复变函数 第四章 级数.ppt

复变函数 第四章 级数1现在学习的是第1页，共48页1.复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作aannlim此时也称复数列an收敛于a.2现在学习的是第2页，共48页定理一定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是bbaannnnlim,lim.lim,lim|)()(|)()(|bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn-同理所以则ee证 如果 ,则对于任意给定的e0,就能找到一个正数N,当nN时,aannlim3现在学习的是第3页，共48页反之,如果.lim|)()(|2|,2|,lim,limaaeaaeee-nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以从而有时当存在则任给4现在学习的是第4页，共48页2.级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式nnnaaaa21111,lim.,.nnnnnnnsssaa则级数称为收敛 并且极限称为级数的和 如果数列不收敛 则级数称为发散称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和.如果部分和数列sn收敛,5现在学习的是第5页，共48页定理二定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an,tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和,由定理一,sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在,即级数 和 都收敛.1nna1nna1nnb1nna1nnb1nna1nnb6现在学习的是第6页，共48页定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.0lim,0lim,0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数7现在学习的是第7页，共48页定理三定理三成立且不等式也收敛则收敛如果1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221|,|,|nnnnnnnnnnnbabbaabaa而由于证8现在学习的是第8页，共48页11111111111|,.|,limlim|nnnnnnnnnnnnkkkknnkkkknnkkkkababaaaaaaa可知级数及都收敛 因而和也都收敛 则是收敛的而又因因此或.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果nnnnaa9现在学习的是第9页，共48页.,|,|1111111112222绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaa10现在学习的是第10页，共48页另外,因为 的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.1|nna例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.11)1;2)cosinnneninnaa11现在学习的是第11页，共48页解 1)因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnabenaa数列收敛,且有12现在学习的是第12页，共48页2)由于 an=n cos in=n ch n,因此,当n时,an.所以an发散.例2 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?1011(8)(1)11)1;2);3)!2nnnnnniiinnnn-解 1)因 发散;收敛,故原级数发散.111nnnan2111nnnbn13现在学习的是第13页，共48页2)因 ,由正项级数的比值审敛法知 收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.(8)8!nninn18!nnn3)因 收敛;也收敛,故原级数收敛.但因为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.1(1)nnn-112nn1(1)nnn-14现在学习的是第14页，共48页2 幂级数15现在学习的是第15页，共48页1.幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式)1.2.4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.16现在学习的是第16页，共48页存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于D内的某一点z0,极限)()(lim00zszsnn1()nnfzs(z)称为级数 的和函数17现在学习的是第17页，共48页这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为 ,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:)3.2.4()2.2.4()()()()(2210022100-nnnnnnnnnnzczczcczcazcazcazccazc或0nnncz18现在学习的是第18页，共48页定理一(阿贝尔Abel定理).,|,|,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnnz0 xyO19现在学习的是第19页，共48页证nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|,1|,|,0lim,而则如果有使对所有的则存在则收敛因20现在学习的是第20页，共48页.|,1|000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc21现在学习的是第21页，共48页发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc22现在学习的是第22页，共48页2.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.23现在学习的是第23页，共48页显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy24现在学习的是第24页，共48页当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.25现在学习的是第25页，共48页例1 求幂级数nnnzzzz201)1(,1112-zzzzzzsnnn的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数,部分和为26现在学习的是第26页，共48页-nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111,1|.,1|,11,1|,11lim,0lim,1|)1(,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当27现在学习的是第27页，共48页3.收敛半径的求法定理二(比值法)如果0lim1nnncc.则收敛半径1R.证 由于 111|limlim|nnnnnnnnczczzczc 故知当1|z时,0|nnncz收敛,根据上节定理三,级数0nnncz在圆1|z内收敛.28现在学习的是第28页，共48页再证当1|z时,级数0nnnc z发散.假设在圆1|z外有一点 z0,使级数00nnnc z收敛.在圆外再取一点 z1,使|z1|1,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.34现在学习的是第34页，共48页2)1limlim11nnnncncn,即 R=1.在收敛圆|z-1|=1 上,当 z=0 时,原级数成为11(1)nnn-,级数收敛;当 z=2 时,原级数成为11nn,发散.这个例子表明,在收敛圆周上即有级数的收敛点,也有级数的发散点.35现在学习的是第35页，共48页3)因为1cosch()2nnncinnee-,所以 111limlimnnnnnnnnceeecee-故收敛半径1Re 36现在学习的是第36页，共48页4.幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.37现在学习的是第37页，共48页),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn-38现在学习的是第38页，共48页更为重要的是代换(复合)运算.)()(,|,|)(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.39现在学习的是第39页，共48页例 4 把函数bz-1表成形如-0)(nnnazc的幂级数,其中 a 与 b 是不相等的复常数.解 把函数bz-1写成如下形式:-nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收敛半径为 R=|b-a|40现在学习的是第40页，共48页Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛41现在学习的是第41页，共48页定理四 设幂级数-0)(nnnazc的收敛半径为 R,则 1)它 的 和 函 数-0)()(nnnazczf是 收 敛 圆|z-a|R 内的解析函数.2)f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到,即-11)()(nnnaznczf 42现在学习的是第42页，共48页3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即-010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzfzz或43现在学习的是第43页，共48页44现在学习的是第44页，共48页45现在学习的是第45页，共48页46现在学习的是第46页，共48页47现在学习的是第47页，共48页48现在学习的是第48页，共48页