2022年数列知识点练习题讲解 .pdf
学习必备欢迎下载一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。3、等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。4、等差中项： 若,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。 只要已知这5 个元素中的任意3个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（ 2） 为 减 少 运 算 量 ， 要 注 意 设 元 的 技 巧 ， 如 奇 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ，2 , ,2ad ad a ad ad （ 公 差 为d）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ，3 ,3ad ad ad ad,（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数， 且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. （2） 若公差0d， 则为递增等差数列， 若公差0d， 则为递减等差数列， 若公差0d，则为常数列。（ 3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. (4)若na、nb是 等 差 数 列 ， 则nka、nnkapb(k、p是 非 零 常 数 ) 、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS， 也成等差数列， 而naa成等比数列； 若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列 . （5） 在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇； 项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na） ；1-n:nS偶奇：S。. （ 6 ） 若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB， 且( )nnAf nB， 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. (7) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中 ， 前n项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 。 法 一 ： 由 不 等 式 组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。2、等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。3、 等比数列的前n和：当1q时，1nSna； 当1q时，1(1)1nnaqSq11naa qq。特别提醒： 等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时， 首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4、等比中项： 若,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。 提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数, ()a b ab的等差中项为A，等比中项为B，则 A与 B的大小关系为_（答： AB）提醒 ： （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2； （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q） ；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答： 15， ,9，3,1 或 0,4，8,16）5. 等比数列的性质：（ 1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. (2)若na是等比数列，则|na、*(,)pnqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列， 则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列， 且公比1q，则数列232,nnnnnSSSSS，也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS，是常数数列0，它不是等比数列.(3) 若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq,则na为递减数列；若10,01aq， 则na为递减数列； 若10,01aq,则na为递增数列； 若0q，则na为摆动数列；若1q，则na为常数列 . (4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征， 据此很容易根据nS， 判断数列na是否为等比数列。(5) mnm nmnnmSSq SSq S. 如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSSS成等差数列，则q的值为 _（答： 2）(6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶. (7)如果数列 na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列 na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载等差数列1. 设na是等差数列， 求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。2.1 等差数列na中，1030a，2050a，则通项na2.1 答：210n；2.2 首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ 2.2 （答：833d）3.1 数列na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS，则1a ，n3.1 （答：13a，10n）；3.2 已知数列na的前 n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT3.2 （答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN） . 5.1 等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_ 5.1（答： 27） ；5.2 等差数列的前n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前3n 和为。5.2（答： 225）5.3 在等差数列中，S1122，则6a_ 5.3（答： 2） ；5.4 项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数5.4（答： 5；31）5.7 设na与 nb 是两个等差数列， 它们的前n项和分别为nS和nT， 若3413nnTSnn，那么nnba_ 5.7（答：6287nn）5.8等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。5.8（答：前13 项和最大，最大值为169） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载5.9 若na是等差数列， 首项10,a200320040aa，200320040aa， 则使前 n项和0nS成立的最大正整数n 是5.9（答： 4006）5.10 在等差数列na中，10110,0aa， 且11 0|aa，nS是其前n项和，则 （）A、1210,S SS都小于 0，1112,SS都大于 0B、1219,S SS都小于 0，2021,SS都大于 0C、125,S SS都小于 0，67,SS都大于 0D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于 05.10（答： B）等比数列：1.1. 一个等比数列 na共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为_ 1. 1（答：56） ；1.2 数列na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列nb是等比数列。2. 等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和q. 2. （答：6n，12q或 2）3.1 等比数列中，q2，S99=77，求9963aaa3.1 （答： 44） ；3.2)(1010nnkknC的值为 _ 3.2 （答： 2046） ；5.1 在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整数，则10a=_ 5.1 （答： 512） ；5.2 各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则313231 0logloglogaaa5.2 （答： 10） 。5.3已 知0a且1a， 设 数 列nx满 足1l og1l o gananxx(* )nN， 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载12100100 xxx，则101102200 xxx. 5.3 （答：100100a） ；5.4 在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为 _ 5.4 （答： 40）5.5 若na是等比数列，且3nnSr，则r5.5 （答： 1）5.6设数列na的前n项和为nS（Nn） ， 关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是5.6（答：）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
