高考卷 06年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ.文）含详解.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文）试题一、 选择题：1、 已知向量、满足| = 1，| = 4，且，则与夹角为A、 B、 C、 D、2、 设集合M= x|,N = x | |x|,则A、MN= B、MN=M、 C 、MN=M D、MN=R3、已知函数y = ex的图像与函数y = f（x）的图像关于直线 y =x对称，则A、 B、C、 D、4、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A、 B、- 4 C、4 D、5、设是等差数列的前n项和，若，则A、8 B、7 C、6 D、56、函数的单调增区间为A、 B、C、 D、7、从圆外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A、 B、 C、 D、08、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB =A、 B、 C、 D、9、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A、16 B、20 C、24 D、3210、在的展开式中，x的系数为A、- 120 B、120 C、- 15 D、1511、抛物线上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是A、 B、 C、 D、312、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A、 cm2 B、 cm2 C、 cm2 D、20cm2二、 填空题：13、已知函数，若f（x）为奇函数，则a = 14、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 15、设 z = 2y x ，式中变量x、y满足条件，则z的最大值为 16、安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答）三、 解答题：17、（本题满分12分）已知为等比数列，求的通项公式。18、（本题满分12分）ABC的三个内角A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。19、（本题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。 （）求一个试验组为甲类组的概率； （）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。BMANC20、（本题满分12分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线线段，点A、B在上，C在上，AM = MB = MN。 （）证明ACNB； （）若ACB = 60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。21、（本题满分12分）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求的最大值。22、（本题满分14分）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。参考答案一选择题： 题号123456789101112答案CBDADCBBCCAB1向量、满足且设与的夹角为，则cos=， =，选C.2集合 ,选B.3函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=， ，选D.4双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， m<0，且双曲线方程为， m=，选A.5是等差数列的前项和，若 ，选D.6函数的单调增区间满足， 单调增区间为，选C.7圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.8中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.9正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2， 球的半径为，球的表面积是，选C.10在的展开式中，x4项是=15x4，选C.11设抛物线上一点为(m，m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.12用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.二填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在横线上。13. 14. 15. 11 16.240013函数若为奇函数，则，即，a=.14正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tan=, 二面角等于60。15，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.16先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排列，有=120种排法，所以共有20120=2400种安排方法。三解答题：17.解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q1=, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3.18.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为19. 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, 依题意有: P(A1)=2 = , P(A2)= = . P(B0)= = , P(B1)=2 = , 所求概率为: P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= + + = ()所求概率为: P=1(1)3= ABMNCl2l1H20.解法一: ()由已知l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得l2平面ABN.由已知MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.ACNB （）RtCANRtCNB, AC=BC,又已知ACB=60,因此ABC为正三角形.RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角.ABMNCl2l1Hxyz在RtNHB中,cosNBH= = = .解法二: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (>0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH,则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = 21. 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a>1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1<a<,则当y=1时, |PQ|取最大值2.22. 解: f (x)=3x22ax+(a21),其判别式=4a212a2+12=128a2.()若=128a2=0,即 a=, 当x(,), 或x( , +)时, f (x)>0, f(x)在(,+ )为增函数. 所以a=. ()若=128a2<0, 恒有f (x)>0, f(x)在(,+ )为增函数, 所以a2> , 即 a(, )( , +)()若128a2>0,即 <a<, 令f (x)=0, 解得 x1=, x2=.当x(,x1),或x(x2,+ )时, f (x)>0, f(x)为增函数; 当x(x1,x2)时 , f (x)<0,f(x)为减函数. 依题意x10且x21. 由x10得a,解得 1a<由x21得3a, 解得 <a< , 从而 a1, )综上,a的取值范围为(, , +) 1, ),即a(, 1,).
