2022年数值分析分复习 .pdf
个人资料整理仅限学习使用第四章数值积分要点： 1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 2）插值型求积公式的构造及余项表达式 3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式 5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式 6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形或Simpson）公式的余项确定积分区间 a,b的等分次数 n 7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2 用此求积公式计算定积分解： 1）依次取代入积分公式可发现: 左端 =右端，而当取时，左端可端可见该是求积公式具有5 阶代数精确度由于求积公式节点数为,而公式代数精确度所以该求积公式为Gauss公式（1）对于， 有故2、对于 2结点插值型求积公式。1）如果求积分公式是两结点牛顿科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页个人资料整理仅限学习使用注：本题不用考虑3、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度解：利用梯形公式，注： Gauss公式部分不要4、对于积分。1）写出梯形公式与辛普森公式；2）请直接指出这两个公式的代数精度； 3）问区间 0,1应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过解： 1），2）梯形公式余项辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为，辛普森公式代数精度3）根据复合辛普森公式的余项注意到令，解得可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求5、确定下列公式中的参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解： 依次取代入积分公式，并令: 左端 =右端，得方程组， 解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页个人资料整理仅限学习使用得公式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度解： 解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解： 解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为8、求积公式具有多少次代数精确度解： 依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解： 依次取代入积分公式，令左端=右端，得得公式的代数精确度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页个人资料整理仅限学习使用10、试确定下列求积公式的代数精确度解： 依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为11、试确定常数, 使求积公式有尽可能高的代数精度, 并指出代数精度是多少, 该公式是否是Gauss型? 并用此公式计算积分结果保留5 位小数）解： 依次取代入积分公式，令左端=右端，得对应求积公式依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为由于求积公式节点数，而代数精确度可见该求积公式是Gauss型求积公式12、求出二点 Gauss求积公式中系数，及节点，。并用此公式计算积分结果保留 5位小数）解： 依次取代入积分公式，令左端=右端，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页个人资料整理仅限学习使用由可得，继而可求得, 及对应求积公式：对于，利用变量代换：，则13、试证明高斯求积公式的求积系数恒为正注：本题不用考虑14、确定常数及使求积公式具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？并用上述所得公式计算积分的近似值 计算过程保留6 位小数） . 解： 依次取代入积分公式，令左端=右端，得解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页个人资料整理仅限学习使用相应求积公式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度而公式具有节点数，而所以，该求积公式为Gauss型求积公式15、求积公式的代数精确度为多少阶解： 依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为16、利用复合梯形公式近似计算定积分，要求计算误差不小于，试估计区间等分数解： 根据复合辛普森公式的余项这里注意到故有令，解得可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
