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1515函数模型及其应用函数模型及其应用知识梳理知识梳理1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)axb(a，b 为常数，a0)二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)指数函数f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)对数函数f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)幂函数f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0， )上的单调增函数增函数增函数性增长速度越来越快越来越慢相对平稳随着 x 的增大，图象随着 x 的增大，图象随n值变化而各有不图象的变化与 y 轴接近平行与 x 轴接近平行同要点整合要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模： 将自然语言转化为数学语言， 将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)复原：将数学问题复原为实际问题以上过程用框图表示如下：题型一函数模型的选择题型一函数模型的选择例例 1. 1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人， 从 1 岁到 16 岁的年龄 x(岁)与身高 y(米)的散点图如图， 那么该关系较适宜的函数模型为()供学习参考AyaxbByalogbxCyabxDyax2b解析：根据散点图可知，较适宜的函数模型为yalogbx，应选 B.答案B选择函数模型的根本思想(1)根据数据描绘出散点图；(2)将散点根据趋势“连接起来，得到大致走势图象；(3)根据图象与常见的根本函数的图象进行联想比照， 选择最正确函数模型 但必须注意实际意义与根本图形的平移性相结合变式变式 1 1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量 y(单位： t)的影响 根据近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1， 2， ，8)数据得到下面的散点图那么以下哪个作为年销售量y 关于年宣传费 x 的函数模型最适合()AyaxbByab xxCyabDyax2bxc解析：选 B.根据散点图知，选择 yab x最适合，应选 B.变式变式 2 2 某地西红柿上市后， 通过市场调查， 得到西红柿种植本钱 Q(单位： 元/100kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：时间 t60100180种植本钱 Q11684116根据上表数据， 从以下函数中选取一个函数描述西红柿种植本钱Q 与上市时间 t 的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植本钱最低时的上市天数是_；供学习参考(2)最低种植本钱是_元/100kg.解析：随着时间的增加，种植本钱先减少后增加，而且当t60 和 t180 时种植本钱相等，再结合题中给出的四种函数关系可知， 种植本钱与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc，即 Qa(t120)2m 描述，将表中数据代入可得a601202m116，a0.01，解得2a100120 m84，m80，Q0.01(t120)280， 故当上市天数为 120 时， 种植本钱取到最低值 80 元/100kg.答案：(1)120(2)80题型二函数模型的应用题型二函数模型的应用1例例 2. 2. 炮弹发射后的轨迹在方程 ykx20(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由11解(1)在 ykx(1k2)x2(k0)中，令 y0，得 kx(1k2)x20.202020k2020由实际意义和题设条件知 x0，k0.解以上关于 x 的方程得 x21k21kk10，当且仅当 k1 时取等号所以炮的最大射程是 10 千米(2)a0，炮弹可以击中目标存在 k0，使 ka的方程 a2k220aka2640 有正根，20a24a2a2640，1(1k2)a23.2 成立关于 k20k k 20a0，a得a 64k k 0，a12221 22解得 a6.所以当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中它函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型， 分清自变量与函数表达式的实际意义， 注意单位名称，并注意相关量之间的关系(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋供学习参考势和最优问题(3)最后回归问题的结论变式变式 1 1某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)假设该食品在 0 的保鲜时间是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，那么该食品在 33 的保鲜时间是()A20 小时B22 小时C24 小时D26 小时解析： 选 C.由条件， 得 192eb， 所以 bln 192.又因为 48e22kbe22kln 192192e22k4811192(e) ，所以 e1922422.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，那么 t 11k 211k11e33kln 1921192e192(e) 192224.应选 C. 33k11k 33变式变式 2 2某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额 x(单位：万元)满足：f(x)aln xbx3(a，bR R，a，b 为常数)，且曲线 yf(x)与直线 ykx 在点(1，3)处相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)该公司已筹集到 40 万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于 10 万元问怎样分配这 40 万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(参考数据：ln 102.303，ln 152.708，ln 202.996，ln 253.219，ln 303.401)a解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)且 f(x)xb，因为点(1，3)在直线 ykx 上，故有 k3，又曲线 yf(x)与直线 y3x 在点(1，3)处相切，f1ab3，故有f1b33，a3，得b0.那么甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为f(x)3ln x3(x0)由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为：g(x)m x，将点(4，4)代入上式，可得 m2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为g(x)2 x(x0)(2)设甲产品投资 x 万元，那么乙产品投资(40 x)万元，且 x10，30，那么公司所得利润为 y3ln x32 40 x，供学习参考31故有 y ，x40 x令 y0，解得 10 x15，令 y0，解得 152)(2)因为 x2，3602所以 225xx2225360210 800.3602所以 y225xx36010 440.3602当且仅当 225xx时，等号成立即当 x24 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440 元(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)在构建数学模型时，对数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型变式变式 1 1某商场已按每件 80 元的本钱购进某商品 1 000 件，根据市场预测，售价为每件 100 元时可全部售完，售价每提高1 元销量就减少 5 件，假设要获得最大利润，售价应定为每件_元解析：设售价提高 x 元，获得的利润为 y 元，那么依题意得y(1 0005x)(20 x)5x2900 x20 000供学习参考5(x90)260 500.01 0005x1 000，0 x200，故当 x90 时，ymax60 500，此时售价为每件 190 元答案：190变式变式 2.2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如下列图，过线段 OC 上一点 T(t，0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧局部的面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)(1)当 t4 时，求 s 的值；(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)假设 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由解：(1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v3t，直线 BC 的方程是 v2t70.1当 t4 时，v12，所以 s241224.13(2)当 0t10 时，s2t3t2t2；1当 10t20 时，s21030(t10)3030t150；1当 20t35 时，s150300 (t20)(2t7030)t270t550.2综上可知，s 随 t 变化的规律是322t ，t0，10，2s30t150，t10，20，t 70t550，t20，35.3(3)当 t0，10时，smax2102150650，当 t(10，20时，smax3020150450650，当 t(20，35时，令t270t550650，解得 t30 或 40(舍去)，即在台风发生30 h 后将侵袭到 N 城供学习参考