复变函数复数级数和幂级数.ppt

复变函数复数级数和复变函数复数级数和幂级数幂级数现在学习的是第1页，共34页课前回顾课前回顾柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分原函数与不定积分复合闭路定理复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式高阶导数公式2022-9-52现在学习的是第2页，共34页本次课讲述的内容本次课讲述的内容复数项级数复数项级数复数项级数的定义复数项级数的定义敛散性判别敛散性判别幂级数幂级数函数项级数函数项级数幂级数幂级数幂级数的收敛圆和收敛半径幂级数的收敛圆和收敛半径2022-9-53现在学习的是第3页，共34页复数列的极限复数列的极限 定义：定义：设设n(n=1,2,)为一复数列，其中为一复数列，其中n=an+ibn，又假设又假设=a+ib为一个确定的复数，如果任意给定为一个确定的复数，如果任意给定0，都能相，都能相应地找到一个正数应地找到一个正数N()，使得下式在，使得下式在nN时成立：时成立：l i mnnn 那么称那么称为复数列为复数列n(n=1,2,)在在n时的时的极限极限，并，并记为：记为：也称复数列也称复数列n收敛收敛于于。2022-9-54现在学习的是第4页，共34页复数列收敛的条件复数列收敛的条件l i m,l i mnnnnaabb 那么那么对于任意给定的对于任意给定的 ，就能找到一个正数就能找到一个正数N，当，当nN时，时，定理定理1：复数列复数列n(n=1,2,)收敛于收敛于的充要条件是：的充要条件是：证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，l i mnn0()()nnaibaib2022-9-55现在学习的是第5页，共34页复数列收敛的条件复数列收敛的条件 从而有：从而有：()()nnnaaaaibb 根据实数列极限的定义可知，上式表明：根据实数列极限的定义可知，上式表明：l i mnnaa 同理可以证明：同理可以证明：l i mnnbb 反之，如果反之，如果 、，根据实数列极限的定，根据实数列极限的定义可知，当义可知，当nN时，有以下两式成立：时，有以下两式成立：l i mnnaal i mnnbb,22nnaabb2022-9-56现在学习的是第6页，共34页复数列收敛的条件复数列收敛的条件 从而：从而：()()()()nnnnnnnaibaibaaibbaabb 根据复数列的定义可知：根据复数列的定义可知：l i mnn 定理定理1说明说明：可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性的敛散性。2022-9-57现在学习的是第7页，共34页级数的概念级数的概念 定义：定义：设设 为一复数列，则称为一复数列，则称如下表达式如下表达式 为为复数项无穷级数复数项无穷级数。(1,2,)nnnaibn121nnn 部分和：部分和：无穷级数最前面无穷级数最前面n项的和：项的和：称为级数的部分和。称为级数的部分和。121nnknks2022-9-58现在学习的是第8页，共34页级数的收敛与发散级数的收敛与发散 如果部分和数列如果部分和数列sn收敛，那么级数收敛，那么级数 收敛收敛，并将，并将极限极限l i mnnss 称作级数的称作级数的和和。1nn 如果部分和数列如果部分和数列sn不收敛，那么级数不收敛，那么级数 发散发散。1nn 说明说明：与实数项级数相同与实数项级数相同，判别复数项级数敛散性判别复数项级数敛散性的基本方法是的基本方法是，利用极限，利用极限l i mnnss2022-9-59现在学习的是第9页，共34页 例：判断级数例：判断级数 的敛散性。的敛散性。解：考察级数的解：考察级数的部分和部分和可知，可知，0nnz2-111(1),1nnnzszzzzz11l i ml i m11nnnnzszz 当当|z|1时，时，对部分和取极限可得：，对部分和取极限可得：11nnzsz 极限存在，因此当极限存在，因此当|z|1时级数收敛。时级数收敛。2022-9-510现在学习的是第10页，共34页复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件 定理定理2：级数级数 收敛的充要条件是：实数收敛的充要条件是：实数项级数项级数 和和 都收敛。都收敛。11()nnnnnaib1nna1nnb 证明：因为级数的部分和证明：因为级数的部分和121212 ()()nnnnnnsaaaibbbi2022-9-511现在学习的是第11页，共34页复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件 根据根据sn极限存在的充要条件，可知极限存在的充要条件，可知 和和 的的极限都存在，因此级数极限都存在，因此级数 和和 都收敛。都收敛。nnnsinn1nna1nnb 定理定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实数项级数说明，复数项级数的敛散性问题可以用实数项级数的敛散性判定方法来判定。的敛散性判定方法来判定。2022-9-512现在学习的是第12页，共34页 例：判断级数例：判断级数 的敛散性。的敛散性。解：根据定理解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚部的，可以分别考察级数的实部和虚部的敛散性，敛散性，11(1)ninn11nn 根据定理根据定理2可知，原级数发散。可知，原级数发散。实部实部 为调和级数，是发散的；为调和级数，是发散的；211nn 虚部虚部 是收敛的；是收敛的；2022-9-513现在学习的是第13页，共34页复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的必要条件 定理定理3：级数级数 收敛的必要条件是：收敛的必要条件是：11()nnnnnaibl i m0nn 证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。1l i m0nnnn 该定理说明，该定理说明，发散。发散。2022-9-514现在学习的是第14页，共34页 例：判断级数例：判断级数 的敛散性。的敛散性。解：注意到，解：注意到，1innel i ml i m0innnne 以上例子表明，可以首先利用定理以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的敛散判断级数的敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不能判断，则性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不能判断，则进一步利用定理进一步利用定理2或定义来判断。或定义来判断。根据定理根据定理3可知，该级数发散。可知，该级数发散。2022-9-515现在学习的是第15页，共34页绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛 如果如果 收敛，则称级数收敛，则称级数 为为绝对收敛绝对收敛；1nn1nn 非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数。由由 可知：可知：22nnnnabab22111nnnkkkkkkkabab 所以，如果实数级数所以，如果实数级数 和和 绝对收敛时，复数绝对收敛时，复数项级数项级数 也绝对收敛。也绝对收敛。1nn1nna1nnb2022-9-516现在学习的是第16页，共34页复数项级数收敛的充分条件复数项级数收敛的充分条件 定理定理4：级数级数 收敛的充分条件是该级数绝对收敛收敛的充分条件是该级数绝对收敛。1nn 证明：由于证明：由于 ，同时，同时，2211nnnnnab2222,nnnnnnaabbab 由级数绝对收敛可知，它的实部和虚部都绝对收敛，根据由级数绝对收敛可知，它的实部和虚部都绝对收敛，根据实数级数敛散性判定准则可知，实数级数敛散性判定准则可知，和和 都收敛，因此原级都收敛，因此原级数收敛。由此也可知，复数项级数绝对收敛的充要条件是，它数收敛。由此也可知，复数项级数绝对收敛的充要条件是，它的实部和虚部都绝对收敛。的实部和虚部都绝对收敛。1 nna1 nnb2022-9-517现在学习的是第17页，共34页 例：判断级数例：判断级数 的敛散性。的敛散性。解：注意到，解：注意到，2111nninl i m0nn 无法利用定理无法利用定理3判定级数是否收敛，为此利用虚数单位判定级数是否收敛，为此利用虚数单位i的性质对级数化简可得：的性质对级数化简可得：211111(1)nnnniinnn 注意到，实部是发散的，因此利用定理注意到，实部是发散的，因此利用定理2可知该级数可知该级数是发散的。是发散的。2022-9-518现在学习的是第18页，共34页复变函数项级数复变函数项级数 定义：定义：设设 为一复变函数序列，其为一复变函数序列，其中各项在区域中各项在区域D内有定义，则称以下表达式：内有定义，则称以下表达式：为复变函数项级数，并记为：为复变函数项级数，并记为：121()()()()nnnf zf zf zf z()(1,2,)nf zn1()nnf z称为这级数的称为这级数的部分和部分和。级数最前面级数最前面n项的和：项的和：12()()()()nns zf zf zf z2022-9-519现在学习的是第19页，共34页复变函数项级数的和函数复变函数项级数的和函数 如果对于如果对于D内的某一点内的某一点z0，极限：，极限：存在，则称级数存在，则称级数 在在z0处收敛，处收敛，s(z0)称为它的和。称为它的和。00l i m()()nns zs z1()nnf z称称s(z)为该级数在区域为该级数在区域D上的上的和函数和函数。如果级数在如果级数在D内处处收敛，则它的和一定是内处处收敛，则它的和一定是z的一个的一个函数函数s(z)，且满足：，且满足：12()()()()ns zf zf zf z2022-9-520现在学习的是第20页，共34页幂级数幂级数 当当 或或 时，函数项级时，函数项级数的特殊情形：数的特殊情形：11()()nnnf zcza这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数。11()nnnf zcz20120()()()()nnnnnc zacc zac zac za 或或20121.nnnnnc zcc zc zc z2022-9-521现在学习的是第21页，共34页Abel定理定理 收敛定理：收敛定理：如果级数如果级数 在在z=z0(0)处收敛，那么处收敛，那么对于满足对于满足|z|z0|的所有的所有z，级数必发散。，级数必发散。收敛定理又被称为收敛定理又被称为Abel定理。请大家自行证明。定理。请大家自行证明。0nnnc z2022-9-522现在学习的是第22页，共34页收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种：其收敛半径的情况有三种：(1).对所有的正实数都收敛，由阿贝尔定理知：级数在复对所有的正实数都收敛，由阿贝尔定理知：级数在复平面内平面内处处绝对收敛处处绝对收敛。(2).对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散，此时，级数在复平外都发散，此时，级数在复平面内面内除原点外处处发散除原点外处处发散。(3).既存在使级数发散的正实数，也存在使级数收敛的正实既存在使级数发散的正实数，也存在使级数收敛的正实数。数。2022-9-523现在学习的是第23页，共34页收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径 设设 时，级数收敛；时，级数收敛；时，级数发散，如下图时，级数发散，如下图所示：所示：zzxyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径 幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域，被称作幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域，被称作“收敛圆收敛圆”。2022-9-524现在学习的是第24页，共34页收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径 关于收敛圆有以下两个问题值得关注：关于收敛圆有以下两个问题值得关注：0()nnnc za 问题问题1：幂级数：幂级数 的收敛范围如何？的收敛范围如何？答案答案：是以：是以z=a为中心的圆域。为中心的圆域。问题问题2：幂级数在收敛圆周中的敛散性如何？：幂级数在收敛圆周中的敛散性如何？答案答案：在收敛圆周上是收敛还是发散，不能作出一般的：在收敛圆周上是收敛还是发散，不能作出一般的结论结论,要对具体级数进行具体分析。要对具体级数进行具体分析。2022-9-525现在学习的是第25页，共34页收敛半径的求法收敛半径的求法 方法方法1，比值法比值法：1l i m0nnncc 如果如果 ，那么收敛半径，那么收敛半径 。1R 如果如果 ，则级数，则级数 在复平面内处处收敛，在复平面内处处收敛，即即 。00nnnc zR 如果如果 ，则级数，则级数 在复平面内除了在复平面内除了z=0以外处以外处处发散，即处发散，即 。0nnnc z0R2022-9-526现在学习的是第26页，共34页 例：求幂级数例：求幂级数 的收敛半径。的收敛半径。解：因为解：因为1,npnzpnZ Z1npcn11l i ml i m()l i m111(1)pnnnnpncncnn11R2022-9-527现在学习的是第27页，共34页收敛半径的求法收敛半径的求法 方法方法2，根值法根值法：l i m0nnnc 如果如果 ，那么收敛半径，那么收敛半径 。1R 如果如果 ，则级数，则级数 在复平面内处处收敛，即在复平面内处处收敛，即 。00nnnc zR 如果如果 ，则级数，则级数 在复平面内除了在复平面内除了z=0以外以外处处发散，即处处发散，即 。0nnnc z0R2022-9-528现在学习的是第28页，共34页幂级数的有理运算幂级数的有理运算 设：设：1200(),(),nnnnnnf za zRrg zb zRr 则有：则有：000()()(),nnnnnnnnnnf zg za zb zab z00()()()()nnnnnnf zg za zb z12m i n(,)Rr r2022-9-529现在学习的是第29页，共34页幂级数的复合运算幂级数的复合运算 设：设：1200(),(),nnnnnnf za zRrg zb zRr若若g(z)在在Rr2内解析且满足内解析且满足|g(z)|r1，则有：，则有：0()()nnnfg za g z2Rr说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数。此代换运算常应用于将函数展开成幂级数。2022-9-530现在学习的是第30页，共34页幂级数在收敛圆内的性质幂级数在收敛圆内的性质 定理定理4：设幂级数：设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则：，则：00()nnnc zz(1).它的和函数它的和函数 是收敛圆是收敛圆 内的内的解析函数；解析函数；0()()nnnf zc zazaR(2).f(z)在收敛圆在收敛圆 内的导数，可以通过将其幂内的导数，可以通过将其幂级数逐项求导得到，即：级数逐项求导得到，即：zaR11()()nnnf znc za2022-9-531现在学习的是第31页，共34页幂级数在收敛圆内的性质幂级数在收敛圆内的性质(3).f(z)在收敛圆在收敛圆 内可以逐项积分，即：内可以逐项积分，即：zaR0()d()d,.nnnccf zzczazczaR简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分。逐项积分。(常用于求和函数常用于求和函数)2022-9-532现在学习的是第32页，共34页 例：求幂级数例：求幂级数 的收敛半径。的收敛半径。解：解：0(cos)nnin z1cosch(),2nnncinnee111l i ml i mnnnnnnnnceeecee 1Re2022-9-533现在学习的是第33页，共34页 例：把函数例：把函数 表示成表示成 的幂级数，的幂级数，其中其中a和和b是不相等的复常数。是不相等的复常数。解：首先把解：首先把 写成如下形式：写成如下形式：1zb1111()()1zazbzabababa 0()nnnc za1zb 也就是通过代数变形，使其分母出现也就是通过代数变形，使其分母出现z-a的形式，在此基的形式，在此基础上，础上，2022-9-534现在学习的是第34页，共34页