2022年数学建模第三次作业 .pdf
院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级学生：王继禹学号：201401050335 教师：徐霞精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。解：1模型分析建立: 狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。假设 1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和 Y(t)描述。假设 2：当 t=0 时，狗是在点 (x0,y0)处，在时刻t 时，它的位置是(x(t),y(t) 那么以下方程成立：(1)狗以恒定速率跑: X2+y2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：2程序及结果dog 函数dog.m function zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w; % w=speed of the dog X=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h); if nargin3 | isempty(flag) zs=(w/nh)*h; elseswitch(flag) caseevents zs = nh-1e-3; isterminal = 1; direction = 0; otherwise error(Unknow flag: flag); end精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页end慢跑者的运动轨迹方程，水平向右jogger.m function s = jogger(t);s = 8*t;0; 标记的函数cross.m function cross(Cx,Cy,v) Kx = Cx Cx Cx Cx-v Cx+v; Ky = Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v plot(Kx,Ky); plot(Cx,Cy,o); 主程序：静态显示main1.m global w y0 = 60;70; w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events, on);t,Y = ode23(dog,0,20,y0,options);clf;hold on ;axis(-10,100,-10,70);plot(Y(:,1),Y(:,2);J=; for h=1:length(t), w = jogger(t(h); J=J;w; endplot(J(:,1),J(:,2),:);p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off; 动态显示main2.m global w;y0=60;70;w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events, on);t,Y=ode23(dog,0,20,y0,options); J=; for h=1:length(t); w= jogger(t(h); J=J;w;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页endxmin = min(min(Y(:,1),min(J(:,1); xmax = max(max(Y(:,1),max(J(:,1); ymin = min(min(Y(:,2),min(J(:,2);ymax = max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;hold on ; axis(xmin-10 xmax ymin-10 ymax);title(The jogger and the Dog); for h = 1:length(t)-1, plot(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),-, Color, red, EraseMode , none); plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2),-, Color, green, EraseMode , none); drawnow; pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),:); p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.2761812635281，在12.27 秒后狗追上慢跑者。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页慢跑者轨迹是椭圆轨迹jogger2.m function s=jogger2(t) s=10+20*cos(t) 20+15*sin(t); 狗的微分方程dog.m function zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w; % w=speed of the dogX=jogger2(t);h = X-z; nh=norm(h); if nargin=2)个圆，任何两个圆都相交但无3 个圆共点。试问n 个圆把平面划分成多少个不连通的区域？解：一个圆将平面分为2 份两个圆相交将平面分为4=2+2 份，三个圆相交将平面分为8=2+2+4 份，四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6 份，平面内 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该 n 个圆分平面区域数fn=2+n-1n=n2-n+2 证明： 1当 n=1 时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，命题成立2假设 n=k k1时，命题成立，即k 个圆把平面分成k2-k+2 个区域当 n=k+1 时，第 k+1 个圆与原有的k 个圆有 2k 个交点，这些交点把第k+1 个圆分成了2k 段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k 个区域，共有 k2-k+2+2k=k+12-k+1+2 个区域n=k+1 时，命题也成立由 1 、 2知，对任意的nN*，命题都成立9.某人有n元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买二元钱的乙物品，问他花完这n元钱有多少不同的方式？解：设 an 表示花完这n 元钱的方案种数，假设 n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，假设 n=2，则可以买2 个甲，或者1 个乙或 1 个丙，即a2=3，当 n3 时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，即 an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2 则当 n 3 时， an+an-1=2an-1+an-2 ，即an+1+an是公比 q=2 的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，则 an+1+an=4?2n-1=2n+1，an+an-1=2n，两式相减得an+1-an-1=2n+1-2-=2-， n 2 ，假设 n 是奇数， an=2n-1+2n-3+22+a1=(2n+1-1)/3 假设 n 是偶数， an=2n-1+2n-3+23+a2=(2n+1+1)/3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页7.6 习题1.在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导热系数K。下面是实验得到的一组数据：T/C68 68 87 87 106 106 140 140 P/310KPa 9.7981 13.324 9.0078 13.355 9.7918 14.277 9.6563 12.463 K 0.0848 0.0897 0.0762 0.0807 0.0696 0.0753 0.0611 0.0651 试求T=99C和P=10.3x310KPa下的 K。解：找出温度T相等时，导热系数K 与压力 P 的关系。由于在不同温度时，仅给出两个K、P的值，因此采用线性近似，把K、P看作是线性关系。建立 M 文件：function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0;for k=1:n p=1.0;for j=1:nif j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endend s=p*y0(k)+s;end y(i)=s;end主程序：p1=9.7981,13.324; k1=0.0848,0.0897; %T=68 p2=9.0078,13.355; k2=0.0762,0.0807; %T=87 p3=9.7918,14.277; k3=0.0696,0.0753; %T=106 p4=9.6563,12.463; k4=0.0611,0.0651; %T=140 a2=polyfit(p2,k2,1); a3=polyfit(p3,k3,1);x1=polyval(a2,10.3); x2=polyval(a3,10.3); %x1，x2 分别是 P=10.3*103kPa下87 和 106 的 K值plot(10.3,x1,k+,10.3,x2,k+,p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4)xlabel( 丙烷压力 P )ylabel( 丙烷导热系数 K )title( 在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图 )gtext(T=68 ),gtext(T=87 ),gtext(T=106 ),gtext(T=140 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页运行后图中所标点为P=10.3*103kPa 时， T=87和 T=106对应的导热系数K值。在 T=87和 T=106之间仍采用线性近似来求T=99时的导热系数K。程序如下： x=87,106; y=x1,x2; a=polyfit(x,y,1); z=polyval(a,99) z=0.0729 plot(99,z,k+,x,y) grid xlabel(丙烷温度 T) ylabel(丙烷导热系数 K) title(压力 P=10.3*103kPa时丙烷导热系数与温度的关系) 运行结果 : T=99、 P=10.3*103KPa 时 K=0.0729。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页4.用电压 V=10 伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为v(t)=V-(V-V0)teT,其中 v0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t， v 数据确定V0 和。t/s 0.5 1 2 3 4 5 7 9 V/伏6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.34 9.63 解：建立 M 文件function f=dianya(x,t) f=10-(10-x(1)*exp(-t/x(2) %x(1)=V0；x(2)=主程序：t=0.5 1 2 3 4 5 7 9; V=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63; x0=0.2,0.05; x=lsqcurvefit(dianya,x0,t,V) %x(1)代表 V0，x(2)代表f=dianya(x,t) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页结果x=5.5577 3.5002,即初始电压v0=5.5577，充电常数为=3.5002精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
