三维设计二轮特色题专项练(二)　开放探究题 (2).docx

特色题专项练（二）开放探究题1 . （2021 人大附中模拟）b克盐水中含有克盐，假设给盐水加热，蒸发了 皿。<根<b）克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：.解析：原来盐占盐水的比例为与给盐水加热，蒸发了双0机Vb Q）克水后，盐占盐水的比例为高？那么的比例为高？那么bm b答案：广吟 b-m o2 . （2021宁波镇海中学模拟）函数人幻=321.2 + 31.+ 3,写出对任意的 人幻>0的一个充分不必要条件.解析：假设於）>0恒成立，那么=1时成立；a= - 1时，«x）= -2x+3>0,不恒成立；tz21>0,13时，益）是二次函数，那么八2 s,2 I、八 解得。>1或。<一万,”）>0的充/=-12 （tz 1） <0,11B要条件是或<对任意的x£R, /（x）0的一个充分不必要条件可以是。=1.答案：=1（答案不唯一）3 .（2021 山师大附中模拟）写出一个定义域为x0<x<3,值域为y|0Wy<4的函数解析 式解析：由题意得，当0<%<3时，0Wy<4,函数y=（xIp在对称轴x=l处取最小值0, 且 y<（31）2=4,故可为 y=（x1产答案：y=（九一iR %e（o, 3）（答案不唯一）4 .函数段）满足以下性质:3）定义域为比 值域为1, +8）； （ii）在区间（-8, 0）上是减函数；（W）图象关于x=2对称.请写出满足条件的/U）的解析式（写出一个 即可）.解析：y（x） = （x2）2+1满足上述3条性质.答案：八幻=（九一2）2+1（答案不唯一）5 .函数人x）满足：（1）对于任意的为，应£比有人为+工2）=/（羽）负12）; （2）满足“对 任意xi，及£匕 且即WX2,都有"小一二9匕<0”.请写出一个满足这些条件的函数 XX2（写出一个即可）.解析:根据指数的运算性质，能小=废铲,可得所有指数函数7U）满足其国+九2）=/3）火垃）, 又;满足“对任意为，x2eR,且为WX2,都y（箝）f 8 V0”,即函数是一个在R上的 X-X2减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为«x）=er.答案：«x）=er（答案不唯一）336 .等式 sin2300 + sin2300 + sin 30°sin 30。=不 sin240o+sin220°+sin 40°sin 20。=不 请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了等式，这个等式为.解析：仔细观察题中所给两个等式中角的关系，第一个等式中，有30。+ 30。= 60。，同 样第二个中有40。+ 20。=60。，所以可以写出一般性等式sin2+sin2(60。一a) + sin sin(60。3a)=不证明如下：sin2 Q + sin2(60° a) + sin o sin(60°a)=1(l-cos2)+1l-cos(120°-2a) +1cos(60° 2a)cos 60°3 1=t+cos(60° 2a)cos 2 a cos(120° 2a)fl c I 止, 1 c 史=W+丛cos 2 4 十 2 sin 2 4 cos 2 o 十2cos 2 o sin 2答案：sin2 a +sin2(60°«) + sinsin(60°7 .(2021苏州金陵中学模拟)设数列斯的前项和为S，且X/£N",即+>斯，S会S6. 请写出一个满足条件的数列的通项公式斯=.解析：VnGN*,斯+】>斯，那么数列斯是递增的，VnGN*, S会Ss,即S6最小,只要前 6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0,即可，所以满足条件的数列斯的一个通项 公式 ann6(£N*).答案：一6(WN")(答案不唯一)8 .函数7U) = sinOx+9)(>0)满足看)=?)=0,写出一个满足要求的函数«x) 的解析式.解析：函数“¥)= $m(切工+9)(加>0)满足彳看)=?)=0,那么%"一%"=与，kRZ,不妨,5 兀 “74 n2 n 3,3、设Z= 1,那么7-石=1，解得T= 3，所以= 1 = 所以#x) = sinGx+0> 3>0,由f ji A3 叮、,3n4句 =0可得X不+9 =攵”,kGZ,不妨设k=l,代入可得夕=丁，所以/(x) = sin(jx+丁J.答案：«r) = sin&+?)(答案不唯一)9 .(2020海淀区人大附中模拟)函数/(x)的导函数为/(x),能说明“假设/(x)<0对任 意的x£(0, +8)都成立，且10)0,那么於)在(0, +8)上必有零点”为假命题的一个函数 是.解析：“假设/(x)<0对任意的x£(0, +8)都成立，且犬0)>0"，那么在(0, +8)上递减， 且.«0)0,再由“段)在(0, +8)上必有零点”为假命题，可得於)的图象在(0, +8)与x轴无交点，这样的函数可以是产优（0<。<1）,即尸符合.答案： >=（0'（答案不唯一）10 . （2021 无锡市高三模拟）如下图，在正四棱柱ABCD-ABCD 中，E, F, G, H分别是棱CG，GOi，DD 0c的中点，N是8c的 中点，点加在四边形EFG”及其内部运动，那么M只需满足条件时，就有MN平面88DA.（注：请填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑全部可能情况）解析：连接FH,bN（图略），那么尸HOOi, HNBD,又FHCHN=H,平面/7/N平面只需MWFH,那么MNU平面FHN,阿平面3出。1.答案：点M在线段/”上（或点M与点”重合）11 .在正方体45。-4囱。|中，。是底面A5CQ的中心，E, F, G, H分别是棱4A,BiB, GC,的中点，请写出一个与40垂直的正方体的截面（写出一个即可, 不必写出全部）.解析：如下图，连接OG, ACi.易知BQJ_AC, BD±AAly且 ACGAAi=A,故 平面 ACG4,AiOU平面 ACG4,故3OJ_4。， 设正方体边长为2,那么4。=44汨+402 = >4+2 =加,0G y）0C2+CG2=诲有=5，AiG=d土G+CiG2=FR = 3,故 AiG2 =/l1O2+OG2,故 4OJLOG, OGHBD=O.答案：G8。（答案不唯一）12 . （2021哈尔滨三中模拟）在3c2= 16S+3s2 /）；5cos C+4c=5。，这两个条件 中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在A3C中，内角A, 3, C的对边分别为a",的设A8C的面积为S,.求tan B的值；（2）假设 S=42, q=10,求的值.注：如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分.2 +一 人2解：（1）选择条件：由题意得 8acsin 8=3（/+。2/）.EP 4sin B=3-彳; ,整理可得 3cos B4sin 5=0,又 sin B0,所 以 cos B>0,所 以 tan LUA U i"选择条件：因为5/?cos C+4c=5，由正弦定理得，5sin Bcos C+4sin C=5sin A,5sin Bcos C+4sin C=5sin(B+Q,即 sin C(45cos B) = 0,4在ABC 中，sinCWO,所以 cos 8=7,33又 0<B< 冗，所以 sin B=yJ 1 cos2B=，所以 tanI33(2)由 tan 3=?,得 sin 3=( 又 S=42, q=10,*wZ113那么 S=5csinX 10cX彳=42,解得 c 14.乙乙J将 S=42, a=109 c=14 代入 6d=16S+3s2+。一°2)中,得 6X 142=16 X 42 + 3(/?2+142-102),解得13.(2021 天津市第八中学模拟)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为 长方形，S3,底面A8CD,其中8S=2, R4 = 2, 8C=九4的可能取值 为2=；2=3；2=乎；4=5;2=3.求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值;(2)假设线段C。上能找到点£,满足A£_LSE,那么2可能的取值有几种情况？请说明理由;(3)在(2)的条件下，当4为所有可能情况的最大值时，线段CQ上满足AEJ_SE的点有两 个，分别记为左，及，求二面角的大小.解：(1)因为S5J_底面ABCD,所以NSAB即为直线AS与平面 ABCO所成的角，在 RtZXS朋中，sinZSAB=sin 45°=-.(2)以B为坐标原点，以BC, BA, 5s的方向分别为x轴，y轴， z轴正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么各点坐标分别为5(0, 0, 0), A(0, 2, 0), £>(z, 2, 0), S(0, 0, 2).设 E(九 x, 0)(0WxW2),所以® =(九 x, -2),前=(一九 2一x, 0)JE-/I2+x(2 -x) = 0；2=x(2 -x),因为龙£0, 2, A2=x(2-;c)e0, 1,所以在所给的数据中，4可以取.(3)由(2)知2=号，此时尤=:或x=9，即满足条件的点E有两个，根据题意得，其坐标为亭，义，0,和及(, 1, 0),因为 S8J_平面 ABC。，所以 SBd_BEi,SB上BE2,所以/后归也是二面角E1-S8-E2的平面角,_> _>3 3,> BEi BEZ 4 4 a/3所以 cos （BE, BE2） = 1、/7z= 9 |BEi| IBE2I MW 2由题意得二面角E1-S8-E2为锐角，所以二面角ESB-E2的大小为30°.14. （2021本溪高级中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，点。（小，0）,直线/： x =2审，动点P满足到点Q的距离与到直线I的距离之比为乎；点H（f, 0）, G 是圆氏f+y22dlx21=0上一个动点，线段HG的垂直平分线交G£于P；点S, T 分别在x轴，y轴上运动，且|S7 = 3,动点。满足=坐OS +半。丸（1）在、这三个条件中任选一个，求动点尸的轨迹C的方程；（2）设圆0： /+ = 2上任意一点a处的切线交轨迹。于加，N两点，试判断以为 直径的圆是否过定点？假设过定点，求出该定点坐标；假设不过定点，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：（1）假设选，设尸（x, y）,根据题意得""专三翳"=乎，整理得t+?=L92所以动点P的轨迹。的方程为菅+¥=1. o 5假设选，由 £： f+y2 2小X21 =0 得（X小）2+y2 = 24,由题意得|P”| = |PG|,所以|P"| 十 |PE| = |P。+£| = |片。=2玳>|阳=2小，所以点P的轨迹C是以H, E为焦点的椭圆，且。=加，c=小,故?2所以动点尸的轨迹。的方程为W+T=l03假设选，设 P(x, y), S(f, 0), T(0, y')，故 x+y2=9(*).因为市=坐区+半行即 - 2元 =小），,X 3 x，,所以厂近，y 3）'，7272将其代入（*）得所以动点P的轨迹C的方程为W+?=l.当过点A且与圆0相切的切线斜率不存在时，切线方程为工=也或x=一也. 当切线方程为工=也时，M他,也），N他,一也），以MN为直径的圆的方程为（x也）2+丁=2.当切线方程为x=一也时，M（一也，也），N（一也，一也），以MN为直径的圆的方程为（x+也）2+9 = 2.由联立，可解得交点为(0, 0).当过点A且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程为)，=履+加,那么故"2=2(%2+1).y=kx-m9止+且_ 并消去y,得(1+2后)九2+4切a+2>-6=0.因为 / = 16后机24(1 +2F)(2?26)= 8(m263-3)= - 8(23+2 6%23) = 8(43 +1)>0,所以切线与椭圆C恒有两个交点.设 M(xi, yi), N(X2, >2),那么 xi+x2= 4km1+2S'2m26*M2= 1+2於'因为力筋= (xi, yi), ON=xi, ”),所以 0荷 ON =xxi-yyi=xX2+kx + m)(kxi+m) = (1 + Z:2)xi%2 + km(x +%2)+ m2 = (19 2m2 64km 9 37n2-66Z:2+标>1记+力"7T而+根=i+2F3X2 (F+l) -6-6lc1+2F所以0M，0N,所以以MN为直径的圆过原点(0, 0).综上所述，以为直径的圆过定点(0, 0).