本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用(22页).doc

-本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用-第 15 页 本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用姓 名院 系数学专 业数学班 级学 号指导教师答辩日期成 绩摘 要我们在的习过中,不式很要. 其中不式的明方法在不式中非常.文中结了分证明不式的常用方法：作差法、分析法、数学归法、放法等，和不式的明经常会利用函数极值、中值定理等，以及部分不等式， 比如：均值、柯西等.进而使证明方法变的更加的多样化，研究证明、探索的证明使证明更加完善.【关键词】： 不等式，常用方法，函数，著名不等式 Method and application of several simple proof of inequality Abstract We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.【Key Words】 :, the commonly used method, function, famous 目录一、常用方法1 （一）比较法1 （二）分析法2（三）综合法3（四）反证法3（五）迭合法4（六）放缩法4（七）数学归纳法5（八）换元法5（九）增量代换法6（十）三角代换法6（十一）判别式法7（十二）等式法7（十三）分解法8（十四）构造函数法8（十五）构造向量法8（十六）构造不式9（十七）构造方程法9（十八）“1”的代换型10（十九）排序不等式10二、利用函明不式11（一）函数极值法11（二）单调函数法11（三）泰勒公式法12（四）优函数法13（五）拉日中14三、利用著名不式明15（一）值不等式15（二）西不等式15（三）（Jensen）不等式16（四）不等式17（五）（Holder）不等式18（六）不等式19（七）三角形不等式20小结20参考文献21致 谢22 引 言 不式是数学中较为要的一部分内，为帮助学爱好者握这方面的知，故论述几种简单的证明方法. 在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应的理，真正进入数理部分.从不式的究过以发，在生有要的用，：不式质、证方法、法.在本中，介绍部分明不式常用方法、函数明不式和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科的特点，培学逻维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不式的明使不式证明更加完善. 一、常用方法（一）比较法1.作差法个实和的大，可由的正负较判. 例题1： 若两个角0<<，0<<，求证：sin（+）<sin+sin.证：sin（+）-(sin+sin)=sin·cos+cossin-sin-sin=sin（cos-1)+sin(cos-1). 因为、都是正锐角，所以sin>0且sin>0，cos-1<0,且cos-1<0 于是sin（cos-1）<0，sin（cos-1）<0.所以sin（cos-1)+sin(cos-1)<0即sin（+）-(sin+sin)<0所以sin（+）<sin+sin. 2.作商法作商法明不式时，如果时，则a<b；如果>1时；则a>b；如果=1时，则a=b. 例题2 设a， b ，cÎ ，求证：证：作商：当a = b时， 当a > b > 0时， 当b > a > 0时， 故得 即 （剩余同理可证） （二）分析法在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去，进而明知的题设件，在明的过中， 导的每一都要可.例题3：已知：a、b、c为互等的实数.求证：. 证明：要证成立，即证明成立，需要证成立，即成立 由推，即明（三）综合法 综，就是由命的条明题设条件.例题4：设，都是正数，并且它们的乘积.求证：. 明：为， 所.同理可知 因为，都是正数，根据性质把不的两乘，得 因为在的时候，取等号，所以原式只在 的时候取等号.（四）反证法 反正法就是要证明与命题相对立的结论，可先假一误的论，应用所学的知识明出假设误.例题5： 已知，为实数，求证：明：假，不是正，即其少有一不是正.可以假设.分为和证明.（1） 如果，则，与矛盾.所以不可能.（2） 如果，那么由可得.由因为，所以.这和已知相矛盾.此，也可.综述，.理可，.命立.（五）迭合法 通过简单命的成立，利用不式性质，将简单不式合成复杂不式而证明结论的过程就是迭合法. 例题6：已知：，求证： 证明 ： 因为，所以， 由柯西不等式 所以原不等式获证.（六） 放缩法 法是依不式的性而衍生得到的一种方，利一些名的不寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要著证明的结论命题. 例题7 求证：. 证明：当时，从而有 故 所以原不等式获证.（七） 数学归纳法 学归纳是在明含的不式，否在立的件下，明时立.（一个时不命立） 证明8： 求证： .（是正整数） 证明： 左边和右边都有个因数， 当的时候， 上述个不相乘， 故原不等式成立（八）换元法在不证程中，通过变量代换，可以使不式明过程更加简单，择当的辅助未知，代替原方的部分子，而明命. 例题9 ： 已知，是小于1的正数，求证： 证明：设， 由假设可知， 通分后以为分母时，则， 分子 又 因为是的优函数，所以将、除以正数得 即，.（九）增量代换法 增换法就是明不时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法 例题10 ：已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)明：为，R，且 = 1，设 =，=， (R)(2)(2)= (2)(2)= ()()= 2所(a2)(b2)（十）三角代换法 例题11 ： 解不 解：因为=6，故可令 = sin， cos，0， 则原不化为 以 +由0，知+ cos0，将上两边平方并理，得 48 cos2+4 cos230 解得0所以x61，且x1，故原不的是x|-1x . （十一） 判别式法 习一二次方时，以用别来断有无实，而些殊目中，可以通过别式明所要明的命. 例题 12 A、B、C为的内角，、为任意实数，求证：.明：构函，判式法令 为开上的线 无论y、z值， 所以 所以，真（十二）等式法由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法. 例题 13： 为的三边长，求证：证明 由海伦公式，其中. 两方，移理得 而, 所以 . （十三）分解法把复题转化为简解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式. 例题14 ： ，且，求证：.证明： 因为 所以 .（十四）构数法 例题15： 0、2，求证：4222 证明：构次函数 f（x）= 4222 = (224)(2)，（为自变量）由02，知示一条段又= 2 = ()0， = 448 = (2)(2)0，可上段在横其方，函0，即4222（十五） 构造向量法 构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用·|·|，证些具积结数的不命题 例题16 ： 设a、bR，且ab =1，求证：(a2)(b2)明：构向= (2，2)，= (，)设和的夹为，中0为| =，| =，以·= |·|cos=··cos；yx2ABDCO另一方面，·= (a2)·1(b2)·1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以·5，从而(a2)(b2) （十六）构造几何不式将不式两与形立联，则可以化为，利像的质，决不式的方法就是构造几何不式 例题17：设a0，b0，ab = 1，求证：2明：所不形为：2这为是A(，)到的但因()()= 4，故点A在圆xy= 4 (x0，y0)上如图所示，ADBC，半径AOAD，即有：2，所以2（十七）构造方程法例题18 ： 已实, ,，满足 + + = 0和 = 2，求：, ,中少有一不于2 证明：由题设a, b, c其中必含有一个正，假设a > 0， 则 即b, c是二次方程的两个实根 所 a2（十八）“1”的代换型 例题19： 策略：做“1”的代换. 证明：（十九）排序不等式 如则的任一排列.当当或时号立. 例20：已知 不妨假设有次序即，那么 由于，所以 由排序不等式可知 得证. 二、利用函明不式（一）函数极值法过某变，把问转为求函的极，实现明不式. 例题21 ： 证明，有不等式证明：讨论函数在区间的最大值.令,解得唯一定点1，它在区间分成两个区间与，列表如下：1+0-极大点时是函极大，极大.由此表可得时是函在义域中的最大值， 故，使 或 .所以原不等式得证（二）单调函数法 当属于定义域，有，则（）；若，则.若要证明，只须要证及 例题22：设，且，试证： 证明：令，分子，对求导得，分来讨论：（1）当时，因此单调递增.由，故，分母，所以即原不等式成立.（2） 当时，因此单调递减.由，故知， 所以原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立.（三）泰勒公式法定义 若函数在存在阶导数，则，有称为函数在（展开）的泰勒公式.其中，例题23 证明：若函数在上有阶导数，且则存在，有证明：将函数在点和点分别展开，即，有 由知件，令，则别以上两式相减，有或令 ，则有 即（四）优函数法 当是的优函数时， 例题24 ： 已知，是小于1的正数，求证： 证明：设， 由假设可知， 通分后以为分母时，则， 分子 又 因为是的优函数，所以将、除以正数 得 即，（五）拉日中理法定理： 函数满，闭区间、开可.则函在开间内至，使果介个数与之，则面的不：明形不式，可用拉日中理法法.例25： 证明，当0时，有.明：由原等，为0，可写的形，或写的形，这里，为0, ，用拉日中理，令，0, ，则满足拉值定的条件，于是存在0, ，1所以，有不等式 . 三、利用著名不式明（一）利用均等式 设是实数，则，时取等号. 例题26：求证：（x为正数） 证：由算数平均值不等式，得 又等差数列求和为 故=， 所以.(二)利用柯等式 定理：设则 等号成立当当. 例题27：证明不等式 （其中，均为正数）. 证明：若令 根据西布可夫斯基不式，则有=，将上两边平后，得（三）琴生（Jensen）不等式 设是区间D上的严格的，则对任意，当当，号成.特别地，另则有 例题28：若（），=，求证：（） 证明：对于，=，不妨设 ， 考虑证明对，有 即证， 即证，又，且=在（0,1）为减函数， 综上，即 ， 在（ , ）内是凸函，又Jensen不式得 所以 所以（）（）（）（四）切夫不等式 由于，则 例题29 : 已知：， 求证： 证明：先看，由于， 由切夫不等式， 因此 下面只需要， 即， 视为主元，记， 对称轴为，由已知条件及 知，在定义域递增，因此. 取等条件是，因此， 故， 综上， ， 当且仅当时取等号（五）赫尔德（Holder）不等式 设是2n个正实数， 则. 例题：设求函的小. 解：取 于是 由Holder不等式有：=，当且仅当， 时，等号成立. 所以的最小值是.（六）利不等式 设，则（）当时，有； （）当或时，有，上两式当当时号成立.例题31：证明不等式.（>0） 证：因为>0，所以+1>1 伯努利不等式，得 将上个不的以，得 从这两个不等式中，令=，则有 相加后，得 所以.（七）三角形不定理 对意 和 ，当当 时取等号. 例题32 用三角不式证明：当直角三角斜边为 时，两直边的于或于证明：设两边为. 则.根据三等式，有 即 小结 通过学习初等与高等学中明不等式的几种简单的明方法，了解到证明不等式方法的多样化，从而可以更加深刻的认识到学习不等式的用途，不在各种学问题中的应用，希望读者可以受到启发，而找到不同的的证明方法使不等式证明更加完，同时以用不式解决生中的一分实际问，培养者的辑维论能力，在以后形成良好的学习思考能力. 不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识，故论述几种简单的证明方法.可以更加深刻了解数学学科的特点，培学逻维论证能力.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科的特点，培学逻维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不式的明使不式证明更加完善.【参考文献】 1.：，1983.9732张驰.不等式M.上海：上海教育出版社，1963.48723科罗夫琴.不等式M.北京：中国青年出版社，1951.5244茂木勇.方程与不等式M.北京：文化教育出版社，1984.1681805蒋邕平.常见的不等式问题解题思路J.中学教学参考.2012,(25):86-87