鸡兔同笼问题的解法集锦(5页).doc

-鸡兔同笼问题的解法集锦-第 5 页鸡兔同笼问题的解法集锦鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在本文最后加了链接，有兴趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例给出几种解法供参考。    例：鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。鸡兔各有多少只？  1、极端假设解法一：假设40个头都是鸡，那么应有足2×40=80（只），比实际少100-80=20（只）。这是把兔看作鸡的缘故。而把一只兔看成一只鸡，足数就会少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），鸡有40-10=30（只）。解法二：假设40个头都是兔，那么应有足4×40=160（只），比实际多160-100=60（只）。这是把鸡看作兔的缘故。而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只）。因此鸡有60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。解法三：假设100只足都是鸡足，那么应有头100÷2=50（个），比实际多50-40=10（个）。把兔足看作鸡足，兔的只数（头数）就会扩大4÷2倍，即兔的只数增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），鸡有40-10=30（只）。解法四：假设100只足都是兔足，那么应有头100÷4=25（个），比实际少40-25=15（个）。把鸡足看作兔足，鸡的只数（头数）就会缩小4÷2倍，即鸡的只数减少1-1÷（2÷4）=1/2。因此鸡有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。2、任意假设解法五：假设40个头中，鸡有12个（0至40中的任意整数），则兔有40-12=28（个），那么它们一共有足2×12+4×28=136（只），比实际多136-100=36（只）。这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只），因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18（只）。那么鸡实际有12+18=30（只），兔实际有28-18=10（只）。解法六：假设100只足中，有鸡足80只（0至100中的任意整数，最好是2的倍数），则兔足有100-80=20（只），那么它们一共有头80÷2+20÷4=45（个），比实际多45-40=5（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔实际有20÷4+5=10（只），鸡实际有40-10=30（只）。通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形式，也是简便解法。3、除减法解法七：用脚的总数除以2，也就是100÷2=50（只）。这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。这样在50这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40，剩下的就是兔子头数10只。有10只兔子当然鸡就有30只。这种解法就是孙子算经中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！ 4、盈亏法解法八：把总足数100看作标准数。假设鸡有25只，兔则有40-25=15（只），那么它们有足2×25+4×15=110（只），比标准数盈余110-100=10（只）；再假设鸡有32只，兔则有40-32=8（只），那么它们有足2×32+4×8=96（只），比标准数不足100-96=4（只）。根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔则有40-30=10（只）。5、比例分配解法九：40个头一共100只足，平均每个头有足100÷40=2.5（只）。而一只鸡比平均数少（2.5-2）只足，一只兔比平均数多（4-2.5）只足。根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足总数，故知：（2.5-2）×鸡的只数=（4-2.5）×兔的只数。因此，鸡的只数兔的只数=（4-2.5）（2.5-2）=1.50.5=31按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。即鸡有40×3/（3+1）=30（只），而兔则有40×1/（3+1）=10（只）。6、布列方程解法十：设鸡有x只，那么兔有（40-x）只。根据题意列方程：2x+4（40-x）=100解这个方程得：x=30  40-x=40-30=10那么鸡有30只，兔有10只。 鸡兔的头数关系除了“和”的形式外，还可以把“差”和“倍数”作为已知条件。同样，鸡兔的足数关系除了“和”的形式外，也可以把“差”和“倍数”作为已知条件。如果把鸡兔头数关系的三种条件与足数关系的三种条件交叉组合，除了上面的例题，还可以形成以下变式练习题。1、鸡兔同笼，它们一共有100只，而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只？2、鸡兔同笼，它们一共有84只，而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只？3、鸡兔同笼，鸡比兔多26只，它们一共有274只足。鸡兔各有多少只？4、鸡兔同笼，鸡比兔多3只，兔比鸡多28只足。鸡兔各有多少只？5、鸡兔同笼，鸡比兔少10只，兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只？6、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，它们一共有120只足。鸡兔各有多少只？7、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，鸡足比兔足多120只。鸡兔各有多少只？8、鸡兔同笼，鸡比兔的3倍多6只，鸡足比兔足的2倍少24只。鸡兔各有多少只？附：  鸡兔同笼变式题组的参考答案以上题组，每道题都有多种解法。下面提供的仅仅是参考答案，其思想方法，还需要读者作进一步的探讨明晰。1、解一：（2×100-80）÷（4+2）=20（只）-（兔）解二：（4×100+80）÷（4+2）=80（只）-（鸡）解三：（100-80÷2）÷（4÷2+1）=20（只）-（兔）解四：（100+80÷4）÷（4÷2+1）-80÷4=20（只）-（兔）2、解一：84÷（4×3÷2+1）=12（只）-（兔）   解二：2×84÷（4×3+2）=12（只）-（兔）3、解一：（274-2×26）÷（4+2）=37（只）-（兔）   解二：（274+4×26）÷（4+2）=63（只）-（鸡）   解三：（274÷2-26）÷（4÷2+1）=37（只）-（兔）4、解一：（28+2×3）÷（4-2）=17（只）-（兔）   解二：（28+4×3）÷（4-2）=20（只）-（鸡）   解三：（3+28÷2）÷（4÷2-1）=17（只）-（兔）   解四：（3+28÷4）÷（1-2÷4）=20（只）-（鸡）5、解一：10÷（2×3÷4-1）=20（只）-（鸡）   解二：4×10÷（3-2）÷2=20（只）-（鸡）6、解一：120÷（4+2×3）=12（只）-（兔）   解二：120÷（2×3÷4+1）÷4=12（只）-（兔）7、解一：120÷（2×3-4）=60（只）-（兔）解二：120÷2÷（3-2）=60（只）-（兔）解三：120÷4×3÷（3-2）-120÷4=60（只）-（兔）8、解一：（24÷2+6）÷（2×2-3）=18（只）-（兔）解二：（6×2+24）÷（2-3÷2）÷4=18（只）-（兔）