2022年高考数学一轮复习教学案基本不等式谢丹军 .pdf

学习必备欢迎下载第四节基本不等式一、基本不等式abab21基本不等式成立的条件：a0， b0. 2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号二、几个重要的不等式a2b22ab(a， bR)；baab2(a， b 同号 ) abab22(a，bR)；ab22a2b22(a ，bR)三、算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy 有最小值是2p.( 简记：积定和最小 ) (2) 如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最大值是p24.( 简记：和定积最大) 小题能否全取 1( 教材习题改编)函数 yx1x(x 0)的值域为 ( ) A( ， 2 2 ，)B(0，)C2 ， ) D(2，)解析：选C x0， yx1x2，当且仅当x1 时取等号2已知 m0 ，n0，且 mn 81，则 m n的最小值为 ( ) A18 B36 C81 D243 解析：选A m0 ，n0， m n2mn 18. 当且仅当m n9 时，等号成立3( 教材习题改编)已知 0 x1，则 x4x1的最小值为 _解析： x4x1x14x114 15. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载当且仅当x14x1，即 x3 时等号成立答案： 5 5已知 x0，y0，lg x lg y 1，则 z2x5y的最小值为 _解析：由已知条件lg x lg y 1，可得 xy10. 则2x5y2 10 xy2，故2x5ymin2，当且仅当2y5x 时取等号又xy10，即 x2，y5 时等号成立答案： 2 1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2ab，abab22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 ab 的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab 逆用就是 aba2b22；a b2ab(a，b0) 逆用就是 abab22(a ， b0) 等还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等利用基本不等式求最值典题导入 例 1 (1) 已知 x0，则 f(x) 24x x 的最大值为 _(2)(2012 浙江高考) 若正数 x， y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 ( ) A.245B.285C5 D6 自主解答 (1) x 0， x 0，f(x)24xx24xx. 4x( x) 24 4，当且仅当 x4x，即 x 2 时等号成立f(x)24xx24 2，f(x)的最大值为 2. (2) x 0，y 0，由 x 3 y 5 xy 得151y3x 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载 3x 4 y 15(3x 4y) 1y3x153xy4 912yx135153xy12yx1351523xy12yx5 ( 当且仅当x 2 y 时取等号 ) ， 3x 4 y 的最小值为5. 答案 (1) 2 (2)C 本例 (2) 条件不变，求xy 的最小值解： x 0，y 0，则 5 xy x 3 y2x3y，xy1225，当且仅当x 3 y 时取等号xy 的最小值为1225. 由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值 在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形， 然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件以题试法1(1) 当 x0 时，则 f(x)2xx21的最大值为 _(2)(2011 天津高考) 已知 log2a log2b1，则 3a9b的最小值为 _(3) 已知 x0，y0，xy x 2y，若 xym 2 恒成立，则实数m的最大值是 _解析： (1) x 0， f(x)2xx212x1x221，当且仅当x1x，即 x1 时取等号(2) 由 log2a log2b1 得 log2(ab) 1，即 ab2， 3 a 9 b 3 a 3 2 b23a2b2( 当且仅当3a32b，即 a2b 时取等号 ) 又 a 2 b22ab4(当且仅当a 2 b 时取等号 ) ，3a 9 b232 18. 即当 a 2 b 时， 3 a 9 b 有最小值18. (3) 由 x0，y 0，x y x 2y 2 2xy，得 x y8，于是由m 2 xy 恒成立，得m28，即 m 10. 故 m 的最大值为10. 答案： (1)1 (2)18 (3)10 基本不等式的实际应用典题导入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载 例 2 (2012江苏高考 ) 如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx120(1 k2)x2(k 0) 表示的曲线上，其中k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 自主解答 (1) 令 y0，得 kx120(1 k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故 x20k1k220k1k20210，当且仅当k1 时取等号所以炮的最大射程为10 千米(2) 因为 a0，所以炮弹可击中目标? 存在 k0，使 3.2 k a 120(1 k 2 )a2 成立? 关于 k 的方程 a 2 k220aka2640 有正根? 判别式 ( 20a)24a2(a264)0? a6.所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1) 问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2) 当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2(2012福州质检) 某种商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件(1) 据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元公司拟投入16(x2600) 万元作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解： (1) 设每件定价为t 元，依题意，有8t 2510.2t 258，整理得 t265t 1 0000，解得25t 40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载(2) 依题意， x25 时，不等式 ax258 5016(x2600)15x 有解，等价于 x25 时，a150 x16x15有解150 x16x2 150 x16x10(当且仅当x30 时，等号成立) ，a10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元1已知 f(x) x1x2(x 0) ，则 f(x) 有 ( ) A最大值为0 B最小值为0 C最大值为4 D最小值为4 解析：选 C x0， f(x) x1x2 22 4，当且仅当 x1x，即 x 1 时取等号2(2013太原模拟) 设 a、bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：ab22a2b22，则p 是 q 成立的 ( ) A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B 命题 p：(a b)20? a b；命题 q： (a b)20. 显然，由p 可得 q 成立，但由 q 不能推出 p 成立，故p 是 q 的充分不必要条件3函数 yx22x1(x1) 的最小值是 ( ) A232 B232 C23 D2 解析：选A x1， x10. yx22x1x22x2x 2x1x22x 12x13x1x122x13x1 x13x12 2 x13x12232. 当且仅当x13x1，即 x13时，取等号4(2012陕西高考) 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab) ，其全程的平均时速精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载为 v，则 ( ) Aavab Bvab C.abvab2Dva b2解析： 选 A 设甲、乙两地的距离为s，则从甲地到乙地所需时间为sa，从乙地到甲地所需时间为sb，又因为ab，所以全程的平均速度为v2ssasb2aba b2ab2ba，即 av0，b0，且不等式1a1bkab0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A0 B4 C 4 D 2 解析：选C 由1a1bkab0 得 kab2ab，而ab2abbaab24(a b 时取等号) ，所以a b2ab 4，因此要使kab2ab恒成立，应有k 4，即实数k 的最小值等于 4. 7已知 x，y 为正实数，且满足4x3y12，则 xy 的最大值为 _解析： 124x3y24x3y，xy3. 当且仅当4x3y，4x3y12，即x32，y2时xy 取得最大值3. 答案： 3 8已知函数f(x) xpx1(p 为常数，且p0) 若 f(x) 在(1 ， ) 上的最小值为4，则实数 p 的值为 _解析：由题意得x10，f(x) x1px112p1，当且仅当xp 1 时取等号，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载因为 f(x) 在(1 ， ) 上的最小值为4，所以 2p14，解得 p94. 答案：949(2012朝阳区统考) 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y( 单位：万元 ) 与机器运转时间x( 单位：年 ) 的关系为 y x218x25(x N*) 则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x 年的年平均利润为yx18 x25x，而 x0，故yx18 2258，当且仅当x5 时，年平均利润最大，最大值为8 万元答案： 5 8 10已知 x0， a 为大于 2x 的常数，(1) 求函数 yx(a 2x) 的最大值；(2) 求 y1a2xx 的最小值解： (1) x0，a2x，yx(a 2x) 122x(a 2x) 122xa2x22a28，当且仅当xa4时取等号，故函数的最大值为a28. (2)y 1a2xa 2x2a22 12a22a2. 当且仅当xa22时取等号故 y1a2xx 的最小值为2a2. 11正数 x，y 满足1x9y 1. (1) 求 xy 的最小值；(2) 求 x2y 的最小值解： (1) 由 11x9y2 1x9y得 xy36，当且仅当1x9y，即 y 9x18 时取等号，故xy的最小值为36. (2) 由题意可得x2y(x 2y)1x9y192yx9xy19 2 2yx9xy1962， 当且仅当2yx9xy，即 9x22y2时取等号，故x 2y 的最小值为1962. 12为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会首批计划用100 万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20 元已知建筑第5 层楼房时，每平方米建筑费用为800 元(1) 若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元 ( 综合费用是建筑费用与购地费用之和) ，写出 y f(x) 的表达式；(2) 为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载每平方米多少元？解： (1) 由题意知建筑第1 层楼房每平方米建筑费用为720 元，建筑第 1 层楼房建筑费用为7201 000 720 000( 元) 72 ( 万元 ) ，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高201 000 20 000( 元 ) 2( 万元 ) ，建筑第 x 层楼房的建筑费用为72(x 1)2 2x70( 万元 ) ，建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为yf(x)72xxx122100 x271x100，综上可知yf(x)x271x100(x1， xZ)(2) 设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x) ，则g(x) fx10 0001 000 x10fxx10 x2 71x100 x10 x1 000 x7102 10 x1 000 x710910. 当且仅当10 x1 000 x，即 x10 时等号成立综上可知应把楼层建成10 层，此时平均综合费用最低，为每平方米910 元1(2012浙江联考 ) 已知正数x，y 满足 x 22xy(x y) 恒成立， 则实数 的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 解析： 选 B 依题意得x22xyx (x 2y) 2(x y) ，即x22xyxy2(当且仅当x 2y时取等号 )，即x 22xyxy的最大值是2；又 x22xyxy，因此有2，即 的最小值是 2. 2设 x，y，z 为正实数，满足x2y3z0，则y2xz的最小值是 _解析：由已知条件可得yx 3z2，所以y2xzx29z2 6xz4xz14xz9zx 6142 xz9zx 6 3，当且仅当xy 3z 时，y2xz取得最小值3. 答案： 3 3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3 元，购买面粉每次需支付运费900 元(1) 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2) 某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9 折优惠，问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1) 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x 6(x 1) 6(x 2) 61 9x(x 1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则 y19xx1900 x1 8006900 x9x 10 809 2 900 x9x 10 809 10 989 ，当且仅当9x900 x，即 x 10 时取等号即该厂应每隔10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2) 因为不少于210 吨，每天用面粉6 吨，所以至少每隔35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x 35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则 y21x9x(x 1) 900 61 8000.90900 x9x9 729(x 35)令 f(x)x100 x(x 35)， x2x135，则 f(x1) f(x2) x1100 x1 x2100 x2x2x1100 x1x2x1x2. x2x135，x2x10，x1x20,100 x1x20，故 f(x1) f(x2)0，f(x1) f(x2) ，即 f(x)x100 x，当 x35 时为增函数则当 x 35 时， f(x)有最小值，此时y210 989. 因此该厂应接受此优惠条件1函数 ya1x(a 0，且 a1)的图象恒过定点A，若点 A在直线 mx ny10(mn0)上，则1m1n的最小值为 _解析：因yax恒过点 (0,1) ，则 A(1,1) ，又 A在直线上，所以m n1(mn0)故1m1nm nmn1mn1m n224，当且仅当m n12时取等号答案： 4 2已知直线x 2y2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 A、B两点，若动点P(a，b) 在线段 AB上，则 ab 的最大值是 _解析： A(2,0) ， B(0,1) ，0b1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载由 a2b2，得 a22b，ab (2 2b)b2(1 b)b21bb2212. 当且仅当1b b，即 b12时等号成立，此时a1，因此当 b12，a1 时， (ab)max12. 答案：123若 x，y(0 ， ) ， x2yxy30. (1) 求 xy 的取值范围；(2) 求 xy 的取值范围解：由 x2yxy30， (2 x)y 30 x，则 2x0， y30 x2x 0,0 x30. (1)xy x230 xx2 x2 2x32x6464x2 x64x232 x264x 23418，当且仅当x6 时取等号，因此 xy 的取值范围是 (0,18(2)x yx30 x2xx32x21 x232x 238 23， 当且仅当x 422，y421时等号成立， 又 xyx232x2330，因此 xy 的取值范围是823,30) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页