高考卷 05高考理科数学（湖北卷）试题及答案.doc

2005年高考理科数学湖北卷试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）1设P、Q为两个非空数集，定义集合P+Q=a+b|aP，bQ若P=0，2，5，Q=1，2，6，则P+Q中元素的个数是A9 B8 C7 D62对任意实数a，b，c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件其中真命题的个数是A1 B2 C3 D43=A-2-i B-2+i C2-i D2+i4 函数的图象大致是（ ） 5双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为A B C D6在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是A0 B1 C2 D37若，则A（0，） B（，） C（，） D（，）8若，则常数a，b的值为Aa=-2，b=4 Ba=2，b=-4Ca=-2，b=-4 Da=2，b=49若，则2x与3sinx的大小关系：A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关10如图，在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、 的中点，G为ABC的重心从K、H、G、中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为AK BH CG D11某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；305784111138165192219246270关于上述样本的下列结论中，正确的是A、都不能为系统抽样 B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样12以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）13已知向量a=（-2，2），b=（5，k）若|a+b|不超过5，则k的取值范围是 14的展开式中整理后的常数项等于 15设等比数列的公比为q，前n项和为，若，成等差数列，则q的值为 16某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围18（本小题满分12分）在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值19（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率20（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离21（本小题满分12分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由22（本小题满分14分）已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列的各项为正，且满足，（）证明：，；（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值；（）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有2005年高考理科数学湖北卷试题及答案参考答案1B 2B 3C 4D 5A 6B7C 8C 9D 10C 11D 12A13-6，2 14 15-2 1650017解法一：依定义则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设00在（-1，1）上恒成立考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即t5而当t5时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t5解法二：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t518解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BE=x在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限由，则，设=（x，0），则由条件得从而x=2，（舍去）故于是解法三：过A作AHBC交BC于H，延长BD到P使BP=DP，连接AP、PC过窗PNBC交BC的延长线于N，则，而，BC=BN=CN=2，故由正弦定理得，19解：的取值分别为1，2，3，4=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（=1）=0.6=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（=2）=（1-0.6）0.7=0.28=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 P（=3）=（1-0.6）（1-0.7）0.8=0.096=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故 P（=4）=（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）=0.024李明实际参加考试次数的分布列为1234P0.60.280.0960.024的期望E=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544李明在一年内领到驾照的概第为 1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）（1-0.9）=0.997620解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）从而=（，1，0），=（，0，-2）设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则由NE面PAC可得：即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，即AC与PB所成角的余弦值为（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则连PF，则在RtADF中DF=设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PACN点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=21（）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，代入，整理得：设A（），B（），则，是方程的两个不同的根，且由N（1，3）是线段AB的中点，得=2，解得k=-1，代入得，即的取值范围是（12，+）于是直线AB的方程为，即解法二：设A（），B（），则有依题意，N（1，3）是AB的中点，=2，=6，从而又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）直线AB的方程为，即（）解法一：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得又设C（），D（），CD的中点为M（），则，是方程的两根，+=-1，且，即M（，）于是由弦长公式可得将直线AB的方程代入椭圆方程得同理可得当时，>，|AB|<|CD|假设存在，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心点M到直线AB的距离为于是，由式及勾股定理可得故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|为半径的圆上（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角，即由式知，式左边=，由知，式右边=式成立，即A、B、C、D四点共圆）解法二：由（）解法一知，CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得将直线AB的方程代入椭圆方程整理得解和式可得，不妨设A（，），C（，），D（，），计算可得，A在以CD为直径的圆上又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆（注：也可用勾股定理证明ACAD）22（）证法一：当n2时，即，于是有，所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法二：设，首先利用数学归纳法证不等式（）当n=3时，由，知不等式成立（）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即，则即当n=k+1时，不等式也成立由（）（）知，又由已知不等式得（）有极限，且（），令，则有，故取N=1024，可使沁n>N时，都有