2022年高考数学二轮复习名师知识点总结平面向量 .pdf
平面向量从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等1 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量 )(4)如果直线l 的斜率为k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cos a，b叫做向量b 在向量 a 方向上的投影2 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与 b共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 b a. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底3 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a (x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)a b? a b? x1y2x2y10. (2)a b? a b0? x1x2y1y2 0. 4 平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则 |a|a ax2y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12 y2y12. (3)若 a(x1， y1)，b (x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22 y22. 考点一平面向量的概念及线性运算例 1(1)(2013 江苏 )设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD12AB， BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页(2)ABC 的外接圆的圆心为O，半径为 2，OA ABAC0 且|OA|AB|，则向量 CA在CB上的投影为() A.3 B3 C3 D 3 答案(1)12(2)A 解析(1)如图， DEDBBE12AB23BC12AB23(ACAB) 16AB23AC，则 116， 223，1212. (2)由OAABAC0，得ABACAO. 又 O 为ABC 外接圆的圆心，OBOC，四边形 ABOC 为菱形， AOBC. 由|OA|AB|2，知AOC 为等边三角形故CA在CB上的投影为 |CA|cosACB2cos 63. (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接 ” 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合(1)已知 ABC 和点 M 满足 MA MBMC0.若存在实数m使得 ABACmAM成立，则m 的值为() A2 B3 C4 D5 (2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中 OA与OB的夹角为 120 ，OA与OC的夹角为30 ，且|OA|OB| 1，|OC|23，若OC OA OB( ， R)，则 的值为 _答案(1)B(2)6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页解析(1)MAMBMC0，点 M 是ABC 的重心ABAC3AM，m3. (2)方法一如图， OCOB1OA1，|OB1|2，|OA1| |B1C|4，OC 4OA2OB. 6. 方法二由OC OA OB，两边同乘 OC，得 OC2 OA OC0， 4. OC 4OA OB，两边同乘 OA，得OC OA4 OA OB，即 34(12) . 2. 6. 方法三以 O 为原点， OA 为 x 轴建立直角坐标系，则 A(1,0)，C(23cos 30 ，2 3sin 30 ) ，B(cos 120 ，sin 120 )即 A(1,0)，C(3，3)，B(12，32)由OC OA OB得， 12 3，32 3. 2 4. 6. 考点二平面向量的数量积例 2(1)(2012 江苏 )如图，在矩形ABCD 中， AB2，BC2，点 E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若 AB AF2，则 AE BF的值是_(2)若 a，b，c 均为单位向量，且a b 0，(ac) (bc)0，则 |ab c|的最大值为() A.21 B1 C.2 D2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页答案(1)2(2)B 解析(1)方法一坐标法以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)， B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)故AB(2，0)，AF(x,2)，AE(2， 1)，BF(x2，2)，AB AF(2，0) (x,2)2x. 又AB AF2，x1. BF(12，2)AE BF(2，1) (12，2)2 222. 方法二用AB，BC表示 AE，BF是关键设DFxAB，则 CF(x1)AB. AB AFAB (ADDF) AB (ADxAB)xAB22x，又AB AF2，2x2，x22.BFBCCFBC221 AB. AE BF(ABBE) BC221 AB AB12BCBC22 1AB221 AB212BC2221 21242. (2)方法一由题意知 a2b2 c2 1，又 a b0，(ac) (bc)a ba c b cc20，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页a cb cc21，|abc|2 a2b2c22a b2a c2b c32(a cb c)1，|abc|1. 方法二设 a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则 x2y21，a c(1x， y)，bc (x,1y)，则(ac) (bc)(1x)(x)(y)(1y) x2y2x y1x y0，即 xy1. 又 abc(1x,1y)，|abc|1 x2 1y2x12 y 1232 xy 1. (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：直接利用数量积的定义；建立坐标系，通过坐标运算求解(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方(1)(2013山东 )已知向量 AB与AC的夹角为120 ，且 |AB| 3，|AC|2.若 AP AB AC，且APBC，则实数 的值为 _(2)(2013重庆 )在平面上， AB1AB2，|OB1| |OB2|1，APAB1AB2.若|OP|12，则 |OA|的取值范围是() A. 0，52B.52，72C.52，2D.72，2答案(1)712(2)D 解析(1)由APBC知AP BC0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页即AP BC( AB AC) (ACAB) ( 1)AB ACA B2AC2( 1)3 2 12 9 40，解得 712. (2)AB1AB2，AB1 AB2(OB1OA) (OB2OA) OB1 OB2OB1 OAOA OB2OA20，OB1 OB2OB1 OAOA OB2 OA2. APAB1AB2. OPOAOB1OAOB2OA，OPOB1 OB2 OA. |OB1|OB2|1，OP21 1OA22(OB1 OB2 OB1 OA OB2 OA) 2OA2 2(OA2)2OA2，|OP|12，0|OP|214，0 2OA214，74OA22，即 |OA|72，2 . 考点三平面向量与三角函数的综合应用例 3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x， sin x)，c(sin x 2sin ， cos x2cos )，其中 0 x.(1)若 4，求函数f(x)b c 的最小值及相应x 的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2的值(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页(2)由夹角公式及ac可得关于角 的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )， 4，f(x)b ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x2(sin xcos x)令 tsin xcos x4x，则 2sin xcos xt21，且 1t2. 则 yt22t1 t22232， 1t2，t22时， ymin32，此时 sin x cos x22，即2sin x422，4x ，2x454 ，x476 ， x1112. 函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112. (2)a 与 b 的夹角为3，cos 3a b|a| |b|cos cos xsin sin xcos(x )0 x ，0 x ，x 3. ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x )2sin 2 0，即 sin 2 32sin 2 0. 52sin 2 32cos 2 0，tan 2 35. 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题， 如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题已知向量a sin x，34，b(cos x， 1)(1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；(2)设函数f(x )2(ab) b，已知在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a3，b2，sin B63，求 f(x)4cos(2A6)(x0，3)的取值范围解(1)ab，34cos xsin x0，tan x34. cos2xsin 2xcos2x2sin xcos xsin2xcos2x1 2tan x1tan2x85. (2)f(x) 2(ab) b2sin 2x432，由正弦定理asin Absin B，可得 sin A22，A4. f(x)4cos 2A62sin 2x412，x0，3， 2x44，1112321f(x)4cos(2A6)212. 1 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量ABOBOA(其中 O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b 互相垂直3 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况， 如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页要求不能反向共线4 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系. 1 已知两点 A(1,0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且AOC120 ，设OC 2OA OB( R)，则 等于() A 1 B2 C 1 D 2 答案C 解析根据 AOC120 ，可知点 C 在射线 y3x(x0)上，设 C(a，3a)，则有 (a，3a)(2,0)( ，3 ) (2 ，3 )，即得 a 2 ，3a3 ，消去 a，得 1. 2 函数 ytan(4x2)(0 x4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于B、C 两点，则 (OB OC) OA_. 答案8 解析A 点坐标为 (2,0)，即 OA(2,0)，由 ytan(4x2)的图象的对称性知A 是 BC 的中点OBOC2OA，(OBOC) OA2OA OA2|OA|28. 3 在 ABC 中，向量 m(2cos B,1) ，向量 n(1sin B，1 sin 2B)，且满足 |m n| |mn|. (1)求角 B 的大小；(2)求 sin Asin C 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页解(1)由|m n|mn|，可知 m n? m n0. 然而 m(2cos B,1)，n(1sin B， 1sin 2B)，所以有 m n2cos Bsin 2B 1sin 2B2cos B10，得 cos B12，从而 B60 . (2)sin A sin Csin Asin(120 A)32sin A32cos A3sin(A30 )又 0 A120 ，则 30 A30 150 ，12sin( A30 ) 1. 所以32sin Asin C3，即 sin Asin C 的取值范围是(32，3一、选择题1 下列命题中正确的是() A若 a b 0，则 0 B若 a b 0，则 a bC若 ab，则 a 在 b上的投影为 |a| D若 ab，则 a b (a b)2答案D 解析根据平面向量基本定理，必须在a，b 不共线的情况下，若 a b0，则 0；选项 B 显然错误；若ab，则 a 在 b 上的投影为 |a|或 |a|，平行时分两向量所成的角为 0 和 180 两种； ab? a b0，(a b)20. 2 (2012 四川 )设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件是() Aa bBabCa2bDab且|a|b| 答案C 解析利用向量的相等与共线知识解决a|a|表示与 a 同向的单位向量，b|b|表示与 b 同向的单位向量，只要a与 b 同向，就有a|a|b|b|，观察选择项易知C 满足题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页3 (2013 湖北 )已知点 A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量 AB在CD方向上的投影为() A.3 22B.3 152C. 322D3152答案A 解析AB(2,1)，CD(5,5)，AB在CD方向上的投影为AB CD|CD|251 55252155 23 22. 4 (2013 福建 )在四边形ABCD 中， AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为() A.5 B25 C 5 D10 答案C 解析AC BD0，ACBD. 四边形 ABCD 的面积 S12|AC|BD|1252 55. 5 (2013 湖南 )已知 a， b 是单位向量， a b0，若向量c满足 |cab|1，则 |c|的取值范围是() A2 1，21 B21，22 C1，21 D 1，22 答案A 解析a b0，且 a，b 是单位向量， |a|b|1. 又|cab|2c22c (ab) 2a ba2b21，2c (ab)c21. |a|b|1 且 a b0，|ab|2，c21 2 2|c|cos ( 是 c 与 ab的夹角 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页又 1 cos 1，0c2122|c|，c22 2|c|1 0，21|c|21. 6 若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足5AMAB3AC，则 ABM 与 ABC 的面积比为() A.15B.25C.35D.925答案C 解析设 AB 的中点为D，由 5AMAB3AC，得 3AM3AC2AD2AM，即 3CM2MD. 如图所示，故C，M，D 三点共线，且MD35CD，也就是 ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为35，则ABM 与ABC 的面积比为35. 二、填空题7 (2013 安徽 )若非零向量a，b满足 |a|3|b| |a 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_答案13解析由已知条件得a2(a2b)2，即 a b |b|2，cosa，ba b|a|b|13. 8 (2013 北京 )向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b( ， R)，则 _. 答案4 解析以向量 a 和 b 的交点为原点建直角坐标系，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据 c a b? (1， 3) (1,1) (6,2)有 6 1， 2 3，解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页之得 2 且 12，故4. 9 给定两个长度为1 的平面向量 OA和OB，它们的夹角为90 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动若OCxOAyOB， 其中 x、 yR，则 xy的最大值是 _答案2 解析设AOC ，则 COB90 ，OC cos OAsin OB，即xcos ysin . xycos sin 2sin 42. 10在 ABC 中， AB2，AC3，AB BC 1，则 BC_. 答案3 解析AB BC 1，且 AB2，1|AB|BC|cos(B)，|AB|BC|cos B 1. 在ABC 中， AC2 AB2 BC2 2AB BC cos B，即 94BC22(1)BC3. 三、解答题11 (2013 江苏 )已知向量a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，0 .(1)若|ab|2，求证： ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求 ，的值(1)证明由 |ab|2，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得 cos cos sin sin 0，即 a b0，因此 ab. (2)解由已知条件cos cos 0sin sin 1，又 0 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页cos cos cos( )，则 ，sin sin( ) 1，sin 12， 6或 56，当 6时， 56(舍去 ) 当 56时， 6. 12 (2012 湖北 )已知向量a(cos x sin x ，sin x )，b(cos x sin x ，23cos x )，设函数 f(x)a b (xR)的图象关于直线x对称，其中 ， 为常数， 且 12，1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0 ，求函数f(x)在区间0，35上的取值范围解(1)因为 f(x)sin2x cos2x 23sin x cos x cos 2x 3sin 2x 2sin 2x 6 . 由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin 2 6 1，所以 2 6k 2(kZ)，即 k213(kZ)又 12，1 ，kZ，所以 k1，故 56. 故 T2265.所以 f(x)的最小正周期是65. (2)由 yf(x)的图象过点4，0，得 f40，即 2sin5626 2sin 42. 故 f(x)2sin53x62. 由 0 x35，有653x656，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页所以12sin53x61，得 122sin53x62 22，故函数 f(x)在 0，35上的取值范围为12，2213已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，向量m (4， 1)，ncos2A2，cos 2A ，且 m n72. (1)求角 A 的大小；(2)若 a3，试判断bc 取得最大值时ABC 的形状解(1)由 m(4， 1)，n cos2A2，cos 2A ，得 m n4cos2A2cos 2A41cos A2(2cos2A1) 2cos2A2cos A372，解得 cos A12，0A ，A3. (2)在ABC 中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，且 a3，(3)2b2c22bc12b2c2bc，b2c22bc，3 2bcbc，即 bc3. 当且仅当 bc3时， bc 取得最大值，此时 ab c3，ABC 为等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
