2022年2022年例谈含参数的不等式问题 .pdf

学习必备欢迎下载例谈含参数的不等式问题浙江省上虞市春晖中学张黎庆 312353 综观近年来的高考试题，含有参数的不等式问题主要有三种主要类型. 第一种类型：解含有参数的不等式. 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围. 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立, 能成立 , 恰成立或部分成立，求参数的范围 . 本文结合例题对上述三类型问题作点归纳，供复习使用。一. 解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注：意什么问题，我们将通过例题进行说明。例 1(2004 年, 辽宁卷 ,18 （1） ）解关于 x 的不等式);(01|1|Raax分析： 利用解绝对值不等式的基本方法。因为出现参数，应该进行讨论。解：由.1|1|01|1|axax得当1a时，解集是 R；当1a时，解集是.2|axaxx或注：教材对于绝对值不等式中，条件是0a。所以这里的讨论是自然而然的。例 2 解关于x的不等式11axx分析：分式不等式一般先通分。解：原不等式化为01)1(xaax，若0a，有11aa，原不等式的解集为1|1axxa若0a，有011x，原不等式的解集为|1x x若0a，有11aa，原不等式的解集为1|1 ax xxa或注： ：讨论的切入点是讨论的关键。例 3：解不等式1232axax,(0a) 分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。解： 原不等式等价于2321,2321.xaxaxaxa移项，通分得(3)03(1)0 xaxaxaxa由已知0a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以解得3axa；解得1ax或ax故原不等式的解集为31|axax注：看似复杂的表达需要认真的进行分析、运算。例 4：已知19a, 关于x的不等式 : 0452xax恒成立，求x分析：是已知参数的范围, 解不等式问题 . 由于给出了参数a的范围 , 我们可以把已知不等式改写为以a为主变量的不等式解：变为0452xax记ag452xax,1 ,9a由于ag是关于a的一次函数 , 它的图象是一条线段 , 因此, 只要它的两个端点 的 函 数 值 小 于 零 , 则 整 条 线 段 在x轴 的 下 方 , 于 是 , 关 于x的不 等 式0452xax的解等价于. 04599,045122xxgxxg解得941, 41xxx或于是41x. 注： 在解含有参数的不等式的时候, 如果没有给出参数的范围 , 则要对参数进行分类讨论 , 如果给出参数的范围 , 则可以把参数看作主变量, 进行研究 . 。二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的, 所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件 , 也可以是充分必要条件 , 在解题时 , 要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用 , 从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系. 例 5：(2004 年，上海卷，理 19) 记函数f (x)=132xx的定义域为A, g(x)=lg(x a 1)(2 a x) ( a1) 的定义域为 B. ( ) 求A；( ) 若 BA, 求实数 a 的取值范围 . 分析：关键是对不等式进行求解。解：()xf的定义域满足不等式213xx0, 得11xx0, x 0, 得( xa1)( x2a) 0. a2a, B=(2a, a+1). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载BA, 2a1 或a+11, 即 a21或 a2, 而 a1, 21a1或 a2, 故当 BA时, 实数 a 的取值范围是1, 2,12. 注：出现参数，一定有讨论。例 6：设31xxA, 又设 B 是关于x的不等式组052,0222bxxaxx的解集 , 若Ax是Bx的充分条件 , 试确定ba,的取值范围 . 分析：本题相当于对所有满足A的 x 的值, 都满足 B。解：设52,222bxxxgaxxxf. 于是有不等式组.05693,05211,0693,0211bgbgafaf解得3,3ba注：注意对充分条件、必要条件、充要条件的理解。例 7：(2005 年，全国卷 , 理 22) 已知函数.1 ,0,274)(2xxxxf（）求)(xf的单调区间和值域；（）设1a，函数1 ,0,2323xaxaxxg, 若对于任意1x1 ,0, 总存在1 ,00 x使得)()(10 xfxg成立，求 a 的取值范围 . 分析：此类题一般是采用导数进行求解。解： （I ）对函数)(xf求导，得222)2()72)(12()2(7164)(xxxxxxxf令0)(xf解得.2721xx或当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x0 （0，21）21（21，1）1 )(xf0 + )(xf27减函数4 增函数3 所以，当)21,0(x时，)(xf是减函数；当)1 ,21(x时，)(xf是增函数 . 当1 ,0 x时，)(xf的值域为 4，3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（II ）对函数)(xg求导，得).(3)(22axxg因为1a，当)1 ,0(x时，.0)1 (3)(2axg因此当)1 , 0(x时，)(xg为减函数，从而当 1 ,0 x时有).0(),1 ()(ggxg又,2)0(,321) 1(2agaag即 1 ,0 x时有.2,321 )(2aaaxg任给 1 ,01x，3, 4)(1xf，存在 1 ,00 x使得)()(10 xfxg，则2123, 2 4, 3.aaa即.32, 43212aaa解式得351aa或；解式得.23a又1a，故 a 的取值范围为.231a注：导数的简单运用是近年高考中出现的一个新的题型，应该引起足够的重视。例 8：已知集合0211xxxxA,02baxxxB, 求使02xxBA和31xxBA同时成立的ba,的值. 分析：本题是寻找使BA与BA同时成立的充要条件 , 为此需要把集合BA,具体化. 解：由2, 11,A由题设条件可知 , B 不是空集 , 可设,B由02xxBA有.1, 12由31xxBA有.3, 11所以有.3, 1即3 , 1B, 因此,.3,2 ba注：解题的过程事实上也是分析的过程。三. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢? 它的操作程序如下：1. 恒成立问题若不等式Axf在区间 D 上恒成立 , 则等价于函数xf在区间 D 上的最小值大于 A, 若不等式Bxf在区间 D 上恒成立 , 则等价于函数xf在区间 D 上的最大值小于 B . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2. 能成立问题若在区间 D 上存在实数x使不等式Axf成立, 即Axf在区间 D 上能成立, , 则等价于函数xf在区间 D 上的最大值大于 A, 若在区间 D 上存在实数x使不等式Bxf成立, 即Bxf在区间 D 上能成立, , 则等价于函数xf在区间 D 上的最小值小于 B . 3. 恰成立问题若不等式Axf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D . 若不等式Bxf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D , 例 9：(2005 年春考，北京卷，理14) 若关于x的不等式02aaxx的解集为),(，则实数a的取值范围是； 若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集， 则实数a的取值范围是分析及解： 第一个填空是不等式恒成立的问题, 设aaxxxf2. 则关于x的不等式02aaxx的解集为),(0 xf在,上恒成立0minxf, 即,0442minaaxf解得04a第二个填空是不等式能成立的问题. 设aaxxxf2. 则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3m inxf, 即,3442minaaxf解得6x或2x. 例 10：(2005 年，湖北卷，理，文17) 已知向量),1(),1,(2txbxxa若函数baxf在区间（ 1，1）上是增函数，求 t 的取值范围 . 分析：将向量的问题通过向量的坐标运算进行转化。解： 依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则xf在区间1 , 1上是增函数等价于0 xf在区间1 , 1上恒成立 ; 而0 xf在区间1 , 1上恒成立又等价于xxt232在区间1 , 1上恒成立; 设1 , 1,232xxxxg进而xgt在区间1 , 1上恒成立等价于1 , 1,maxxxgt考虑到1 , 1,232xxxxg在31, 1上是减函数 , 在1 ,31上是增函数 , 则51maxgxg. 于是, t 的取值范围 . 是5t. 注：本题是向量与导数的简单综合。问题并不复杂，有一定的新意。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -