《应用数学》A层次教学大纲.doc

应用数学A层次教学大纲一、课程的教材、性质、任务、基本要求、考核及成绩评定教材：高职高专十一五规划教材，大象出版社，李华主编，应用数学（理工类）性质：高等数学课程是高职理工类各专业的一门重要的必修基础课。任务：通过高等数学的概念教学，培养学生抽象思维的能力和空间图形想象的能力；通过高等数学基本计算的训练，培养学生的基本运算能力；通过高等数学各方面应用的训练，培养学生分析和解决实际问题的能力。基本要求：以教育部制定的“高职高专教育高等数学课程教学基本要求”为教学基本要求，突出“以学生发展为本”的教育思想，按照“以应用为目的，以必需、够用、好用、实用”的原则,让学生重点掌握一些一元微积分、向量与空间解析几何、多元微积分、常微分方程和级数的基本知识及其基本应用。考核及成绩评定：高等数学（理工类）课程为理工类各专业的必修考试课。满分为100分。 平时成绩30%（包括出勤、作业、和课堂表现）；期末闭卷笔试，占70%。二、课程内容（一）函数、极限与连续内容：函数的定义，函数的表示法，性质（有界性，单调性，奇偶性，周期性），反函数； 基本初等函数，复合函数，初等函数。数列，数列的极限，函数的极限（左右极限）；无穷小，无穷大，无穷小与函数的极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较； 极限的基本性质，四则运算，两个重要极限； 基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。重点：函数的概念、求函数的定义域、分析复合函数的复合结构。极限的求法，两个重要极限公式，函数在一点连续的概念。（二）导数与微分内容：导数概念、记号、几何意义，可导与连续；四则运算法则，复合函数求导法则，反函 数求导法则，基本初等函数导数公式； 微分的定义，运算，微分的几何意义，微分的应用；参数方程确定的函数的导数，隐函数的求导，取对数求导法；高阶导数。重点：导数的概念，导数的代数意义和几何意义，函数的一阶导数的求法，初等函数的二阶导数的求法，微分的应用（三）导数的应用内容：微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理），洛必塔法则；函数的单调性及判断，极值及求法；函数的最大值，最小值及其应用问题；曲 线凹向性及其判定，拐点及其求法，函数图形描绘。重点：用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数图形的单调性、凹向性及拐点，利用导数求函数的极值及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题，（四）不定积分内容：原函数与不定积分，不定积分运算与导数、微分运算之间的关系，不定积分的性质，基本积分公式和直接积分法；第一换元法，第二换元法；分部积分法。重点：原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法。（五）定积分内容：定积分的概念，引例，定义；定积分的几何意义，基本性质；微积分基本公式，积分上限函数及其导数 ，牛顿莱布尼兹公式；定积分的计算：换元积分法，分部积分法。定积分的几何应用重点：定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法。定积分的几何应用（六）空间解析几何与向量代数内容：空间直角坐标系，两点距离公式；向量的概念，向量的加法与减法，数量与向量的乘法，向量在直角坐标系中的分解式及方向余弦，向量的代数运算，两向量的数量积，两向量的向量积；平面方程的点法式，平面方程的一般式，平面方程的截距式，两平面夹角；空间直线及其方程：直线方程的点向式、一般式；曲面方程概念，曲面与空间曲线：柱面，空间曲线的方程，旋转曲面，常见的二次曲面。重点：向量的概念，向量的加法、数乘向量、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘向量、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的点向式方程、两点式方程和一般式方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面方程及其图形。（七）多元函数微分学内容：二元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭区域上二元函数连续性；偏导数的定义，二元函数的偏导数的几何意义，高阶偏导数，全微分的概念，全微分的应用；多元复合函数微分法，隐函数的微分法；空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程；多元函数的极值及求法，最值及应用问题，条件极值与拉格朗日乘数法。重点：二元函数的概念，偏导数的概念与计算 ，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量，曲面切平面的法向量，多元函数极值的必要条件和充分条件（八）多元函数积分学内容：二重积分的引例，定义，性质；直角坐标系下二重积分计算，极坐标系下二重积分计算；二重积分在几何上的应用如体积和平面图形的面积，曲面的面积；曲线积分，格林公式及其应用。重点：二重积分的概念，直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用问题。（九）无穷级数内容：无穷级数的定义，级数敛散性的定义，级数的性质，数项级数收敛的必要条件；正项级数的审敛法，交错级数及审敛法，绝对收敛与条件收敛；幂级数的概念，收敛半径与收敛区间，幂级数的性质（四则运算和连续性，逐项积分，逐项微分）；泰勒级数，麦克劳林级数，直接展开法，间接展开法；幂级数的应用举例，近似计算等。重点：正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基本性质，函数展开成 幂级数。（十）常微分方程内容：微分方程的定义，阶，解，通解，初始条件，特解；可分离变量的方程，一阶线性方程；二阶可降阶微分方程，二阶线性微分方程，二阶常系数线性齐次方程的解，应用举例。重点：微分方程通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，应用举例。三、使用说明：（1）高等数学课程，理工类学生学习一学年，第一学期48学时，第二学期72学时，共120 学时；（2）内容的处理上，结合高职学生的特点，适度淡化较深的理论推导，强化几何直观说明，以学生弄懂，记住，会用为目的。5