是_(填写结论序号) 答案解析因为 BC AD，AD 与 DF 相交不垂直，所以BC 与 DF 不垂直，则不成立； 设点 D 在平面 BCF 上的射影为点P，当 BP CF 时就有BDFC，而 ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点 P 落在 BF 上时， DP? 平面 BDF ，从而平面BDF平面 BCF，所以正确；因为点D 的射影不可能在FC 上，所以平面DCF 平面 BFC 不成立，即错误故答案为. 4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点F是棱 CD 上的动点，当CFFD_时， D1E平面 AB1F. 答案1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习必备欢迎下载解析如图，连接A1B，则 A1B 是 D1E 在平面 ABB1A1内的射影 AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面 AB1F? D1EAF. 连接 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影， D1EAF? DEAF. ABCD 是正方形， E 是 BC 的中点，当且仅当 F 是 CD 的中点时， DEAF，即当点 F 是 CD 的中点时， D1E平面 AB1F，CFFD 1 时， D1E平面 AB1F. 5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， E，F，G，H 分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1) GH 是 A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又 B1C1BC，GH BC， B，C， H， G 四点共面(2) E，F 分别为 AB，AC 的中点， EF BC， EF?平面 BCHG ，BC? 平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G 与 EB 平行且相等，四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB. A1E?平面 BCHG，GB? 平面 BCHG， A1E平面 BCHG. A1E EFE，平面 EFA1平面 BCHG. 6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点在棱 C1D1上是否存在一点F，使 B1F平面 A1BE？并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习必备欢迎下载解在棱 C1D1上存在点F，使 B1F平面 A1BE. 因为平面ABB1A1平面 DCC1D1，所以 A1B 与平面 A1EB 和平面 DCC1D1的交线平行， 如图所示，取 CD 的中点 G，连接 EG，BG，则 EG，BG 就是平面A1BE 分别与平面DCC1D1和平面 ABCD 的交线取 C1D1的中点 F， CC1的中点 H，连接 HF ，B1F， B1H. 因为 HFEG，所以 HF平面 A1EB. 因为 A1B1C1D1HE，所以 A1，B1， H，E 四点共面，又平面 BB1C1C平面 AA1D1D，所以 B1H A1E，从而 B1H平面 A1EB，因为 B1H HF H，所以平面B1HF 平面 A1EB，所以 B1F平面 A1EB. 7(2014 福建)在平面四边形ABCD 中，AB BDCD1，ABBD，CDBD.将 ABD 沿 BD 折起，使得平面ABD平面 BCD，如图所示(1)求证： ABCD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线AD 与平面 MBC 所成角的正弦值(1)证明平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AB? 平面 ABD，ABBD， AB平面 BCD. 又 CD? 平面 BCD，AB CD. (2)解过点 B 在平面 BCD 内作 BEBD，如图由(1)知 AB平面 BCD， BE? 平面 BCD，BD? 平面 BCD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载 ABBE，ABBD. 以 B 为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，12，12)，则BC(1,1,0)，BM(0，12，12)，AD(0,1， 1)设平面 MBC 的法向量n(x0， y0， z0)，则n BC0，n BM 0，即x0y0 0，12y012z0 0，取 z01，得平面MBC 的一个法向量n (1， 1,1)设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，则 sin |cosn， AD|n AD|n| |AD|63，即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为63. 8如图所示，平面ABDE平面ABC， ABC 是等腰直角三角形，AC BC4， 四边形 ABDE 是直角梯形， BDAE， BD BA，BD12AE2，O，M 分别为 CE，AB 的中点(1)求证： OD平面 ABC；(2)求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值；(3)能否在 EM 上找一点N，使得 ON平面 ABDE？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由(1)证明取 AC 中点 F，连接 OF，FB. F 是 AC 中点， O 为 CE 中点， OF EA 且 OF12EA. 又 BD AE 且 BD12AE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载 OF DB ，OF DB，四边形 BDOF 是平行四边形， ODFB. 又FB? 平面 ABC，OD?平面 ABC， OD平面 ABC. (2)解平面 ABDE平面ABC，平面 ABDE 平面 ABCAB，DB? 平面 ABDE，且 BDBA， DB平面 ABC. BD AE，EA平面 ABC. 如图所示，以C 为原点，分别以CA，CB 所在直线为x， y轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 ACBC4，C(0,0,0)， A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)， CD (0,4,2)，OD (2,4,0)，MD(2,2,2)设平面 ODM 的法向量为n(x，y，z)，则由 nMD，nOD，可得2x4y0，2x2y2z0.令 x2，得 y1， z1. n(2,1,1)设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ，则 sin |n CD|n|CD| 2，1， 1 0，4，2 |2212 12 02422266 2 53010. 直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为3010. (3)解当 N 是 EM 中点时， ON平面 ABDE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载方法一取 EM 中点 N，连接 ON，CM， ACBC，M 为 AB 中点， CMAB. 又平面 ABDE 平面 ABC， 平面 ABDE平面 ABCAB， CM? 平面 ABC， CM平面 ABDE. N 是 EM 中点， O 为 CE 中点， ON CM，ON平面 ABDE. 方法二由(2)设 N(a，b，c)， MN(a2， b2，c)，NE (4a， b,4c)点 N 在 ME 上，MN NE，即(a2，b2，c) (4a， b,4 c)，a 24a ，b 2b ，c4c ，解得a4 2 1，b2 1，c4 1. N(4 2 1，2 1，4 1) BD (0,0,2)是平面 ABC 的一个法向量， ON BD，4 12，解得 1. MNNE，即 N 是线段 EM 的中点，当 N 是 EM 的中点时， ON平面 ABDE . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页