高斯消元法解线性方程组.pdf
高斯消元法解线性方程组高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？假设解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。一、线性方程组设含有 n 个未知量、有 m 个方程式组成的方程组a11x1 a12x2 a1nxn b1a x a x ax b2112222nn23.1 am1x1 am2x2 amnxn bm其中系数aij， 常数bj都是已知数，xi是未知量 也称为未知数 。 当右端常数项b1,称方程组 3.1 为非齐次线性方程组； 当b1=b2= =bm=b2, ,bm不全为 0 时，0 时，即a11x1 a12x2 a1nxn 0a x a x ax 02112222nn3.2 am1x1 am2x2 amnxn 0称为齐次线性方程组。由 n 个数k1, k2, , kn组成的一个有序数组k1, k2, , kn，如果将它们依次代入方程组3.1中的x1,x2, ,xn后，3.1中的每个方程都变成恒等式， 则称这个有序数组 k1,k2, ,kn 为方程组 3.1 的一个解。 显然由x1=0,x2=0, ,xn=0 组成的有序数组0, 0, , 0是齐次线性方程组3.2的一个解，称之为齐次线性方程组3.2的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。非齐次线性方程组3.1的矩阵表示形式为：AX = B其中x1b1a11a12a1nxbaaa2222nA =21，X =，B =2 aaaxnm2mnm1bn称 A 为方程组的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵 B 放在一起构成的矩阵1a11a12a1naa22a2n21AB= am1am2amn称为方程组的增广矩阵。齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX = Ob1b2bm二、高斯消元法下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。定理 3.1假设用初等行变换将增广矩阵AB化为CD，则 AX = B 与CX = D 是同解方程组。证由定理可知，存在初等矩阵P1,P2, ,Pk，使PkP2P1(A B)=(C D)记PkP2P1= P，则 P 可逆，即P1存在。设 X1为方程组 A X = B 的解，即AX1= B在上式两边左乘 P，得P AX1= PB即CX1= D说明X1也是方程组 C X = D 的解。反之，设X2为方程组 C X = D 的解，即CX2= D在上式两边左乘P1，得P1CX2=P1D即A X2= B说明X2也是方程组 AX = B 的解。因此，方程组 A X = B 与 C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。证毕(由定理 3.1 可知，求方程组3.1的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵AB化简。又有第二章定理2.10 可知，通过初等行变换可以将AB化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组3.1的一般方法：)用初等行变换将方程组3.1的增广矩阵AB化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组3.1的解。这种方法被称为高斯消元法，下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。2 x1 x2 2x3 x4 1x 5x 3x 2x 01234例 1解线性方程组3.33x x x 4x 21234 2x1 2x2 x3 x4 1解先写出增广矩阵AB，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即1 211(1)11 211 11(3)0411153 202AB= 3110 4742 75 221110433111 21111 21104111(1)04111(1)300600666 66 00 2 2 200000上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为x1 x2 2x3 x4 14x2 x3 x4 16x3 6x4 61将最后一个方程乘，再将x4项移至等号的右端，得6x3 x41将其代入第二个方程，解得x21 2再将x2, x3代入第一个方程组，解得x1 x41 2因此，方程组3.3的解为x1 x41 2x21 23.4x x 143其中 x4可以任意取值。由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组3.3的解有无穷多个。由此可知，表示式3.4表示了方程组3.3的所有解。表示式3.4中等号右端的未知量x4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式3.4称为方程组3.3的一般解，当表示式3.4中的未知量x4取定一个值如x4=1，得到11方程组3.3的一个解如x1 ，x2，x3 0，x4 1，称之为方程组223.3的特解。注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例 1 也可以将 x3取作自由未知量。3如果将表示式3.4中的自由未知量x4取一任意常数 k，即令x4= k，那么方程组3.3的一般解为x1 k 1 2x 1 22，其中 k 为任意常数。x k 13x4k用矩阵形式表示为x1 k 1 211 2x01 21 22=k3.5x3 k 111kx104其中 k 为任意常数。称表示式3.5为方程组3.3的全部解。用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，对例 1 中的阶梯形矩阵进一步化简，11 2111110116041112040020060011166 000000000010011 2101001 24(1)00111 00000上述矩阵对应的方程组为x1 x41 2x21 2x x 143将此方程组中含x4的项移到等号的右端，就得到原方程组3.3的一般解，x1 x41 23.4x21 2x x 143其中x4可以任意取值。 x1 2x2 3x3 42x 3x 5x 7123例 2解线性方程组4x 3x 9x 92312x15x28x3 84解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵AB化成阶梯阵，再求解。即12341234 23570111AB=43990537258801 201234 1234 0111011100 2 20011 0011000012071003010201020011001100000000一般解为x1 3x2 2x 13x1 x2 x3 1例 3解线性方程组 x1 2x2 4x3 22x 5x x 3123解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A 11111012 42AB=25130B化成阶梯阵，再求解。即1133333111 1110333000 2阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0 x1 0 x2 0 x3 2，由该方程可知，无论x1，x2，x3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种： 无穷多解、 唯一解和无解。 从求解过程可以看出， 方程组 3.1是否有解，关键在于增广矩阵AB化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。5定理 3.9线性方程组3.1有解的充分必要是r(A)=r(A B)。证设系数矩阵 A 的秩为 r，即r(A)= r。利用初等行变换将增广矩阵AB化成阶梯阵：c11*c1sc1nd100c*ccd2k2s2n2初等行变换AB0000crscrndr= C 000000dr1 0000000D故 AX = B 与 CX = D 是同解方程组，因此AX = B 有解dr1= 0r(C D)=r(C)= r即r(A B)=r(A)= r。证毕推论 1线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)r(A B)=n。推论 2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)r(A B)n。将上述结论应用到齐次线性方程组3.2上，则总有r(A)r(A B)。因此齐次线性方程组一定有解。并且有例 4判别以下方程组是否有解？假设有解，是有唯一解还是有无穷多解？ x1 2x2 3x3 11 x1 2x2 3x3 11 x x x 7 x x 2x 7123123(1)(2)2x 3x x 62x 3x x 6123123 3x1 x2 2x3 4 3x1 x2 2x3 5 x1 2x2 3x3 11 x x x 7123(3)2x 3x x 6123 3x1 x2 2x3 5解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即2311 11231111101 2 47AB = 2310776 28 3124077 291231101 2 40070 0001因为r(A B)= 4，r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。6(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即2311 112311112011 47AB = 2310006 0 31250000因为r(A B)=r(A)=2n= 3，所以方程组有无穷多解。(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即2311 11231111101 2 47AB = 2310070 6 25031000因为r(A B)=r(A)= 3 = n，所以方程组有唯一解。例 5判别以下齐次方程组是否有非零解？机动x1 3x2 7x38x4 02x 5x 4x 4x 01234 3x 7x 2x 3x 01234x1 4x212x316x4 0解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即378 11378 2011854420A =37 23 02 23 271412160158137813780118200118200013130013130013120001因为r(A)= 4 = n，所以齐次方程组只有零解。7
