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文科概率和统计基础知识概率与统计一、统计 1 1 三种抽样方法的比较类别 共同点 特点 相互联系 适用范围 简 单 随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不 放回抽样. 从总体中逐个抽 取.总 体 个 数较少.系统抽样 将总体平均分成几部分，按预先制定的规则在各 部分中抽取 1 个个体. 系统：在 起始部分取样时，采纳简洁随机抽样，其余部分等距抽。分层：各层抽样时，采纳简洁随机抽样或系统抽样（层的容量大时可用系统抽样）. 总 体 个 数较多.分层抽样 将 总 体 分 成 几层，按各层个体 数之比抽取. 总体由差 异 明 显 的几 部 分 组成.2 2 常用的统计图表：一表（频率分布表）；两图（频率分布直方图和茎叶图）(1) 频率分布直方图小长方形的面积=组距&times;频率组距=频率； 各小长方形的面积之和等于 1； 小长方形的高=频率组距，全部小长方形的高的和为1组距 直方图的纵轴（小长方形的高）一般是）频率除以组距的商（而不是频率），横轴一般是 数据的大小，小长方形的面积表示频率 (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好 3 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形 底边中点 的横坐标 中位数 将数据 按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）把频率分布直方图划分成 左右两个面积相等的 分界线与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的 算术平均数 每个小长方形的面积乘以小长方形 底边中点的横坐标之 和 (2)平均数1 21( )nx x x xn= + +×××+ 方差2 2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn= - + - +×××+ - 标准差2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn= - + - +×××+ - 标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定 4 变量间的相关关系 学问点分析 1、线性回来方程：a x b y &circ;&circ;&circ; + = （ x 叫做说明变量， y 叫做预报变量）线性回来方程系数公式：（ 公式说明：回来直线过样本的中心点 ) ( y x ， ，也就是平均值点.）2、相关系数公式3、几个结论：（1）回来直线过样本的中心点 ) ( y x ， . （2）b b 0 &gt;0 时， y 与 x 正相关，散点图呈上升趋势； b b 0 &lt;0 时， y 与 x 负相关，散点图呈下降趋势. （3）斜率 b 的含义（举例）：假如回来方程为 y =2.5 x +2，说明 x 增加 1 个单位时， y 平均增加 2.5 个单位； 假如回来方程为 y =2.5 x +2，说明 x 增加 1 个单位时， y 平均削减 2.5 个单位.（4）相关系数 r 表示变量的相关程度。 范围：1 £ r ，即 1 1 £ £ - rr 越 大，相关性越 强。0 > r 时， y 与 x 正相关； 0 < r 时， y 与 x 负相关. （5）相关指数2R 表示模型的拟合效果。范围： 1 0 2， Î R2R 越 大，拟合效果越 好， ，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较匀称，带状区域宽度越窄，拟合精度越高）. 2R 表示说明变量 x 对于预报变量 y 改变的贡献率。例如：64 . 02» R ，表明 x 说明了 64%的 y 改变，或者说 y 的差异有 64%是由 x引起的。（6）线性回来模型 e a bx y + + = ， 其中 e 叫做 随机误差。（ y 是由 x 和 e 共同确定的）二、概率 1 1 概率的五个基本性质 (1)随机事务 A 的概率：0&le; ( ) P A &le;1 (2)必定事务的概率为 1 (3)不行能事务的概率为 0 (4)假如事务 A 与事务 B 互斥（不行能同时发生），则 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + = + (5)假如事务 A 与事务 B 互为对立事务（不会同时发生，但肯定有一个发生），那么( ) ( ) ( ) 1 P A B P A P B + = + = ，即 ( ) 1 ( ) P A P B = - 对立必互斥，互斥未必对立 2 2 古典概型 (1)特点：有限性，等可能性 (2)概率公式：( )AP A =事务 中所含的基本领件数试验的基本领件总数3 3 几何概型 (1)特点：无限性，等可能性(2)概率公式：( )( )( )AP A =构成事务 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 三 、独立性检验 （一）学问点分析 1 1 、2 2&times;2 列联表：统计 被调查者的两种状态， 每种状态又分两种状况的调查结果表.对于 性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同值表示个体所属的不同类别，像这类变量称为 分类变量。2 2 、卡方统计量：为了探讨事务 X 与 Y 的关系，经调查得到一张 2&times;2 列联表，如下表所示：Y 1Y 2合计 X 1aba + bX 2cdc + d合计 a + cb + dn = a + b + c + d独立性检验原理：也叫）假设性检验（类似反证法原理），一般状况下， 假设分类变量 X和 Y 之间 没有关系，通过计算2K 值，然后 查表比照相应的概率 P P， 发觉这种假设正确的概率 率 P P 很小，从而 推翻假设，最终得出 X 和 Y 之间 有关系的可能性为(1P),也就是X X 和 和 Y Y有关系.（表中的 k 就是2K 的观测值，即2K k = ）统计量2K （读做 卡方），它的表达式是：) )( )( )( () (22d b c a d c b abc ad nK+ + + +-=独立性检验临界值表 P P( ( k k 2 2 &gt; &gt; k k ) ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （表中的 K K 是理论值，2K 是实际观测值，2K 越 大，说明变量间越 有关系）（二）独立性检验举例例 例 1 1、某高校统计初步课程的老师随机调查了选该课的一些学生状况，详细数据如下表：非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了检验主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，查对临界值 P P( ( k k 2 2 &gt; &gt; k k ) ) 0.10 0.05 0.025 0.010 k k2.706 3.841 5.024 6.635 依据表中数据，得到 。所以有的把握认为主修统计专业与性别有关系。例 例 2 2、某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节 目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观 众，相关的数据如表所示：（1）由表中数据分析，收看新闻节目的观众是 否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应当抽取几名？ （3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。参 考 公 式 与 数 据 ：) )( )( )( () (22d b c a d c b abc ad nK+ + + +-= 独立性检验临界值表 P P( ( k k 2 2 &gt; &gt; k k ) ) 0.10 0.05 0.025 0.010 k k2.706 3.841 5.024 6.635