2022年2022年六大基本初等函数图像及其性质 2.pdf

桂林师范高等专科学校14 生化班第1页六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（Cy）0C0C平行于 x 轴的直线y 轴本身定义域 R定义域 R二、幂函数xy，x是自变量，是常数；1. 幂函数的图像 ：2. 幂函数的性质 ；性质函数xy2xy3xy21xy1xy定义域R R R 0,+) x|x 0 值域R 0,+) R 0,+) y|y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增0,+ ) 增增增(0,+) 减(-,0 减(-,0) 减公共点（1,1）x y O xy2xy3xy1xy21xyO 0yx CyO x y y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第2页1）当为正整数时，函数的定义域为区间为),(x，他们的图形都经过原点，并当1 时在原点处与x 轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于y 轴对称；2）当为负整数时。函数的定义域为除去x=0 的所有实数；3）当为正有理数nm时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +）， n 为奇数时函数的定义域为（-,+），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果 mn 图形于 x 轴相切，如果mn,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m，n均为奇数时，跟原点对称；5）当为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。三、指数函数xay(x是自变量 ,a是常数且0a，1a)，定义域是 R ； 无界函数 1. 指数函数的图象：2. 指数函数的性质；性质函数xay) 1(axay)10(a定义域R 值域(0，+) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0 x时，1y单调性在），（是增函数在），（是减函数1） 当1a时 函 数 为 单 调 增 , 当10a时 函 数 为 单 调 减 ；2） 不 论x为 何 值 ,y总 是 正 的 , 图 形 在x轴 上 方 ；3） 当0 x时 ,1y, 所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1)点 。1yO (0,1) x y xay)10(ax xay)1(a1yO (0,1) y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第3页3. （选，补充）指数函数值的大小比较*Na；a. 底数互为倒数的两个指数函数xaxf)(，xaxf1)(的函数图像关于y 轴对称。b.1.当1a时，a 值越大，xay的图像越靠近 y 轴；b.2.当10a时，a值越大，xay的图像越远离 y 轴。4. 指数的运算法则（公式）；a. 整数指数幂的运算性质),0(Qnma；(1) nmnmaaa(2) nmnmaaa(3) mnnmnmaaa(4) nnnbaabb. 根式的性质；(1)aann； (2) 当 n 为奇数时，aann当 n 为偶数时，)0(0)(aaaaaannc. 分数指数幂；(1) 1, 0(*nZnmaaanmnm(2)1, 0(11*nZnmaaaanmnmnmy xaxf)(xaxf1)(O (0,1) x x O (0,1) y xxf2)(xxh3)(O (0,1) y xxq21)(xxg31)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第4页四、对数函数xyalog(a是常数且1, 0 aa) ，定义域),0(x 无界 1. 对数的概念： 如果 a(a 0，a1) 的 b 次幂等于 N，就是Nab，那么数b 叫做以 a 为底 N的对数，记作bNalog, 其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数，式子Nalog叫做对数式。对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。2. 常用对数：N10log的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作Nlg。3. 自然对数： 使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作Nln。4. 对数函数的图象：5. 对数函数的性质；性质函数xyalog)1(axyalog)10(a定义域(0，+) 值域R 奇偶性非奇非偶公共点过点(1，0)，即1x时，0y单调性在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0) ；2）当1a时，在区间 (0,1) ，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +) ，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。y O x (1,0) 1xxyalog)1(aO x (1,0) y 1xxyalog) 10(a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第5页6. （选，补充）对数函数值的大小比较*Na；a. 底数互为倒数的两个对数函数xyalog，xya1log的函数图像关于x 轴对称。b.1. 当1a时， a 值越大，xxfalog)(的图像越靠近x 轴；b.2. 当)10(a时， a 值越大，xxfalog)(的图像越远离x 轴。7. 对数的运算法则（公式）；a. 如果 a0，a1，M 0，N0，那么：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogb. 对数恒等式：NaNalog)010(Naa，且c. 换底公式：(1)bNNaablogloglog（1,0 aa，一般常常换为e或 10为底的对数 , 即bNNblnlnlog或bNNblglglog）(2) 由公式和运算性质推倒的结论：bmnbananloglogd. 对数运算性质(1)1的对数是零，即01loga；同理01ln或01lg(2) 底数的对数等于1，即1logaa；同理1ln e或110lgy O x (1,0) xyalogxya1logy O x (1,0) xxf2log)(xxf3log)(y O x (1,0) xxf21log)(xxf31log)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第6页五、三角函数1. 正弦函数xysin, 有界函数，定义域),(x，值域 1, 1y图象：五点作图法：0，2，23，22. 余弦函数xycos，有界函数，定义域),(x，值域 1, 1y图象：五点作图法：0，2，23，23. 正、余弦函数的性质；性质函数xysin)(Zkxycos)(Zk定义域R 值域-1,1 -1,1 奇偶性奇函数偶函数周期性2T2T对称中心)0,(k)0 ,2(k对称轴2kx)0,2(k单调性在22 ,22kkx上是增函数在232 ,22kkx上是减函数在kkx2,2上是增函数在kkx2,2上是减函数最值22kx时，1maxy22kx时，1minykx2时，1maxykx2时，1miny名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第7页4. 正切函数xytan，无界函数，定义域)( ,2Zkkxx，值域),(yxytan的图像5. 余切函数xycot，无界函数，定义域Zkkxx,),(yxycot的图像6.正、余切函数的性质；性质函数xytan)(Zkxycot)(Zk定义域2kxkx值域RR奇偶性奇函数奇函数周期性TT单调性在)2,2(kk上都是增函数在) 1( ,(kk上都是减函数对称中心)0 ,2(k)0 ,2(k零点)0,(k)0,2(k2O 2322532232253y x 2O 23225223225y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第8页7. 正割函数xysec，无界函数，定义域)( ,2Zkkxx，值域1secx8. 余割函数xxysin1csc，无界函数，定义域)( ,Zkkxx，值域1cscx9. 正、余割函数的性质；性质函数xysec)(Zkxycsc)(Zk定义域kxx2kxx值域), 1 1(，), 1 1(，奇偶性偶函数奇函数周期性2T2T单调性)232,2()2,22(kkkk减)2,22()22 ,2(kkkk增)22,232()22,2(kkkk减)232,2()2,22(kkkk增2O 232252232253y x -1 1 2O 232252232253y x -1 1 xysec的图像xycsc的图像名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第9页续表：性质函数xysec)(Zkxycsc)(Zk对称中心)0,2(k)0 ,(k对称轴kxkx2渐近线kx2kx六、反三角函数1. 反正弦函数xyarcsin，无界函数，定义域-1,1，值域,0A.反正弦函数的概念：正弦函数xysin在区间2,2上的反函数称为反正弦函数，记为xyarcsin2. 反余弦弦函数xyarccos，无界函数，定义域-1,1，值域,0B. 反余弦函数的概念：余弦函数xycos在区间,0上的反函数称为反余弦函数，记为xyarccosxyarcsin的图像xyarccos的图像3. 反正、余弦函数的性质；性质函数xyarcsinxyarccos定义域-1,1 -1,1 值域,0,0奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数O x y 1 -1 22O x y 1 -1 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第10页4. 反正切函数xyarctan，有界函数，定义域),(x, 值域2,2C.反正切函数的概念：正切函数xytan在区间2,2上的反函数称为反正切函数，记为xyarctan5. 反余切函数xarcycot，有界函数，定义域),(x, 值域,0D. 反余切函数的概念：余切函数xycot在区间,0上的反函数称为反余切函数，记为xarcycotxyarctan的图像xarcycot的图像6. 反正、余弦函数的性质；函数性质xyarctanxarcycot定义域R 值域2,2,0奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数x y O 22x y O 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第11页三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点),(yxP，记：22yxr。正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan商数关系：cossintan，sincoscot平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1三、诱导公式x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin122cos1cos2，22sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 桂林师范高等专科学校14 生化班第12页六、三倍角公式)3sin()3sin(sin4sin4sin33sin3)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos3)3tan()3tan(tantan31tantan33tan23七、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos八、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxa其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同，22sinbab，22cosbaa，abtan九、三角函数的周期公式函数)sin(xAy，Rx及函数)cos( xAy，Rx(A, 为常数，且0,0A) 周期：2T函数)tan( xAy，Zkkx,2(A, 为常数，且0,0A) 周期：T十、正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（ R为ABC外接圆半径）十一、余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -