2022年数学等差数列与等比数列的性质应用教学设计 .pdf
数列复习等差数列与等比数列的性质应用教学目标：1、知识与技能：（1）理解掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，并会判断一个数列na是否是等差数列、等比数列. （2）理解掌握等差数列与等比数列的重要性质：如连续)(*Nkk项的和，角标性质（或下标和性质）等的应用. 2、过程与方法：利用导学案，通过学生的自主学习，自我检测，独立完成相应的知识，并提升学生解决问题的能力，以及将实际问题转化为数学问题的能力. 3、情感态度与价值观：培养学生分析问题、解决问题能力，转化思想. 教学重难点：（1）判断数列是等差数列与等比数列的方法；（2）等差数列与等比数列性质的综合应用. 教学方法：“三学一教”四步教学法教具准备：多媒体导学案教学课时： 1 课时教学过程：一、明标自学：1、学习目标展示：（1）通过对等差数列与等比数列的学习，理解掌握其定义，通项公式，前n项和公式，注意其形式特点，并判断一个数列是否是等差数列或等比数列；（2）理解掌握等差数列与等比数列的重要性质：如连续)(*Nkk项的和，角标性质（或下标和性质）等的应用. 2、自学指导：（1）等差数列的定义？等差数列的通项公式是什？求通项公式的方法是？（2）等差数列前n项和公式是什么？求前n项和公式的方法是？有哪些变形公式？（3）等差数列的通项公式与前n项和公式分别与哪个函数有联系？用函数的观点可以研究等差数列的哪些问题？（4）等比数列的定义？等比数列的通项公式是什么，求通项公式的方法是？（5）等比数列前n项和公式是什么？求前n项和公式的方法是？有哪些变形公式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页（6）等比数列通项公式与哪个函数有联系？用函数的观点可以研究等比数列的哪些问题？二、合作释疑：1、等差数列：（1）定义：),2()(*1*1NnndaaNndaannnn或（2）通项公式：1(1)naand)(1dadnqpndmnam)(（3）前n项和nS：2)(1nnaanSdnnna2)1(1ndand)2(212BnAn2（4）重要性质：等差数列na中，若qpnm),(*Nqpnm，则qpnmaaaa，特别地，若pnm2，则pnmaaa2（下标和性质）. 数列na中，), 2(2*11Nnnaaannnna是等差数列 . 若bAa,成等差数列，则称A为ba与的等差中项，且baA2，A只有一个 . 等差数列na中，公差为d，则任意的*Nk，,232kkkkkSSSSS构成等差数列，公差为dk2. 若等差数列nnba ,，其前n项和分别为nnTS ,，则1212nnnnTSba. 若等差数列na有n2项，公差为d，则ndSS奇偶. 若等差数列na有12n项，则1nnSS奇偶. 2、等比数列：（1）定义：)0)(,2()(*1*1qNnnqaaNnqaannnn或（2）通项公式：11nnqaa)0,(qaaqqanmnm（3）前n项和nS：1,1,11)1(111qnaqAAqqqaaqqaSnnnn（4）重要性质：等比数列na中，若qpnm),(*Nqpnm，则qpnmaaaa，特别地，若pnm2，则2pnmaaa（下标和性质）数列na中，*,0Nnan，), 2(*112Nnnaaannnna是等比数列 . 若bAa,成等比数列，则称A为ba与的等比中项，且)0(2ababA，A有两个，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页互为相反数 . 等比数列na中，公比为q，0nS，则任意的*Nk，,232kkkkkSSSSS构成等比数列，公比为kq. 若等比数列na有n2项，公比为q，则qSS奇偶三、点拨拓展：例 1、在等差数列na中，公差0d，且731,aaa成等比数列，求4231aaaa的值 . 解：由已知条件，得7123aaa，则)6()2(1121daada，整理得da21，则432222232324231ddddaaaaaaaa点评：本题中使用了等比数列的性质寻求了等差数列中项与公差的关系，可使所求表达式进行简化， 进而求值， 这里用了下标和性质，也可以不用。 这是一个等差与等比综合应用题目. 拓展：设nnTS ,分别是等差数列nnba ,的前n项和，已知*,2412NnnnTSnn，则1561118310bbabba例 2、数列na的前n项和12nnS，求数列2na的前n项和nT. 解：12nnS，12nnana是等比数列，1,21aq，2na是等比数列，首项为, 121a公比为, 42q)14(314141221232221nnnnnaaaaaT点拨：等比数列的判定方法的使用拓展：设数列na的前n项和nS，满足)(23*NnaSnn，求数列na的通项公式 . 例 3、数列na的前n项和记为nS，) 1( 12, 111nSaann（1）求na的通项公式；（2）等差数列nb的各项为正， 其前n项和为nT，且153T，又332211,bababa成等比数列，求nT. 解： （1）)(3*1Nnann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页（2）由（ 1）知9, 3, 1321aaa，又332211,bababa成等比数列，)9)(1 ()3(3122bbb，又153213bbbT，dnbbn) 1(1，解得231db或10151db（舍去），nnTn22点评：问题（ 1）中需要对1n进行验证，问题（2）中nb各项为正，公差0d拓展：已知正项数列na，其前n项和nS满足65102nnnaaS且1531,aaa成等比数列，求数列na的通项公式na. 四、当堂检测：1、正项等比数列na中，142aa，133S，若nnab3log，则nb前10项的和为2、已知na是首项为19，公差为2的等差数列，nS为na的前n项和 . （1）求通项na和nS；（2）设nnab是首项为1，公比为3 的等比数列，求nb的通项公式及前n项和nT. 3、已知实数列na是等比数列，其中17a，且654, 1,aaa成等差数列 . （1）求数列na的通项公式；（2）数列na的前n项和为nS，证明128nS）（*Nn. 4、设na是公比大于1 的等比数列，nS是数列na的前n项和，已知73S，且4,3, 3321aaa成等差数列 . （1）求数列na的通项公式；（2）令, 3 ,2, 1,ln13nabnn，求nb的前n项和nT. 5、在数列na中，*11, 134,2Nnnaaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页（1）证明数列nan是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS；（3）证明不等式nnSS41对任意*Nn都成立 . 能力提高题：1、 （ 2009 全国卷）设数列na的前n项和为nS，已知24, 111nnaSa（1）设nnnaab21，证明数列nb是等比数列；（2）求数列na的通项公式 . 2、 （ 2009 湖北高考）已知na是公差大于0 的等差数列，且满足,5563aa1672aa（1）求数列na的通项公式；（2） 若数列na，nb满足nnnbbbba222233221，*Nn， 求nb的前n项和为nS. 五、课时小结：通过本节课的学习，我们要熟练掌握等差与等比数列的通项公式及前n项和公式， 掌握其重要性质，并能应用定义、公式的基本方法解决简单的等差、等比数列的综合问题. 六、作业布置：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页基础强化天天练练习10,9 ,7,6,5 ,4, 120七、板书设计八、教后反思：_ 等差、等比数列的性质综合应用1、知识回顾：3、练习：2、例题解析：例 1，例 2，例 3 4、小结：5、作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
