2022年-高阶导数的概念及常见高阶导数公式 .pdf

名师推荐精心整理学习必备模块基本信息一级模块名称微分学二级模块名称基础模块三级模块名称高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号2-10 先行知识导数的概念模块编号2-2知识内容教学要求掌握程度1、高阶导数的概念1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45 分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜二审危子青一、正文编写思路及特点：思路： 本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。二、授课部分1.引例（1）变速直线运动的速度)(tv是位置函数)(ts对时间 t 的导数，即)()(tstv或dtdstv )(（2） 速度函数)(tv对时间 t 的变化率就是加速度)(ta，即)(ta是)(tv对 t 的导数：)( )()(tstvta或)()(dtdsdtdta名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备（3）加速度)(ta就是位置函数)(ts对时间 t 的导数的导数，称为)(ts对 t 的二阶导数，记为)( ts或22dtsd2高阶导数的定义设 y=f(x)在某区间上可导，即有xf存在，如果xf也可导，则称xf的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记y , 或)(xf, 22dxyd, dxxfd)(2根据导数的定义可知：0()( )( )limxfxxfxfxx类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地(n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)y (n)或33dxyd44dxydnndxyd函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导注： （1）如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数（2）二阶及二阶以上的导数yyy (4)y(n)统称高阶导数3. 常见初等函数的高阶导数例 1 已知3yx求ny（一级）解423;6 ;6;0;,0.nyxyx yyy课堂练习： 已知 y ex求它的 n 阶导数例 2 已知sinyx求它的 n 阶导数（一级）解)2sin(cosxxy)22sin()22sin()2cos(xxxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备)23sin()222sin()22cos(xxxy)24sin()23cos()4(xxy一般地可得)2sin()(nxyn即)2sin()(sin)(nxxn用类似方法可得)2cos()(cos)(nxxn（选讲）例3 已知11yx求它的 n 阶导数（一级）解：211;yx3121;yx41231;yx一般的，可得11! 1.nnnynx课堂练习： 求函数 ln 1x 的 n 阶导数常见初等函数的高阶导数1111,02sinsin23coscos24ln1 !5ln 1111nnnnnnxxnnnxnxR xxxnxxnaaanxxx4. 莱布尼茨公式如果函数 uu x 及 vv x 都在点 x 处具有 n阶导数那么显然函数,uv uv，也在点 x处具有 n阶导数且nnnuvuv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备nkkknknnvuCuv0)()()()(此式称为莱布尼茨公式例 422xyx e求20y)（二级）解设22,xuevx则221,2,20kkxuek2 ,2,03,4,20kvx vvk代入莱布尼茨公式得200020111922183317202002020202020uvC v uC v uCv uC v uCv u02202119221822020202222 2xxxC xeCxeCe202222095xexx5. 隐函数的高阶导数例1. yy x是 由 方 程yexye 所 确 定 的 隐 函 数 , 试 求/y0,/y0。 （二级）解: 方程两边对 x 求导：y/e yyxy0方程两边再对 x求导：2y/y/e ye2yxy0y由原方程知，当0 x时，1y，代入得/1(0)ye再将0 x，1y，/1(0)ye代入式，得/ /21(0)ye注：隐函数的高阶导数就是对方程两边多求几次导，然后把低价导数代入等式。6. 参数方程的高阶导数例 1 求方程tbytaxsincos20t所确定的函数的一阶导名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备数dxdy及二阶导数22dxyd. （二级）解：tabtatbdxdycotsincostabtatabdtdxdxdydtddxyd32222sinsincsc/注： 求参数方程的高阶导数应注意在求导数的时候找准函数的自变量 .三、能力反馈部分1、 （考查函数的二阶导数的掌握程度）已知sin xye，求y2、 （考查隐函数的 n 阶导数的掌握程度）已知6yxxeye，求( )ny3、 （考查参数方程的高阶导数的掌握程度）33cossinxatybt已知22d ydx求. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -