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-毕业论文_带有隔离的传染病模型的全局分析-第 13 页天津职业技术师范大学Tianjin University of Technology and Education毕 业 论 文天津职业技术师范大学本科生毕业论文带有隔离的传染病模型的全局分析Global Analysis of Epidemic Model with Quarantine摘 要国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。本文主要讨论的是带有隔离的SIQS传染病模型。首先根据易感人群，染病人群和已经染病并且被隔离的人群建立一个关于带隔离传染病的SIQS模型。接着对所建立的模型中的偏微分方程组转化成方差方程组，然后求出该系统的平衡点，根据平衡点得到雅可比矩阵。再根据得到的雅可比矩阵依据定理和推论说明平衡点的稳定性。关键词：SIQS模型；差分方程；平衡点ABSTRACTFirst create a band isolated on infectious diseases SIQS model. Then on the established model of partial differential equations into variance equations, then find the balance point of the system, according to the balance point to get the Jacobian matrix. According to Jacobian matrix based on theorems and corollaries illustrate the stability of the equilibrium point. Key Words：SIQS model; Differential equation; Equilibrium point目 录1 引 言12 稳定性理论32.1矩阵的范数32.2全局的稳定性42.3线性系统的稳定性92.3.1非自治线性系统92.3.2自治线性系统102.4相空间分析122.5线性渐近稳定133 建立模型184 模型求解204.1求平衡点204.2平衡点的稳定性21结 论23参考文献24致 谢251 引 言在世界迅速的全球化的今天，传染病仍是当今世界范围内引起人类死亡的主要原因，而新传染病（甲型H1N1流感，AIDS病，SARS）的出现、旧传染病（性病、结核）的复苏，均构成了对人类健康的巨大威胁。因此，传染病的防制是关系到人类健康和国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究是防制工作的重要依据。传染病动力学就是根据疾病发生，发展及环境的变化等情况，建立反映其变化规律的数学模型，通过模型动力学性态的研究来显示疾病的发展过程，预测其流行规律和发展的趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其进行预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论基础和数量依据。传染病动力学的研究中，模型的建立一直是直观重要的。早在1760年，D.Bernoulli就用数学模型研究过天花的传播，但确定性的传染病模型始于二十世纪。1906年Hamer为理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散模型。1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究，得到了疟疾流行与否的临界值，Ross因此而获得第二次诺贝尔医学奖。1926年Kermack和McKendrick为研究1665-1666黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，提出了疾病流行与否的阀值理论，为传染病动力学的研究奠定了基础。传染病动力学的模型与研究于20世纪中叶开始蓬勃的发展。其标志性的著作是Bailey于1957年出版、1975年第二版的专著，近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。生态系统是在一定空间范围内，各生物成分和非生物成分通过能量流动、物质循环、信息传递和价值流向而相互作用、相互依存所形成的一个生态学单位。任何一个生态系统都是结构和功能相互依存，相互制约的统一体。结构和功能相互适应、完善，使生态系统在一定时间内各组分通过制约、转化、补偿、反馈等机制处于协调稳定状态。在其弹性限度以内的外来干扰下，生态系统通过自我调节，可以恢复到初始的稳定状态或者保持一定的稳态平衡。生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是个多层次、多因子、多变量的系统。对它的管理和研究，也是多方面的，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞不清它的内在规律。用系统分析的方法对生态系统进行全面的分析，建立数学模型，找出物质生产、能量流转和价值流向的定量规律，对生态系统实行管理、预测和调控，使其持续稳定发展已成为现代生态学研究的重要课题和前沿领域之一。依照分离的时间间隔来模拟世界，这是一种有效的方法就像时钟一样，不是连续滑动，而是一秒一秒往前跳动。微分方程描述了随时间而平稳变化的过程，但微分方程难以计算；对于一种状态跳到另一种状态的过程可以采用简单些的方程差分方程。假设在种群中无传染病存在时，总群的增长规律就是种群总数与出生率和正常死亡率差的乘积。在传染病存在于种群中的时候。设总种群（N）分为易感类（S）和染病类（I）。若传染病恢复后不具有免疫力，即染病者恢复后又成为易感者。这时相应的传染病模型称为SIS模型。模型一般适用于由细菌引起的传染病。当引入隔离后，总种群（N）分为由易感个体组成的子种群（S），由已经染病但未被隔离的个体组成的子种群（I）和由已经染病并且被隔离的个体组成的子总群（Q）。设被隔离者恢复后也不具有免疫力，即恢复后又成为易感者，这时相应的传染病模型被称为SIQS模型。 2 稳定性理论2.1矩阵的范数 我们开始本节引入的概念，向量和矩阵的范数。定义2.1。实值函数的向量空间V被称为范数，用表示，如果下面的性质成立：和当且仅当对于所有的和标量对于所有的.最常用的三个范数如图2-1所示。在这里，我们要注意，所有范数在这个意义上是等价的，如果，是任何两个范数，那么存在常数，使得 因此，如果是在中的数列，然后当当且仅当，当对应每个向量范数在。一个可以用K×K矩阵A定义这个范数为它可以容易使用这个定义，可以很容易地计算相对上述三种范数如表2-1所示。 ，我们可以推断，任何范数其中谱半径的特征值A。表2-12.2全局的稳定性让我们考虑向量差分方程其中。我们假设有在中是连续的。回想一下，被说成是自主或时间不变的，如果变量n不显式出现在右边的方程 。则可以被说成是周期性的，如果所有正整数 N有A点对被称为在的平衡点，如果对所有时。在大多数的文献中被假定为原点O，被称为零解。这个假设的理由如下：设则成为请注意，的对应于。由于在许多情况下，也不是很方便，使这个坐标变换，我们将假设，除非它是这样做的更方便。回想一下，在以前，我们处理的存在性和唯一线性系统解决方案，这个情况下解的存在性和唯一性。，其中是一个矩阵。我们现在准备推出的各种稳定的平衡点的概念。定义2.2平衡点在被说成是：（一） 稳定性，如果给定的和，存在，意味着 对所有都是均匀稳定的。如果会独立选择时，则他不是稳定的。（二） 渐近性，如果存在当意味着，一致渐近。如果是选择是独立的。一致渐近的条件可能会转述成，存在，使得每个和存在独立，当对所有，每当。（三） 渐近稳定性，如果它是稳定和渐近的，且均匀渐近稳定，如果是均匀稳定和均匀渐近。（四） 指数稳定性，如果存在，和。，当, （五） 解是有界的，如果一非负的常数M，为所有，其中M可能取决于每个解。如果在部分（二），（三）或部分（四）时，相应的稳定是被认为是全局性的。在图2-2中，我们压制（时间）n和只显示运动的一个解，为球内的半径。下图所示，未来所有状态中，时。会留在球内。此图被称为相空间画像，并且将在后面的章节中广泛使用。图2-2 在相空间中的稳定平衡图4-3 稳定平衡图2-4 一致渐近稳定平衡点图2.5 稳定性概念层次在图2-3中，表示时间是一个三维坐标系统的一部分，并且提供了另一种视角的稳定。图2-4描述了一致渐近稳定的零解。请注意，在上面的定义中，一些稳定点意味着一个或多个。图2-5显示了层次结构的稳定性的概念。重要说明：在一般情况下，图4-5中的箭头不可能逆转。然而，对于特殊类别的方程，这些图4-5中的箭头可能逆转。在本节中，将显示的线性系统其中，是一个K×K矩阵Z上定义的一致渐近稳定性意味着指数的稳定性（UASES）。对于自治系统我们有下面的结果。定理2.3。对于自治系统，下面的语句是关于平衡点：证明。设和对于的两个解，。请注意，和在时相交。通过独特的方案解决。这意味着，在稳定的定义中的是相对于初始时间独立的。这样就确立了我们的结果。证明和跟证明的时候类似。下面的例子是对定义的说明。1 该标量方程的解由下式给出的，因此零解是均匀稳定，但不是渐近稳定的。2 标量方程的解是因此，可以得出以下结论：（一） 零解是稳定的，当且仅当其中M是一个取决于的正的常数。此条件成立的情况下，如果其中。为了说明这一点，我们写出的解，当。因为，它遵循由于和，如果我们让，然后意味着。（二） 零解是一致稳定的，当且仅当其中M是一个相对于独立的正常数。如果则条件成立。（三） 零解是渐近稳定的，当且仅当这种情况清楚地认为，如果。该解是由决定的。因此，零解是一致稳定和渐近稳定（全局），但不是一致渐近稳定。 （四） 零解是一致渐近稳定（从而指数稳定），当且仅当对于一些，。如果这可能是成立的。定理2.7。在实线上有一个连续映射吸引不稳定的固定点。为了方便定理的证明，我们首先建立一个稳定的相对于独立的结果，因为不要求可微性。定理2.8 。一个固定的点的连续映射是渐近稳定当且仅当有一个开区间含例如，的和的。2.3线性系统的稳定性2.3.1非自治线性系统在这一小节中，我们调查的线性非自治的稳定性（随时间变化）系统。我们假设对于是非退化的。如果是任何基本矩阵系统或，然后记得作为转变矩阵。在下面的结果，我们表达了稳定矩阵系统的根本条件。定理2.9。考虑系统。然后它的解是（一） 稳定的当且仅当存在一个正的常数M，使得当 （二） 一致稳定的，当且仅当存在一个正的常数M，使得该当 （三） 渐近稳定的，当且仅当（四） 一致渐近稳定，当且仅当存在正常数和，使得：当 推论2.10。对于线性系统下面的结论成立：（i）本零解是稳定的，当且仅当所有的解是有界的。（ii）本零解是指数稳定的，当且仅当它是一致渐近稳定的。推论2.11。对于系统，每一个局部稳定的零解意味着相应的全局稳定。定理2.12 （1） 若，则系统的零解是一致稳定的。（2） 若，对于一些，那么零解是一致渐近稳定的。2.3.2自治线性系统在本小节中，我们专门对上一节的自治系统（时间不变）的结果在接下来的定理，我们概述线性自治系统的主要稳定结果。定理2.13。下面的结论成立：（I）的零解是稳定的，当且仅当和特征值的单位模量半单。（ii）的零解是渐近稳定的，当且仅当。在许多应用中需要明确的标准矩阵的条目特征值在单位圆内。因此，考虑矩阵其特征方程由下式给出或者比较与方程其中，我们可以从定理中知道条件是和的平衡点或者解是渐近稳定的充分必要条件。得出结论单位圆内的特征值当且仅当 或者，等价它如下所示的条件下中，零解的方程。是渐近稳定的。 定理2.14（稳定的子空间（集成块）定理）。如果A是一条双曲线，则下列说法成立：（一） 如果是的解在中，然后对于每个中，。此外（二） 如果是的解在中，然后对于每个中，。此外2.4相空间分析在本节中。我们讲研究二阶线性自治系统（时间不变）的稳定性。或者当回想一下。是系统的一个平衡点。如果或者。所以如果是非奇异的。则是这个一系统的唯一平衡点。另一方面，如果是奇异的。则有一系列的平衡点。则如图2-8。在后者情况下我们把代到得到系统则这是跟是相同的系统。因此任何平衡点稳定的性质与平衡点 是相同的。此后，我们将假设是系统的唯一平衡点。 让是的Jordan标准型。则具有下列的一种形式。不同的实数特征值。相同的特征值。共轭复数的特征值。 如果我们让或 图2-8 渐近稳定的节点则系统就变成了如果是系统的初始条件。则系统相应的初始条件就是。所以我们就可以注意到系统和系统有相同的稳定点性质。2.5线性渐近稳定它的线性分量为；其中是一个的矩阵，对于任意n是属于，函数，是一个连续的函数。其中，在平衡点处是连续可微的，现在我们用线性化方法描述一下系统。我们把写成的形式则会有:为了方便起见，被记为,将代人中则有：其中。果我们令,那么我们就得到系统这个方程。从假设我们能得到结论。这意味着当存在使得 成立，这里，任意属于。我们注意当时，有：使得系统在特殊情况下是一个自治系统。可写成定理1.假设。如果线性系统的零解是一致渐近稳定的，那么非线性系统的零解是成指数稳定的。证明：给出和由常数变化得到的可以将方程写成从而对于给定的，有，只要，方程就能变为令，然后用Gronwall不等式将方程转化为从而有，令，则。从而凭借方程，我们可知是成指数稳定的。推论2.如果，那么方程的零解是成指数稳定的。推论3.如果，那么方程的零解是成指数稳定的。定理4.若，则方程的零解可能是稳定的或者是不稳定的。若且，则方程的零解不是稳定的。定理5.（离散Gronwall不等式）令和为两个实数序列。，如果那么对于任意有3 建立模型假设在种群中无传染病存在时，总群的增长规律就是种群总数与出生率和正常死亡率差的乘积。在传染病存在于种群中的时候。设总种群（N）分为易感类（S）和染病类（I）。若传染病恢复后不具有免疫力，即染病者恢复后又成为易感者。这时相应的传染病模型称为SIS模型。模型一般适用于由细菌引起的传染病。当引入隔离后，总种群（N）分为由易感个体组成的子种群（S），由已经染病的个体组成的子种群（I）和由已经染病并且被隔离的个体组成的子总群（Q）。设被隔离者恢复后也不具有免疫力，即恢复后又成为易感者，这时相应的传染病模型被称为SIQS模型。 SQNI 传染病患者能传染给易感人群的数目与此环境中的未隔离的易感人群所占的比例成正比。其中为疾病的传播系数，为出生率，为染病者的恢复率，为染病率和被隔离的因病死亡率，为隔离者的恢复率，为对染病者的隔离率。为正常死亡率。以上参数都是正的。4 模型求解4.1求平衡点我们建立的模型是首先对已经建立的模型把它转化为差分方程。因为则可以得到则模型可以转换为，在所占比例的差分方程模型。令模型中表示易感人群在总人群中的比例，为已经感染的人群在总人群的比例，为已经染病并且被隔离的人群在总人群中的比例。则模型变换为 又因为 则代入原模型变换为所以该模型的平衡点是和4.2平衡点的稳定性则对于的雅可比矩阵是则 将代入则 根据定理假设。如果线性系统的零解是一致渐近稳定的，那么非线性系统的零解是成指数稳定的。则我们就可以称平衡点是渐近稳定的。则根据平衡点的雅可比矩阵。则的特征值为和因为我们知道参数都是大于零小于一的。则当时则根据定理如果 则方程的零解不是稳定的。当时则根据定理如果，系统的零解是渐近稳定的。当时则系统不确定是否稳定。所以在平衡点是渐近稳定的。而平衡点，在时是不稳定的，在时是渐近稳定的。在时不能确定它是否稳定。结 论按照传染病传播的一般规律，建立数学模型，用数学的方法研究这个模型，进而提出有效的预防传染病蔓延的手段是当今传染病研究的一个热点问题具有重要的现实意义。本文主要对一个模型进行了定性分析。 模型为通过对这个带有隔离项的模型研究，本文证明了模型的平衡点的存在性和它的渐近稳定性。当然对于传染病值得研究的内容还很多。本文仅仅考虑了一类简单的传染病模型。在实际生活中，影响传染病传播的因素很多，比如不同形式的传染率，多个区域同时传播等等，因而传染病模型的研究具有很重要的现实意义，因为传染病与人类的生存息息相关，所以传染病的研究前景和意义都是不可估量的，本人还需要更多的学习数学方法和计算机的技巧，以便能够综合运用传染病动力学知识，更好地来研究更多更复杂的数学模型。参考文献1Hethcote H W. The mathematics of infectious disease J.SIAM Review.2000;42:599-6532Feng Z,Thieme H R.Recurrent outbreaks of childhood disease revisited.The impact of isolationJ.Math Biosci,1995;128:93-1303Wu L I,Feng Z.Homoclinic bifurcation in an SIQR model for childhood diseaseJ.J Differential Equations,2000;168:150-1674Feng Z,Thieme H R. Endemic models with arbitrarily distributed periods of infection. :General theory J.SIAM J Appl Math,2000;61:803-8335刘辉，李海。Maple 符号处理及应用M.北京：国防工业出版社，20016马知恩，周义仓，王稳地，靳祯传染病动力学的数学建模与研究M北京：科学出版社，2004.1.277马知恩种群生态学的数学建模与研究M合肥,安徽教育出版社，19968余贺，龙振洲医学微生物学M北京：人民卫生出版社，1985；106-1089Allen L J S, Jones M A, Martin C F.A discrete-time model with vaccination for a measles epidemic J. Mathe-matical Biosciences,1991,105:111-13110 Allen L J S. Thrasher D B. The effects of vaccination in an age-dependent model for varicella and herpes zoster J. IEEE Transactions on Automatic Control,1998.43:779-78911陈兰荪，陈键。非线性生物动力系统M.北京：科学出版社，199312Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic complexities in a single-species discrete population model with stage structure and birth pulses J.Chaos Solitons.Ftactals,2005,23:519-52713 Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic complexities in a single-species discrete population model with stage structure and birth pulses J.Chaos Solitons.Ftactals,2005,24:1013-102314李建全，马知恩。一类带有接种的流行病模型的全局的稳定性J.数学物理学报，2006，26A（1）：21-3015Lu Zhonghua , Chi Xuebin , Chen Lansu. The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model J. Mathematical and Computer Modeling,2000,31:207-215致 谢在本文即将成文之际，我要由衷地感谢在我毕业论文阶段，帮助和支持过我的老师和同学！首先衷心地感谢我的导师吕晓静副教授！在这十几周里，吕老师一直对我悉心指导，在学习和科研方面给了我大量的辅导，文中的每一步都倾注着吕老师无微不至的关怀、教导和鼓励.经过这一段时间的学习，我不仅学到了知识，掌握了研究此类问题的方法，也获得了实践锻炼的机会，这为我以后的学习生涯提供了宝贵的经验。此外，我要感谢与我一起生活和学习的各位同学，成文期间许多同学为我的论文提供了宝贵的建议。最后，衷心地感谢在百忙之中抽出时间审阅本论文的各位专家教授。