西安交通大学复变函数1月试卷A含答案.docx
西安交通大学复变函数1月试卷A含答案西安交通高校本科生 课程 考试 试题 标准答案 与评分标准课程名称：复变函数 （A A ）卷课时：32考试时间：9 2009 年 年 1 1 月 月 4 4 日一、填空题（每题 6 分，共 60 分）1. 解：3( 1 ) ln 1 ( 1 ) ln 2 ( 2 )4Ln i i iArg i i k i p p - + = - + + - + = + + （4 分）其主值为3ln( ) ln 24i p -+ = + （6 分）2解: 因为2 2 2 22 3 3 2x y x yu nxy u my nx v x ly v lxy = = + = + =要使x y y xu v u v = = -即2 2 2 22 2 ,3 (3 ) nxy lxy my nx x ly = + = - + （5 分） 故有 1, 3 m n l = - = = - （6 分）3解：因为 ( , ), ( , ) u x y v x y 均可微，且 2 , 0, 0, 2x y x yu x u v v = = = = -要使x y y xu v u v = = - ，只有 1 x=- （4 分） 故当 1 x=- 时 ( ) f z 可导，但在整个复平面到处不解析。（6 分）4解：由于2ze 在复平面上解析，它的积分与路径无关，故（3 分）2 2 2 21 1| ( ) sin22 2z z i i iiCe dz e e e i-= = - =ò（6 分）5解：因为被积函数在整个复平面解析，由 Cauchy-Gourst 定理知 3coszCz ze dzò0 （6 分）6解：因为1( )2zef z-= 在复平面解析，由高阶导数公式有 (2)032! 1 1 1(0) |2 2 2 2zzzCedz f ei z p=-= = =ò，（5 分）所以312zCedzz-ò2i p（6 分）7 解：因为1nnnc z¥=å在 1 2 z i =- + 收敛，故由 Abel 定理知当 1 2 5 z i £ - + = 时的 级数都肯定收敛，所以收敛半径 5 R ³ ，（3 分）若 5 R > 则 1 2 z i =- + 时的级数为肯定收敛，这与已知为条件收敛冲突。故 5 R = 。（6 分）8解：由于 0 z = 为21( ) zzf = 的二级极点， 2 z k i p = ( ) k Z Î 为1( )1zg ze=-的一级极点，其中当 0 k = 时， 0 z = 为1( )1zg ze=-的一级极点，故 0 z = 为21( )( 1)zf zz e=-的三级极点；（4 分）2 z k i p = ( , 0) k Z k Î ¹ 为21( )( 1)zf zz e=-的一级极点。（6 分）9解：函数有两个有限远奇点 0、2，它们都是函数的一级极点。（2 分）01Res ( ),0 |2 2 2zzef zz= = -，（4 分）22Res ( ),2 |2 2 2zze ef zz= = -（6 分）10解：因为 cos2n ne ein-+= ，所以 limcosin=+¥ ，那么1cosnin¥=å发散。（4 分）因此原级数发散。（6 分）二解：(1)当 0 1 z < <因为21 1( )(1 ) 1 z z¢ =- -，又由01, 11nnz zz¥= <-å，所以 1201, 1(1 )nnnz zz¥-= <-å.4 分 因此1 120 1 11 1( 2)(1 )n n nn n nnz nz n zz z z¥ ¥ ¥- -= = =-= = = +-å å å （6 分）(2)当 1 z < <+¥ 23 21 11(1 )(1 )z zzz= -，（8 分）由(1)知1201 1( ) ,1(1 )nnnzz¥-=-å 因此2 20 31 1 1( 2)(1 )n nn nn nz z z z¥ ¥+= = - = - -å å（10 分）三解：记202 sin1x xI dxx+¥=+ò，故2sin1x xI dxx+¥-¥=+ò。（1 分）因为2 22 Re , 2 |1 1 2ix iz izz ixe ze ze idx i s i ix z z epp p+¥=-¥= = =+ +ò ，（8 分）故2 2sinIm( )1 1ixx x xeI dx dxx x ep+¥ +¥-¥ -¥= = =+ +ò ò （10 分）四解：若命题正确则 0 z = 为函数41( ) sin f z zz= 的可去奇点。而事实上 0 z < <+¥ ，4 43 5 71 1 1 1 1 1 1 1( ) sin ( . .)3! 5! 7!f z z zz z z z z= = - + - + ， 其中含有无穷多项负幂项，故知 0 z = 为函数41( ) sin f z zz= 的本性奇点，所以命题是错误的。（5 分）411 1sin 2 25! 60Ciz dz ic izpp p-= = =ò。（10 分）五解：第一步利用指数函数1ze w = 使得左半带形区域映射为上半单位圆盘；（3 分）其次步利用分式线性映射12111www+= -将上半圆盘映射为角形区域第一象限； （6 分）第三步利用幂函数22w w = 将此区域映射为上半平面；（9 分）所求函数可为211zzeewæ ö += ç÷-è ø（10 分）
