数列知识点总结及题型归纳总结.pdf

让学习成为一种习惯！高三总复习高三总复习-数列数列一、数列的概念一、数列的概念1数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1 项或首项 ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n的项叫第n项也叫通项记作an；数列的一般形式：a1，a2，a3，an，简记作an。例：判断以下各组元素能否构成数列1a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。2通项公式的定义：如果数列an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：1，数列的通项公式是an=nn7，n N ，数列的通项公式是an=说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an=(1)=n1 1 1 12 3 4 51nN 。n1,n2k1(kZ)；1,n2k不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，3数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集N或它的有限子集的函数f (n)当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值f (1),f (2), f (3),，f (n)，通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。例：画出数列an 2n 1的图像.4数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列递增数列、递减数列 、常数列和摆动数列。例：以下的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？11，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,(n 1)S15数列an的前n项和Sn与通项an的关系：anS S(n2)n1n2例：已知数列an的前 n 项和sn 2n 3，求数列an的通项公式1让学习成为一种习惯！练习：练习：1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：11，3，5，7；2213214215212，；234511113，。1*22*33*44*549，99，999，999957，77，777，7777，(6)8, 88, 888, 8888n2n1(nN)2数列an中，已知an31写出a1,，a2，a3，an1，an2；2792是否是数列中的项？假设是，是第几项？33 2003 京春理 14，文 15在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白_内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式 .1475.观察以下各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是 ，其通项公式为 .A40 个 B45 个 C50 个 D55 个2 条 直 线 相交，最多有 1个交点3 条 直 线 相交，最多有 3个交点24 条 直 线 相交，最多有 6个交点让学习成为一种习惯！二、等差数列二、等差数列题型一题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1 d(n 2)或an1an d(n 1)。例：等差数列an 2n 1，an an1题型二题型二、等差数列的通项公式：an a1(n1)d；说明：等差数列通常可称为A P数列的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。，则a12等于例：1.已知等差数列an中，a7 a916，a41A15 B30 C31 D642.an是首项a11，公差d 3的等差数列，如果an 2005，则序号n等于A667B668C669D670 3.等差数列an 2n 1,bn 2n 1，则an为bn为填“递增数列”或“递减数列” 题型三题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列Aab2ab即：2an1 an an22an anm anm2例：1 14 全国 I设an是公差为正数的等差数列，假设a1a2a315，a1a2a380，则a11 a12 a13A120 B105C90 D752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是A1 B.2 C.4 D.8题型四题型四、等差数列的性质：1在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；2在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；3在等差数列an中，对任意m，nN，an am(nm)d，d anam(m n)；nm4在等差数列an中，假设m，n，p，qN且mn pq，则am an ap aq；题型五题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn2(Sn An Bnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。 na1d n22222(A,B为常数)an是等差数列 )(a1 an)n(am an(m1)n递推公式：Sn22例：1.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2.a7A14B21C28D353让学习成为一种习惯！2.2015 湖南卷文设Sn是等差数列an的前 n 项和，已知a2 3，a611，则S7等于( )A13 B35 C49 D 633.2015 全国卷理 设等差数列an的前n项和为Sn，假设S9 72,则a2a4a9=4.2015 重庆文 2在等差数列an中，a1a910，则a5的值为A5B6C8D105.假设一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6.已知等差数列an的前n项和为Sn，假设S12 21，则a2 a5 a8 a117.2014 全国卷理设等差数列an的前n项和为Sn，假设a5 5a3则8 2014 全国已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.求数列bn的通项bn；9.已知an数列是等差数列，a1010，其前 10 项的和S10 70，则其公差d等于( )S9S5A 23121B C. D.33310.2015 陕西卷文设等差数列an的前 n 项和为sn,假设a6 s312,则anSnn11 2013 全国设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a10 30，a20 50求通项an；假设Sn=242，求n13.在等差数列an中， 1已知S8 48,S12168,求a1和d； 2已知a610,S5 5,求a8和S8；(3)已知a3 a15 40,求S174让学习成为一种习惯！题型六题型六.对于一个等差数列：S奇an；S偶an1S奇n2假设项数为奇数，设共有2n1项，则S奇S偶 an a中；。S偶n11假设项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇 nd； 题型七题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为A.130B.170C.210 D.2602.一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为。3已知等差数列an的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10 S7 30，则S9=5 2015 全国 II设Sn是等差数列an的前n项和，假设S31S，则6S63S12DA311B C381019题型八题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1 an d(常数）（n N）an是等差数列中项法：2an1 an an2通项公式法：（n N)an是等差数列an kn b(k,b为常数)an是等差数列(A,B为常数)an是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn例：1.已知数列an满足an an1 2，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列an的通项为an 2n 5，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断23.已知一个数列an的前 n 项和sn 2n 4，则数列an为A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断24.已知一个数列an的前 n 项和sn 2n，则数列an为A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5让学习成为一种习惯！5.已知一个数列an满足an2 2an1 an 0，则数列an为A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列an满足a1=8，a4 2，且an2 2an1 an 0n N求数列an的通项公式；27 14 天津理，2设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n，则an是A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九题型九.数列最值1a1 0，d 0时，Sn有最大值；a1 0，d 0时，Sn有最小值；22Sn最值的求法：假设已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn an bn的最值；可用二次函数最值的求法nN ；或者求出an中的正、负分界项，即：假设已知an，则Sn最值时n的值nN可如下确定an 0an 0或。a 0a 0n1n1例：1等差数列an中，a1 0，S9 S12，则前项的和最大。 2设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12 0，S13 0求出公差d的范围，S12中哪一个值最大，并说明理由。指出S1，S2，*3 12 上海设an nN N 是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则以下结论错误的选项是A.d0B.a70C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值6让学习成为一种习惯！4已知数列an的通项n 98n 99n N ，则数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知an是等差数列，其中a1 31，公差d 8。1数列an从哪一项开始小于 0？2求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值6.已知an是各项不为零的等差数列，其中a1 0，公差d 0，假设S10 0,求数列an前n项和的最大值7.在等差数列an中，a1 25，S17 S9，求Sn的最大值题型十题型十. .利用an(n 1)S1求通项SnSn1(n 2)21.数列an的前n项和Sn n 1 1试写出数列的前5 项； 2数列an是等差数列吗？3你能写出数列an的通项公式吗？7让学习成为一种习惯！22已知数列an的前n项和Sn n 4n 1，则3.设数列an的前 n 项和为 Sn=2n ，求数列an的通项公式；24.已知数列an中，a1 3，前n和Sn求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式25.2015 安徽文设数列an的前 n 项和Sn n，则a8的值为1(n 1)(an1)12A 15 (B) 16 (C) 49D64等比数列等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q 0)，即：an1：an q(q 0)。一、递推关系与通项公式一、递推关系与通项公式递推关系：an1 anq通项公式：an a1qn1推广：an amqnm1 在等比数列an中,a1 4,q 2，则an2 在等比数列an中,a712,q 32,则a19 _.3.2014 重庆文在等比数列an中，a28，a164， ，则公比 q 为A2B3C4D84.在等比数列an中，a2 2，a5 54，则a8=8让学习成为一种习惯！5.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3，前三项和为 21，则a3 a4 a5A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：假设三个数二、等比中项：假设三个数a,b,c成等比数列，则称成等比数列，则称b为为a与c的等比中项，且为的等比中项，且为b ac，注：b ac是成是成等比数列的必要而不充分条件等比数列的必要而不充分条件. .例：1.23和23的等比中项为( )2(A)1(B)1(C)1(D)22.2013 重庆卷文设an是公差不为 0 的等差数列，a1 2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=n27nn25nn23nCAB443324三、等比数列的基本性质，三、等比数列的基本性质，Dn n21.1.1若m n p q，则aman apaq(其中m,n, p,q N )2qnman2，an anmanm(n N)am3an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.4an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.2例：1在等比数列an中,a1和a10是方程2x 5x1 0的两个根,则a4a7( )2511(A)(B)(C)(D)22222. 在等比数列an，已知a1 5，a9a10100，则a18=3.在等比数列an中，a1 a6 33，a3a4 32，an an1求an假设Tn lga1 lga2 lgan,求Tn9让学习成为一种习惯！4.等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2 A12 B10 C8 D2+log355.2014 广东卷理 已知等比数列log3a10an满足an 0,n 1,2,，且a5a2n5 22n(n 3)，则当n 1时，log2a1log2a3log2a2n1222(n1)(n1)n(2n1)nA. B. C. D.2.2.前n项和公式(q 1)na1Sna1(1qn)a1anq1q1 q(q 1)例：1.已知等比数列an的首相a1 5，公比q 2，则其前 n 项和Sn2.已知等比数列an的首相a1 5，公比q 和Sn3.设等比数列an的前 n 项和为Sn，已a2 6,6a1 a3 30，求an和Sn1，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项2 23n10(n N)，则f (n)等于2n2n12n32n4A(8 1)B(81) C(81) D(81)77775 2014 全国文，21设等比数列an的前n项和为Sn，假设S3S62S9，求数列的公比q；4 2015 年北京卷设f (n) 22 2 26设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，假设 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q的值为 .3.3.假设数列an是等比数列，Sn是其前 n 项的和，k N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列.4710例：1.2014 辽宁卷理设等比数列an的前 n 项和为Sn，假设S6S3=3 ，则S9S6 =87A. 2 B.3 C.3 D.32.一个等比数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为A83 B108 C75 D6310让学习成为一种习惯！3.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m 30，则S3m4.4.等比数列的判定法1定义法：an1 q（常数） an为等比数列；an22中项法：an1 anan2(an 0) an为等比数列；n3通项公式法：an k q(k,q为常数）an为等比数列；nan为等比数列。4前n项和法：Sn k(1 q )（k,q为常数）Sn k kqn（k,q为常数） an为等比数列。n例：1.已知数列an的通项为an 2，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列an满足an1 anan22(an 0)，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断n13.已知一个数列an的前 n 项和sn 2 2，则数列an为A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.5.利用an例：1.2015 北京卷数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an1的值及数列an的通项公式*2.2015 山东卷已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn，且Sn1 Sn n5(n N )，证明数(n 1)S1求通项SnSn1(n 2)1Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a43列an1是等比数列11让学习成为一种习惯！四、求数列通项公式方法四、求数列通项公式方法1 1 公式法定义法公式法定义法根据等差数列、等比数列的定义求通项根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26， 求an；2.已知数列an满足a1 2,an an11(n 1)，求数列an的通项公式； 3.数列an满足a1=8，a4 2，且an2 2an1 an 0n N ，求数列an的通项公式；4. 已知数列an满足a1 2,5. 设数列an满足a1 0且121an11 2，求数列an的通项公式；an111，求an的通项公式1 an11 an让学习成为一种习惯！6. 已知数列an满足an12an,a11，求数列an的通项公式。an27. 等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a3 9a2a6，求数列an的通项公式8. 已知数列an满足a1 2,an 3an1(n 1)，求数列an的通项公式；9. 已知数列an满足a1 2，a2 4且an2an an1n N ，求数列an的通项公式；2210. 已知数列an满足a1 2，且an1513n1 2(an5n)n N ，求数列an的通项公式；让学习成为一种习惯！11. 已知数列an满足a1 2，且an152式；12.数列已知数列an满足a12 2累加法累加法1 1、累加法、累加法适用于：适用于：an1 an f (n)n1 2 3(an52n2)n N ，求数列an的通项公1,an 4an11(n 1).则数列an的通项公式=2a2a1 f (1)假设an1an f (n)(n 2)，则a3a2 f (2)an1an f (n)两边分别相加得an1a1例：1.已知数列an满足a1f (n)k1n1,2an1 an14n 12，求数列an的通项公式。14让学习成为一种习惯！，a11，求数列an的通项公式。2. 已知数列an满足an1 an2n1n3. 已知数列an满足an1 an 23 1，a1 3，求数列an的通项公式。2n14. 设数列an满足a1 2，an1 an 32，求数列an的通项公式3 3累乘法累乘法适用于：适用于：an1 f (n)an假设an1aa f (n)，则2 f (1) ，3 f (2)，ana1a2a，n1 f (n)annan1两边分别相乘得， a1f (k)a1k115让学习成为一种习惯！n例：1. 已知数列an满足an1 2(n1)5 an，a1 3，求数列an的通项公式。2.已知数列an满足a13.已知a1 3，an1（4 4）待定系数法）待定系数法适用于适用于an1 qan f (n)解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1f (n)，公比为3、列出关系式an11f (n 1) 2an2f (n)4、比较系数求1，25、解得数列an1f (n)的通项公式6 6、解得数列、解得数列an的通项公式的通项公式162n，an1an，求an。3n13n1an(n 1)，求an。3n2让学习成为一种习惯！例：1. 已知数列an中，a11,an 2an11(n 2)，求数列an的通项公式。2. 2015 ， 重 庆 , 文 ,14 在 数 列an中 ， 假 设a11,an1 2an3(n 1)， 则 该 数 列 的 通 项an_*3. 2014. 福建.理 22.本小题总分值 14 分已知数列an满足a11,an1 2an1(n N ).求数列an的通项公式；n4.已知数列an满足an1 2an35 ，a1 6，求数列an的通项公式。解：设an1 x5n1 2(an x5n)n5.已知数列an满足an1 3an52 4，a11，求数列an的通项公式。解：设an1 x2n1 y 3(an x2n y)17让学习成为一种习惯！6.已知数列an中，a127. 7. 已知数列an满足an1 2an3n 4n5，a11，求数列an的通项公式。22解：设an1 x(n1) y(n1) z 2(an xn yn z)511n1,an1an( )，求an632n18. 8. 已知数列an满足an1 2an 43，a11，求数列an的通项公式。递推公式为an2 pan1 qan其中 p，q 均为常数 。先把原递推公式转化为an2 san1 t(an1 san)其中s，t 满足9. 9. 已知数列an满足an2 5an16an,a1 1,a2 2，求数列an的通项公式。18st pst q让学习成为一种习惯！5 5递推公式中既有递推公式中既有SnS1,n 1分析：把已知关系通过an转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。S S,n 2n1n1.2015 北京卷数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an1及数列an的通项公式*2. 2015 山东卷 已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn， 且Sn1 Sn n5(n N )， 证明数列an11Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值3是等比数列3已知数列an中，a1 3，前n和Sn求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式191(n 1)(an1)12让学习成为一种习惯！4. 4.已知数列an的各项均为正数，且前 n 项和Sn满足Sn列an的通项公式。1(an1)(an2)，且a2,a4,a9成等比数列，求数66 6倒数变换法倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列an满足an17 7对无穷递推数列对无穷递推数列消项得到第n1与n项的关系例：1. 2014 年全国 I 第 15 题，原题是填空题已知数列an满足2an,a11，求数列an的通项公式。an2a11，an a12a23a3(n1)an1(n 2)，求an的通项公式。2.设数列an满足a13a232a33n1ann，aN N* *求数列an的通项；320让学习成为一种习惯！五、数列求和五、数列求和1 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。直接用等差、等比数列的求和公式求和。na1(q 1)n(a1 an)n(n 1)Sn na1dSna1(1 qn)公比含字母时一定要讨论(q 1)221 q(理)无穷递缩等比数列时，S a11 q例：1.已知等差数列an满足a11, a2 3，求前n项和Sn2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=A9 B10 C11 D123.已知等比数列an满足a11, a2 3，求前n项和Sn4.设f (n) 22 2 22 2错位相减法求和：如：错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1 a2b2 anbn的和.2例：1求和Sn1 2x3x 4710 23n10(n N)，则f (n)等于D.A.2n22(8 1) B.(8n11) C.(8n31)7772n4(81)7 nxn12.求和：Sn21123n23naaaa让学习成为一种习惯！3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1 b11，a3b5 21，a5b313求an，bn的通项公式； 求数列an的前n项和Snbn3 3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。常见拆项：1111111()n(n 1)nn 1(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 111 111111()n(n 2)2 nn 2n(n 1)(n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)nn! (n 1)!n!n11i1iiCn1 CnCn1(n 1)!n!(n 1)!例：1.数列an的前n项和为Sn，假设anA1 B1，则S5等于n(n1)511 C D66302.已知数列an的通项公式为an3.已知数列an的通项公式为an1，求前n项的和；n(n1)1n n1，求前n项的和22让学习成为一种习惯！4.已知数列an的通项公式为an5求111n1，设Tna aa a213241，求Tnanan21111 ,(nN*)。12 123 1234123 n6已知a 0,a 1，数列an是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令bn anlgan(n N)，求数列bn的前n项和Sn。4 4倒序相加法求和倒序相加法求和例：1. 求S 3CC 6 3nCnnnn012nn2.求证：Cn 3Cn 5Cn. (2n 1)Cn (n 1)212n23让学习成为一种习惯！3设数列an是公差为d，且首项为a0 d的等差数列，01n求和：Sn1 a0Cn a1Cn anCn综合练习：综合练习：1.设数列an满足a1 0且1求an的通项公式2设bn2.等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a3 9a2a61求数列an的通项公式2设bn log31 log32. log3n，求数列aaa1111 an11 an1an1n,记Snbk，证明：Sn1k1n21的前 n 项和bn24让学习成为一种习惯！3.已知等差数列an满足a2 0,a6 a8 10.(1)求数列an的通项公式及Sn2求数列4.已知两个等比数列an，bn，满足a1 a(a 0)，b1 a11，b2 a2 2，b3 a3 31假设a 1,求数列an的通项公式2假设数列an唯一，求a的值2n15.设数列an满足a1 2，an1 an 32an的前 n 项和n121求数列an的通项公式2令bn nan，求数列bn的前 n 项和Sn25让学习成为一种习惯！7.已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26，an的前 n 项和Sn1求an及Sn2令bn8已知数列an中，a1 3，前n和Sn求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式1an12n N ，求数列bn前 n 项和Tn1(n 1)(an1)1226