2022年高考数学解析几何专题复习：椭圆双曲线抛物线直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程轨迹问题等 .pdf

高考数学圆 , 椭圆, 双曲线 , 抛物线 , 直线与圆 , 直线与圆锥曲线等共五大部分专项突破精选习题集汇编及详解答案第一部分椭圆题号12345 答案一、选择题1(2009 年全国卷 )已知椭圆C：x22 y2 1 的右焦点为F，右准线l，点 Al，线段 AF 交 C 于点 B.若FA3FB，则 |AF|() A.2B2C.3D3 2直线 l：ykx1(k0)，椭圆 E：x2my241.若直线 l 被椭圆 E 所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E 所截弦长不是d 的直线是 () Akxy10 Bkxy10 Ckxy10 Dkxy0 3在椭圆上一点A 看两焦点F1、F2的视角为直角，设AF1的延长线交椭圆于点B，又|AB|AF2|，则椭圆的离心率e 可能为 () A2 2 2 B.63 C.21 D.32 4B1、B2是椭圆短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若 |F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则|PF1|OB2|的值是 () A.2 B.22C.32D.235.(2009 年湖北卷 )如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和 2c2分别表示椭轨道和的焦距，用2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2a1 c1 a2c2 c1a2a1c2c1a1c2a2. 其中正确式子的序号是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页ABCD二、填空题6(2009 年上海卷 )已知 F1、F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点， 且PF1PF2.若 PF1F2的面积为9，则 b_. 7如果方程x2 ky22 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是 _8如果椭圆x236y29 1 上的弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是_三、解答题9(2009 年广东卷 )已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F1和 F2，椭圆 G 上一点到F1和 F2的距离之和为12.圆 Ck：x2y22kx4y21 0(kR)的圆心为点Ak. (1)求椭圆 G 的方程；(2)求 AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由10(2009 年江西卷 )如右图所示，已知圆G：(x 2)2y2r2是椭圆x216y21 的内接 ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点(1)求圆 G 的半径 r；(2)过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于E、F 两点，证明：直线EF 与圆 G 相切参考答案1解析： 过点 B 作 BMl 于 M，设右准线l 交 x 轴于点N，易知 FN1，由题意 FA3FB，故 |BM|23.又由椭圆的第二定义，得|BF|222323， |AF|2. 答案： A 2解析： 因为 A、B、C 三个选项分别是直线l 关于 x 轴、原点、 y 轴的对称直线，又椭圆E 关于 x轴、原点、 y 轴都对称，所以A、B、C 三个选项所表示的直线被椭圆E 所截弦长都是d.故选 D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页答案： D 3解析： 由题意知 |AF1|AF2|. 2(|AF1|2|AF2|2)(|AF1|AF2|)2. 24c24a2.eca220.707.对照备选答案，只有B 可能答案： B 4解析： 依题意 2bca2b2c2，bc22a，设 P(x0， y0)，则 x0 c，|y0|PF1|. c2a2y20b21，y20b21c2a2b2a212，|PF1|OB2|22. 答案： B 5解析： 由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知 正确，故应选B. 答案： B 6解析： 依题意，有|PF1|PF2| 2a|PF1| |PF2|18|PF1|2 |PF2|24c2，可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3. 答案： 3 7解析： 椭圆方程化为x22y22k1.焦点在 y 轴上，则2k2，即 k1.又 k0，0k1. 答案： 0k1 8x2y 80 9解析： (1)设椭圆 G 的方程为：x2a2y2b21(ab 0)半焦距为 c，则2a12ca32，解得a6c33， b2a2c236279，所求椭圆G 的方程为：x236y291. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页(2)点 Ak的坐标为 (k,2) SAkF1F212F1F2212 6 3 263. (3)若 k0，由 62 0212k 021 1512k0 可知点 (6,0)在圆 Ck外，若 k0，由 (6)20212k0 211512k0 可知点 (6,0)在圆 Ck外；不论 k 为何值圆Ck都不能包围椭圆G. 10 解析：(1)设 B(2 r， y0)， 过圆心 G 作 GDAB 于 D， BC 交长轴于H 由GDADHBAH得r36 r2y06r，即 y0r6r6 r而点 B(2r，y0)在椭圆上，y2012r21612 4r r216r2 r616由 式得 15r28r12 0，解得 r23或 r 65(舍去 )(2)设过点 M(0,1)与圆 (x2)2y249相切的直线方程为：y 1kx则23|2k 1|1k2，即 32k236k50解得 k194116， k294116将代入x216y21 得(16k21)x232kx0，则异于零的解为x32k16k21，设 F(x1， k1x11)， E(x2，k2x2 1)，则 x132k116k211，x232k216k221则直线 FE 的斜率为： kEFk2x2 k1x1x2 x1k1k2116k1k234于是直线FE 的方程为：y32k2116k211134x32k116k211，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页即 y34x73，则圆心 (2,0)到直线 FE 的距离 d3273191623，故结论成立第二部分双曲线题号12345 答案一、选择题1(2009 年全国卷 )双曲线x26y231 的渐近线与圆 (x3)2 y2 r2(r0)相切，则r() A.3B2C3D6 2(2009 年江西卷 )设 F1和 F2为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A.32B2 C.52D3 3(2009 年福建卷 )若双曲线x2a2y231(a0)的离心率为2，则 a 等于 () A2 B.3 C.32D1 4(2008 年重庆卷 )已知双曲线x2a2y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线为ykx(k0)，离心率e5k，则双曲线方程为() A.x2a2y24a21 B.x2a2y25a21 C.x24b2y2b21 D.x25b2y2b21 5“ ab0”是“曲线ax2by21 为双曲线”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页二、填空题6(2008 年上海春招 )已知 P 是双曲线x2a2y291 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y0.设 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF23，则|PF1_. 7(2008 年海南宁夏卷 )双曲线x29y216 1 的右顶点为A，右焦点为F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则 AFB 的面积为 _8已知 F1、F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若 ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_三、解答题9已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点 (4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1 MF2；(3)求 F1MF2的面积10(2009 年上海卷 )双曲线 C：x22y21，设过 A(32， 0)的直线 l 的方向向量e (1， k)(1)当直线 l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与 m 的距离；(2) 证明：当k22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到达直线l的距离为6. 参考答案1解析： 由圆心到渐近线的距离等于r，可求 r3. 答案： A2解析： 由 tan6c2b33有 3c24b24(c2a2)，则 eca2，故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页答案： B3解析： 由x2a2y23 1可知虚半轴b3，而离心率ecaa23a2，解得 a1 或 a 1(舍去 )，选 D. 答案： D4解析： eca5k?ba kca5ka2b2c2, 所以 a24b2. 答案： C5解析： 由 ab0，得 a0，b 0 或 a0，b0. 由此可知a 与 b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然答案： C6解析： 由题知 a 1，故|PF1|PF2|2，|PF1|PF2| 2325. 答案： 5 7解析： 双曲线的右顶点坐标A(3,0) ，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y43x，建立方程组y43x5x29y2161，得交点纵坐标y3215，从而 SAFB12232153215. 答案：32158解析： ABF2是等腰三角形，顶角为AF2B. ABF2是锐角三角形?12AF2B 45 ?b2a2c tan 45 . 由b22ac1? c2 a2 2ac? e22e10 ? 0e12，又 e1， e 的取值范围是：(1,12)答案： (1,12) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页9解析： (1)由 e2?ca2? c22a2? a2b2. 设双曲线方程为x2y2 ，将点 (4，10)代入得： 6，故所求双曲线方程为x2y26. (2)c212，焦点坐标为 ( 2 3，0) 将 M(3 ， m)代入 x2 y2 4 得： m23. 当 m3时， MF1(233，3)，MF2(23 3，3) MF1 MF2(3)2(2 3)2(3)20，MF1MF2，当 m3时，同理可证MF1MF2. (3)SF1MF212 |2c|m| 12 4 3 36. 10解析： (1)双曲线 C 的渐近线m：x2 y0. 直线 l 的方程 x 2y320 直线 l 与 m 的距离 d32126. (2)证明： 法一 ：设过原点且平行与l 的直线 b：kxy0，则直线 l 与 b 的距离 d32|k|1k2当 k22时， d6. 又双曲线C 的渐近线为x 2y0，双曲线 C 的右支在直线b 的右下方，双曲线 C 右支上的任意点到直线l 的距离大于6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页故在双曲线C 的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为6. 法二 ：双曲线 C 的右支上存在点Q(x0，y0)到直线 l 的距离为6，则|kx0y03 2k|1k26，x202y202，由得 y0kx032k 6 1k2，设 t3 2k 6 1k2. 当 k22，t32k 6 1k20. 将 y0kx0t 代入 得(12k2)x204ktx02(t21)0(*) k22，t0， 12k20， 4kt 0， 2(t21)0 方程 (*) 不存在正根，即假设不成立故在双曲线C 的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为6. 第三部分抛物线题号12345 答案一、选择题1 (2010 年韶关一模 )若抛物线 y22px(p0)的焦点与双曲线x212y24 1的右焦点重合， 则 p 的值为 () A2B4 C8 D .42 2(2010 年辽宁卷 )已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点，则点P 到点 (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.172B3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页C.5 D.923(2010 年梧州模拟 )抛物线 y x2上的点到直线4x3y80 距离的最小值是() A.43B.75C.85D3 4设抛物线y28x 的准线与x 轴交于点Q，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是() A.12，12B2,2 C1,1 D4,4 5(2010 年全国卷 )已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x 相交于 A、B 两点， F 为 C 的焦点，若 |FA|2|FB|，则k () A.13B.23C.23D.2 23二、填空题6(2010 年宁夏海南卷)设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，直线 l 与抛物线C 相交于A、B 两点若 AB 的中点为 (2,2)，则直线l 的方程为 _7(2010 年福建卷 )过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾角为45 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_. 8对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y 轴上焦点在x 轴上抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6抛物线的通径的长为5 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 能使这个抛物线方程为y210 x 的条件是 _(要求填写合适条件的序号) 三、解答题9(2010 年揭阳联考 )已知 M(0， 2)，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴的正半轴，点P 在直线 AB 上，且满足 APPB，MA AP 0. (1)当点 A 在 x 轴上移动时，求动点P 的轨迹 C 的方程；(2)过(2,0)的直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点，又过E、F 作轨迹 C 的切线 l1、l2，当 l1l2，求直线 l的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页10.(2010 年山东卷 )如右图所示， 设抛物线方程为x22py(p0)，M 为直线 y 2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A、B. (1)求证： A、 M、B 三点的横坐标成等差数列；(2) 已知当M点的坐标为 (2， 2p) 时，|AB410，求此时抛物线的方程；参考答案1C2解析： 依题设 P 在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则 F12，0，依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP|PF|，则点 P 到点 A(0,2) 的距离与P到该抛物线准线的距离之和d |PF|PA|AF|122 22172. 答案： A3解析： 设抛物线y x2上一点为 (m， m2)，该点到直线4x3y 80 的距离为|4m 3m2 8|5，当 m23时，取得最小值为43，故选 A. 答案： A4解析： y28x， Q(2,0)(Q 为准线与x 轴的交点 )，设过 Q 点的直线l 方程为 y k(x 2)l 与抛物线有公共点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页方程组y28x，yk x 8有解，即 k2x2(16k28)x64k20 有解 (16k2 8)24k264k20，即 k214. 12k12. 答案： A5解析：设抛物线C：y28x 的准线为l：x 2 直线 yk(k2)(k 0)恒过定点P(2,0)，如图所示过A、B分别作 AM l 于 M， BNl 于 N，由 |FA|2|FB|，则 |AM| 2|BN|，点 B 为 AP 的中点，连结OB. |OB|12|AF|，|OB|BF|点 B 的横坐标为1，故点 B 的坐标为 (1,22)，k2 201 2223，选 D. 答案： D6解析： 抛物线的方程为y2 4x，A(x1，y2)，B(x2，y2)，则有 x1x2，y214x1y224x2. 两式相减得，y21y224(x1x2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页y1y2x1x24y1y21. 直线 l 的方程为y2 x2，即 yx. 答案： yx 7解析： 由题意可知过焦点的直线方程为yxp2，联立有y22pxyxp2? x23pxp240，又|AB|1123p24p248? p2. 答案： 2 8解析： 由抛物线方程y210 x 可知 满足条件答案： 9解析： (1)设 P(x， y)， A(xA,0)，B(0，yB)(yB0)则AP (xxA，y)，PB (x，yBy)，由APPB得 xA2x，yB2y，又MA(xA,2)，AP (x xA，y)，即MA(2x,2)，AP (x，y)，由MA AP0 得 x2y(y0)(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为： yk(x 2)，设 E(x1， y1)，F(x2，y2)，因为 y2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2. 由方程组x2yyk x 2得 x2kx2k0，所以 x1x2k，x1 x2 2k，当 l1l2时， 2x1 2x2 1，所以 k18. 所以，直线l 的方程是 y18(x2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页10解析： (1)证明：由题意设A x1，x212p， B x2，x222p，x1x2，M(x0， 2p)由 x2 2py 得 yx22p，得 yxp，所以 kMAx1p， kMBx2p. 因此直线MA 的方程为y 2px1p(xx0)，直线 MB 的方程为 y2px2p(x x0)所以x212p 2px1p(x1x0)，x222p2px2p(x2x0) 由、 得x1x22x1x2x0，因此 x0 x1x22，即 2x0 x1x2. 所以 A、 M、B 三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当 x0 2 时，将其代入 、并整理得：x214x14p20，x224x24p20，所以 x1，x2是方程 x24x4p20 的两根，因此 x1x24，x1x2 4p2，又 kABx222px212px2x1x1x22px0p，所以 kAB2p. 由弦长公式得|AB 1k2x1x22 4x1x214p21616p2. 又|AB 410，所以 p1 或 p2，因此所求抛物线方程为x22y 或 x24y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页第四部分直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1过点 (2,4)作直线与抛物线y2 8x 只有一个公共点，这样的直线有() A1 条B2 条C3 条D4 条解析： 数形结合法，同时注意点在曲线上的情况答案： B2已知双曲线C： x2y241，过点 P(1,1)作直线 l，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有 () A1 条B2 条C3 条D4 条解析： 数形结合法，与渐近线平行、相切答案： D3与直线 2xy40 平行的抛物线yx2的切线方程为() A2xy3 0 B2xy30 C2xy1 0 D2xy10 答案： D4过抛物线y2 4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程是() Ay22(x 1) By2 x1 Cy2x12D y2 2x1 答案： A5已知对 kR，直线 ykx10 与椭圆x25y2m1 恒有公共点，则实数m 的取值范围是() A(0,1) B(0,5) C1,5)(5， ) D1,5) 解析：直线 ykx10 恒过点 (0,1)， 仅当点 (0,1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页以，1m1 且 m0，得 m1 且 m 5. 答案： C 二、填空题6 (2008 年全国卷 )已知 F 是抛物线C： y24x 的焦点，过 F 且斜率为1 的直线交C 于 A、 B 两点设|FA|FB，则|FA与|FB的比值等于 _解析： 设 A(x1，y1)、B(x2， y2)，由yx1y24x? x2 6x10? x132 2，x232 2，(x1x2)；则由抛物线的定义知|FA|FBx11x214 2 24 2 222223 2 2. 答案： 32 2 7已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则l 的方程是 _解析： 设直线 l 与椭圆交于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率ky1 y2x1 x2x1 x24 y1y2x1x224y1y2244212. 由点斜式可得l 的方程为x2y80. 答案： x2y80 8. AB 为抛物线y22px(p0)的焦点弦，若 |AB|1，则 AB 中点的横坐标为_；若 AB 的倾斜角为 ，则 |AB|_. 解析： 设过 Fp2，0 的直线为yk xp2，k0，代入抛物线方程，由条件可得结果答案：1p22psin2三、解答题9已知抛物线y2 2px(p0)的焦点为F，A 是抛物线上横坐标为4 且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为B，OB 的中点为M. (1)求抛物线方程；(2)过 M 作 MNFA，垂足为N，求点 N 的坐标解析： (1)抛物线 y2 2px 的准线 xp2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页于是， 4p25，p2.抛物线方程为y2 4x. (2)点 A 的坐标是 (4,4) ，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA43.又 MNFA， kMN34，则 FA 的方程为y43(x1)，MN 的方程为y234x，解方程组y234x，y43x1 ，得x85，y45.N85，45. 10已知椭圆E：xa2y2b21(ab 0)，以 F1(c,0)为圆心，以ac 为半径作圆F1，过点 B2(0，b)作圆 F1的两条切线，设切点为M、N. (1)若过两个切点M、 N 的直线恰好经过点B1(0， b)时，求此椭圆的离心率；(2)若直线 MN 的斜率为 1，且原点到直线MN 的距离为4( 21)，求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN 的斜率k 在区22，33内取值？若存在，求出椭圆E 的离心率 e 的取值范围；若不存在，请说明理由解析： (1)圆 F1的方程 (xc)2y2(ac)2，因为 B2M、B2N 与该圆切于M、N 点，所以B2、M、F1、N 四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是xc22 yb22c2b24，从而两个圆的公共弦MN 的方程为cxbyc2(ac)2，又点 B1在 MN 上，a2b22ac0，b2a2c2，2a22acc20，即 e22e20，e31.(负值已舍去 ) (2)由(1)知， MN 的方程为cxbyc2(ac)2，由已知cb 1，bc，而原点到MN 的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页d|c2 ac2|c2b2|2aca2|a|2c a|(21)a，a4， b2 c28，所求椭圆方程是x216y281；(3)假设这样的椭圆存在，由(2)则有22cb33，33cb22，13c2b212， 13c2a2 c212，故得 2a2c2c23，3a2c24，求得12e33，即当离心率取值范围是12，33时，直线MN的斜率可以在区间22，33内取值第五部分曲线与方程及轨迹问题一、选择题1(2008 年北京卷 )若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点 P 的轨迹为 () A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析： 把 P 到直线 x 1 向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义答案： D 2 一条线段AB 的长为 2， 两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹是() A双曲线B双曲线的一分支C圆D椭圆答案： C 3已知 |AB|3，A、B 分别在 y 轴和 x 轴上运动， O 为原点， OP13OA23OB，则动点P 的轨迹方程是() A.x24y21 Bx2y24 1 C.x29y21 D x2y29 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页答案： A 4已知两定点F1(1,0)、F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与 |PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹是 () A椭圆B双曲线C抛物线D线段答案： D 5.设过点 P()x，y的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、B 两点，点Q 与点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若BP2PA，且 OQ AB1，则 P 点的轨迹方程是() A3x232y21()x0，y0B3x232y21()x0，y0C.32x23y21()x0，y0D.32x2 3y21()x0，y0解析：由BP2PA及 A，B 分别在 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上知，A(32x,0)，B(0,3y)，AB(32x,3y)，由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知， Q(x，y)，OQ(x，y)，则 OQ AB32x，3y (x，y)32x2 3y21(x0，y0)答案： D 二、填空题6已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P 满足 |PA|2|PB|，则点 P 的轨迹方程为：_. 解析： 设动点 P 的坐标为P(x，y)，由|PA|2|PB|?x22y22x12 y2平方整理得：x2y24x0，故点 P 的轨迹方程是x2y24x0. 答案： x2y24x0 7一动圆与两圆M ： x2 y2 1 和 N： x2 y2 8x 12 0 都外切，则动圆圆心的轨迹为_ 答案： 双曲线 4(x2)2415y21 的左支8过抛物线x24y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A、 B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是_ 答案： x22y 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页三、解答题9. (2009 年福建卷 )已知直线x2y20 经过椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 和上顶点D，椭圆C 的右顶点为B，点 S是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线AS、BS 与直线 l：x103分别交于M、N 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求线段 MN 的长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T，使得 TSB 的面积为15？若存在，确定点 T 的个数，若不存在，说明理由解析： (1)由已知得，椭圆C 的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，a2，b1，故椭圆 C 的方程为x24y21. (2)直线 AS的斜率 k 显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为 yk(x2)，从而 M103，16k3，由yk x2x24y21得(14k2)x216k2x16k240. 设 S(x1，y1)，则 (2) x116k2414k2得 x128k214k2，从而 y14k14k2，即 S28k214k2，4k1 4k2，又 B(2,0)，由y14kx2x103得x103y13k，N103，13k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页故|MN|16k313k，又 k0，|MN|16k313k216k313k83. 当且仅当16k313k，即 k14时等号成立k14时，线段MN 的长度取最小值83. (3)由(2)可知，当MN 取最小值时，k14，此时 BS 的方程为x y20，S65，45，|BS|4 25，要使椭圆C 上存在点 T，使得 TSB的面积等于15，只需 T 到直线 BS的距离等于24，所以 T 在平行于BS 且与 BS 距离等于24的直线 l 上设直线 l：xy t0，则由|t2|224，解得 t32或 t52. 当 t32时，由x24y21xy320得 5x212x50，由于 440，故 l与椭圆 C 有两个不同的支点；当 t52时，由x24y21xy520得 5x220 x210，由于 200，故直线l与椭圆没有交点综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使 TSB的面积为15. 10(2009 年安徽卷 )点 P(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，x0acos ，y0bsin ，0 2.直线l2与直线 l1：x0a2xy0b2y1 垂直， O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为 ，直线 l2的倾斜角为 . (1)证明：点P 是椭圆x2a2y2b21 与直线 l1的唯一交点；(2)证明： tan ，tan ， tan 构成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页证明 ：(1)法一 ：由x0a2xy0b2y1 得 yb2a2y0(a2x0 x)，代入椭圆x2a2y2b21，得1a2b2x20a4y20 x22b2x0a2y0 xb2y201 0. 将x0acos y0bsin ，代入上式，得 x22acos xa2cos 2 0，从而 xacos . 因此，方程组x2a2y2b21，x0a2xy0b2y1有唯一解xx0yy0，即直线l1与椭圆有唯一交点P. 法二 ：显然 P 是椭圆与l1的交点，若Q(acos 1，bsin 1)，012 是椭圆与l1的交点，代入 l1的方程cos axsin by1，得 cos cos 1sin sin 11，即 cos( 1) 1， 1，故 P 与 Q 重合法三 ：在第一象限内，由x2a2y2b21 可得 ybaa2x2，y0baa2x20，椭圆在点P 处的切线斜率k y(x0)bx0aa2x20b2x0a2y0，切线方程为yb2x0a2y0(xx0)y0，即x0 xa2y0yb21. 因此， l1就是椭圆在点P 处的切线根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线l1的唯一交点(2)tan y0 x0batan ，l1的斜率为x0b2y0a2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页l2的斜率为tan y0a2x0b2abtan ，由此得 tan tan tan2 0，tan ，tan ，tan 构成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页