小波变换与分数傅里叶变换理论与应用.docx
小波变换与分数傅里叶变换理论与应用1 目 目录 第 0 章 绪 论 . (1)0.1 小波变换简要回顾 . (1) 0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换 . (3) 0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相像性 . (7) 0.4 本书主要内容和结构 . (15) 第 1 章 小波变换与傅里叶变换 . (18)1.1 小波和小波变换 . (18) 1.2 小波变换的性质 . (20) 1.3 离散小波和离散小波变换 . (22) 1.4 傅里叶变换和小波变换 . (25) 第 2 章 多辨别分析和小波构造 . (30)2.1 Shannon 小波 . (30) 2.2 正交多辨别分析和正交小波 . (36) 2.3 正交多辨别分析的例子 . (42) 2.4 Daubechies 的紧支小波 . (47) 第 3 章 小波变换与时-频分析 . (58)3.1 Gabor 变换和时-频分析 . (58) 3.2 窗口傅里叶变换和时-频分析 . (61) 3.3 小波变换与时-频分析 . (65) 3.4 离散小波与时-频分析 . (67) 3.5 小波分析和信号处理 . (71) 第 4 章 小波包与时-频分析 . (80)4.1 引言 . (80) 4.2 正交小波包 . (81) 4.3 小波包函数的傅里叶变换 . (84) 4.4 小波包函数的两种正交性 . (85) 4.5 正交小波包空间 . (86) 4.6 小波空间的小波包分割 . (89) 4.7 时-频原子 . (90) 2 4.8 紧支小波包 . (93) 4.9 最优小波包基 . (96) 4.10 正交二分算法 . (97) 4.11 用法及其他 . (100) 第 5 章 多辨别分析和塔式算法 . (102)5.1 多辨别分析和记号 . (102) 5.2 Mallat 分解算法 . (103) 5.3 Mallat 合成算法 . (103) 5.4 小波包变换的 Mallat 算法 . (104) 5.5 金字塔算法 . (105) 5.6 小波包完全分解的空间塔式结构 . (108) 5.7 二维小波变换的 Mallat 算法 . (108) 5.8 数字信号和图像的小波算法 . (111) 第 6 章 小波时-频特性与应用 . (124)6.1 小波变换的频带重叠现象 . (124) 6.2 小波算法应用 . (158) 6.3 二进小波构造算法 . (166) 第 7 章 特别小波及应用 . (176)7.1 Malvar 小波与信号最优描述 . (176) 7.2 小波与采样定理 . (187) 7.3 快速小波变换 . (197) 第 8 章 图像压缩与计算机视觉 . (208)8.1 图像的金字塔算法 . (208) 8.2 数字图像压缩 . (214) 8.3 金字塔算法和多辨别分析 . (216) 8.4 共轭正交小波 . (222) 8.5 Marr 的视觉理论 . (225) 8.6 Marr 猜想 . (226) 8.7 Marr 猜想的反例 . (228) 8.8 Mallat 猜想 . (229) 8.9 二维 Mallat 算法 . (231)3 8.10 Mallat 重构算法 . (233) 第 9 章 分数傅里叶变换 . (239)9.1 分数傅里叶变换与置换矩阵 . (239) 9.2 分数傅里叶变换的多样性(一) . (243) 9.3 分数傅里叶变换的多样性(二) . (250) 9.4 随意周期的分数傅里叶变换 . (255) 9.5 分数傅里叶变换的极限关系 . (259) 第 10 章 分数傅里叶变换的离散算法 . (262)10.1 离散傅里叶变换及其周期性 . (262) 10.2 离散分数傅里叶变换算法 . (266) 10.3 随意周期离散分数傅里叶变换 . (269) 第 11 章 小波变换与分数傅里叶变换比较 . (274)11.1 傅里叶变换的特征子空间 . (274) 11.2 分数傅里叶变换的特征子空间 . (275) 11.3 小波变换的小波子空间 . (282) 11.4 小波算法和分数傅里叶算法 . (285) 参考文献 . (293)1 第 第 0 章 绪 论 0.1 小波变换简要回顾 小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在很多领域都得到了胜利的应用，特殊是小波变换的离散数字算法已被广泛用于很多问题的变换探讨中。从小波变换的数学理论来说，它是继傅里叶变换之后纯粹数学和应用数学完备结合的又一光辉典范，享有数学显微镜的美称 12 。从纯粹数学的角度来说，小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶 3 ；从应用科学和技术科学的角度来说，小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破 47 。事实上，由于小波变换在它的产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学探讨领域和工程技术应用领域的专家、学者和工程师的共同努力，所以，现在它已经成为科学探讨和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题 8 。从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。（1）孤立应用时期。主要特征是一些特别构造的小波在某些专业领域的零散应用。这个时期最典型的代表性工作是法国地质学家 J.Morlet 和 A.Grossmann 第一次把小波用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间-尺度小波，即Grossmann-Morlet 小波 910 。这个时期的另一个代表性工作是1981 年 J.Strömberg 对 A.Harr 在 1910 年所给出的 Haar 系标准正交小波产生的正交基的改进 11 。同时，闻名的计算机视觉专家D.Marr 在他的零交叉理论中运用的可按尺度大小改变的滤波算子，现在称为墨西哥帽的小波也是这个时期出名的工作之一 12 ，这部分工作与后来成为 S.Mallat 的小波分析构造理论支柱的多尺度分析或多辨别分析有亲密联系。这个时期 2 一个好玩的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解别人的探讨工作的状态下奇妙地、独立地构造自己须要的小波。虽然如此，但通观全局可以发觉，这些专家、学者和工程师所从事探讨的领域广泛分布于科学和技术探讨的很多方面，因此，这个现象从另一个侧面预示小波分析热潮的到来，说明白小波理论产生的必定性。（2）国际性探讨热潮和统一构造时期。真正的小波热潮起先于 1986 年，当时法国数学家 Y.Meyer 胜利地构造出了具有肯定衰减性质的光滑函数 ψ ，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成闻名的函数空间 L 2 (R)的标准正交基 13 。这项成果标记小波分析新时期的到来。在此之前，学术界普遍认为不会存在性质如此之好的函数。事实上，不仅数学家这样，其他领域的学者也有此倾向，比如前述提到的那些科学家或者放弃进一步的探讨或者放弃对小波性质的特别要求，比如 I.Daubechies、A.Grossmann、Y.Meyer 在此之前就是探讨函数ψ 和常数 a 与 b，使函数系 ( ) ( )ïþïýüïîïíìÎ -Z k j kb x a ajj, ;2 y 构成函数空间 L 2 (R)的框架 14 。进入这个时期之后，P.Lemarie 15和 G.Battle16 又分别独立地构造得到了这样好的小波。之后Y.Meyer 和计算机科学家 S.Mallat 提出多辨别分析概念 1718 ，胜利地统一了此前 J.Strömberg、Y.Meyer、P.Lemarie 和 G.Battle 的各别的小波构造方法。同时，S.Mallat 还简洁地得到了离散小波的数值算法即 Mallat 分解和合成算法，并且将此算法用于数字图像的分解与重构 1920 。几乎同时，比利时数学家 I.Daubechies 基于多项式方式构造出具有有限支集的正交小波基 21 ，C.K.Chui和中国籍学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并探讨了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数的一般构造方法 2224。这个时期的结束标记之一是国际性综合杂志IEEE Transaction on Information Theory（信息论）在 1992 年 3 月份的小波分析及其应用的专刊上，比较全面地介绍了在此之前小波分析理论和应用在各个学科领域的发展。（3）全面应用时期。从 1992 年起先，小波分析方法进入全3 面应用阶段。在前一段探讨工作基础上，特殊是数字信号和数字图像的 Mallat 分解和重构算法的确定，使小波分析的应用快速波及科学探讨和工程技术应用探讨的很多领域。编辑部设在美国Texas Aamp;M 高校的国际杂志Applied and Computation Harmonic Analysis从 1993 年创刊之日起就把小波分析的理论和应用探讨作为其主要内容，编辑部的三位主编 C.K.Chi、R.Coifman 与I.Daubechies 都在小波分析的探讨和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，很多科技期刊都刊载与小波分析相关的文章，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告，同时，在国际互联网 INTERNET 和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件随时随地都可以找到并可以免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司像 MathWorks 在它的科学探讨和工程应用软件 MATLAB 中，特意把小波分析作为其ToolBox的单独一个工具箱。这样的局面使得任何人都不行能完全了解小波分析全面的探讨和应用状况，而只能择其中相关的内容进行跟踪、消化和绽开深化探讨。随着小波变换理论探讨的不断深化和实际应用的日益广泛，小波分析的各种优势也在不断明确，但同时，一些常用的小波包括其相应的算法在某些特别应用上的局限性也慢慢为人们所相识 2526 。比如在小波变换用于信号分别时常常出现的频率混叠现象给信号分析带来麻烦，本书后面的分析将说明这种现象产生的根源在于常用小波之离散小波变换特别的时-频分析性质，即频域分割不到位。关于小波变换本书选择与计算机应用技术亲密相关的涉及数字信号处理、数字图像处理及压缩、图像纹理分析、数值计算等多个方面的离散小波数值计算之理论和算法绽开论述，包括为了缓解小波变换频域分割不到位造成的频率混叠现象和特别应用须要的小波构造方法，离散正交小波的算法分析以及小波算法与分数傅里叶变换理论及算法的全面比较等基本内容。0.2 傅里叶变换和分数傅里叶 变换 傅里叶变换是一个非常重要的工具，无论是在一般的科学研 4 究中，还是在工程技术的应用探讨中，它都发挥着基本工具的作用。从历史发展的角度来看，自从法国科学家 J.Fourier 在 1807年为了得到热传导方程简便解法而首次提出闻名的傅里叶分析技术以来，傅里叶变换首先在电气工程领域得到了胜利应用，之后，傅里叶变换快速得到了越来越广泛的应用，而且，理论上也得到了深化探讨，特殊是进入 20 世纪 40 年头之后，由于计算机技术的产生和快速发展，以离散傅里叶变换形式出现的 FFT 以频域分析、谱分析和频谱分析的形式在极短的时间内快速渗透到现代科学技术的几乎全部领域，无人不知无人不晓！时至今日，甚至于发展到：在理论探讨和应用技术探讨中，分别把傅里叶变换和 FFT 当作最基本的有效的经典工具来运用和看待。正是这些深化的探讨和广泛的应用，渐渐暴露了傅里叶变换在探讨某些问题时的局限性以及 FFT 在处理一些特别数据时的局限性。因为各种科学问题探讨的特别须要，对傅里叶变换的改进也选择了完全不同的方向。D.Gabor在1946年给出的现在以他的名字命名的Gabor变换代表了改进傅里叶变换的一个方向，即信号加窗或基函数加窗，有时也称为窗口傅里叶变换 27 。这是一种信号局部分析的新思想，这个方向的深化探讨最终导致小波分析的出现。V.Namias 在 1980 年首先进行探讨的分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transformation 即 FRFT）是改进傅里叶变换的另一个方向 28 。当时他的问题是要求出在量子力学探讨中出现的一个特别偏微分方程的解析解。抽象地说，他是把分数傅里叶变换作为傅里叶变换算子的非整数次幂运算结果来引进的。基本的想法是把经典傅里叶变换的特征值作为一般的复数进行幂次运算，将所得结果作为一个新变换的特征值并利用傅里叶变换的特征函数二者合一，从而构造得到与前述幂次相同的分数傅里叶变换。因此，V. Namias 探讨的分数傅里叶变换是经典傅里叶变换在分数级次上的推广，它同 Gabor 变换和小波变换一样，都是把探讨对象变换成维数更高的新对象来进行处理。所以从一般的科学探讨方法来看，小波变换和分数傅里叶变换都是升维方法。1987 年，A. C. Mcbride 和 F. H. Kerr 用积分形式从数学上严格定义了分数傅里叶变换 29 。1993 年，光学专家 A.W.Lohmann利用傅里叶变换相当于在 Wigner 分布函数相空间中角度为 2 p5 的旋转这一性质，阐释了分数傅里叶变换的物理意义，即幂次 a的分数傅里叶变换相当于 Wigner 分布函数相空间中角度是 2 π a的旋转，这里 a 是分数傅里叶变换的幂次30 。从今，因为A.W.Lohmann 的杰出工作使分数傅里叶变换的探讨首先在光学领域得到了应用，特殊是在傅里叶光学及相关领域的探讨中吸引了各国学者的留意。在 1993 年底，D.Mendlovic 和 H.M.Ozaktas首次利用负二次型渐折射率介质（GRIN）来实现光学分数傅里叶变换 3133 ，他们的工作还包括利用分数傅里叶变换进行分数傅里叶变换域滤波以及分数傅里叶变换的计算机仿真方法和计算结果。到 1994 年初，D.Mendlovic、H.M.Ozaktas 和 A.W.Lohmann三人联合探讨了分数傅里叶变换和自傅里叶变换函数的关系，明确了自傅里叶变换函数的分数傅里叶变换仍是自傅里叶变换函数的事实，并给出了自分数傅里叶变换函数的定义 34 。在随后的文章中他们又给出了自分数傅里叶变换的几种可能应用 35 。3月，T.A.lieva 等人将光线传播和分数傅里叶变换联系起来，指出可利用分数傅里叶变换来探讨光线传播问题 36 。1994 年 6 月，A.W.Lohmann 探讨了分数傅里叶变换和 Radon-Wigner 函数的关系，并证明白用 GRIN 介质实现的光学分数傅里叶变换和 Wigner分布函数相空间旋转定义的光学分数傅里叶变换是完全等价的，同时提出可利用透镜和自由空间组合来实现光学分数傅里叶变换，并且给出了两个简洁的结构 3738 。分数傅里叶变换在光学探讨中的实现给光学信息处理带来了新的活力。另外，针对分数傅里叶变换的积分定义，Y.B.Karasik 探讨了分数傅里叶变换积分核的一些基本性质 39 。1994 年 8 月，在苏格兰爱丁堡（Edinburgh）实行的光计算国际会议上，H.M.Ozaktas 等人提出了可利用分数傅里叶变换进行分数傅里叶域的空间改变性滤波 40 。L.M.Brnardo 等人提出利用分数傅里叶变换制作光学相关器的构想 41 。Soo-Young.Lee 等人将分数傅里叶变换同自适应神经网络模型进行类比，得到一种基于分数傅里叶变换的自适应神经网络模型结构 4243 。这些可能的应用使人们对分数傅里叶变换有了更新的相识。同时，G.S.Agarwal 和 R.Sinon 把分数傅里叶变换同谐振子的格林函数联系起来，并推出了分数傅里叶变换同菲涅尔变换的关系 44 。9月，P.P.Finet 利用代数法探讨了分数傅里叶变换同菲涅尔衍射的 6 关系，给出了一种基于菲涅尔衍射的分数傅里叶变换结构 4546 。L.M.Brnardo 和 O.D.D.Soares 探讨了分数傅里叶变换结构与成像的关系 4748 。11 月，Rainer G.Dorsch 等人给出了利用分数傅里叶变换进行Chirp滤波的数值模拟结果和试验结论 49 。H.M.Ozaktas 指出，分数傅里叶变换可用来探讨光学传播及球面谐振腔成像问题 50 。A.W.Lohmann 将光学分数傅里叶变换应用于时间信号的变换与分析之中，提出可利用光电调制器和光纤来构造基于分数傅里叶变换的光学信息处理系统51 。同时，L.B.Alnoida 探讨了时间-频率表象同分数傅里叶变换的关系，指出一个信号的分数傅里叶变换可以表示为一系列Chirp信号的叠加 52 。S.Abe 等人则从数学上探讨了分数傅里叶变换在相空间的旋转特性，指出可以利用分数傅里叶变换进行波前的分析和校正 53 。1995 年，D.Mendlovic、H.M.Ozaktas 和 A.W.Lohmann 三人利用分数傅里叶变换的概念，提出了分数相关的定义，并给出了可能的实现结构和相应的数值模拟结果 54 。A.W.Lohmann 采纳调焦透镜组合结构实现分数傅里叶变换和Y.Bitran等人提出的利用非对称结构实现分数傅里叶变换的构想，使分数傅里叶变换的试验实现更为便利 55 。刘树田和张岩等人探讨了光学分数傅里叶变换级联的尺度问题，给出可实现光学分数傅里叶变换的推广结构 5658 。4 月，H.M.Ozaktas 和 D.Mendlovic 总结了光学分数傅里叶变换的发展过程，探讨了菲涅尔衍射和光学分数傅里叶变换的关系 59 。与此同时，S.Abc 等人也提出了菲涅尔衍射和光学分数傅里叶变换的关系 60 。5 月，D.F.Mcalister 等人运用相空间背投影（分数傅里叶变换的相空间旋转）得到光场的 Wigner 函数分布，并利用其探讨光场的相干强度 61 。R.G.Dorsch 提出了利用分数傅里叶变换指导透镜设计的构想 62 。C.C.Shih 利用矩阵光学分解的方法得到了复数级傅里叶变换的实现结果 63 ，并于当年 8 月提出了一种新的分数傅里叶变换的定义形式，即态函数叠加的方法 64 。D.Mendlovic 和 A.W.Lohmann 等人报道了利用透镜组合分数傅里叶变换结构和计算全息方法实现分数相关的试验结果，指出分数相关可解决平移改变的模式识别问题 65 。9 月，S.Granier将光学分数傅里叶变换探讨同自成像现象联系起来，指出可利用它来定义光学分数傅里叶变换 66 。10 月，O.Aytur 和 Ozaktas 研7 究了量子光学相空间非正交区域变换和分数傅里叶变换的关系，并且给出了相空间各种变换的详细形式 67 。A.Sahin 则提出在两个正交轴上分别实现不同级次的分数傅里叶变换以增加信息通道的构想 68 。11 月，D.Mendlovic 等人给出了基于分数傅里叶变换的新表象线性空间表象，在另一篇文章中，他们报道了两正交轴实现不同级次分数傅里叶变换的试验结果 6970 。基于分数傅里叶变换的思想，J.Shamir 和 N.Cohon 提出在光学中实现开方和乘幂运算的设想，并指出这些操作可用于光学设计、光学信息处理和光计算机的探讨等领域 71 。12 月，蒋志平利用分数傅里叶变换的尺度性质提出单一结构实现不同级次分数傅里叶变换的构想，并给出了结构参数 72 。1996 年 2 月，A.W.Lohmann 利用分数傅里叶变换的思想，将光学希尔伯特变换分数化，并给出了相应的模拟结果和基于分数傅里叶变换结构的实现结构 73 。1995 年 8 月，C. C. Shih 提出了一种新的分数傅里叶变换的定义形式态函数叠加的方法 64 ，利用经典傅里叶变换整数幂运算的四周期性质将新的分数傅里叶变换定义成四个态函数的线性组合，其组合系数是分数傅里叶变换幂次的函数。从今，一些新的问题产生了，比如各种分数傅里叶变换定义之间的关系是什么；分数傅里叶变换的多样性；分数傅里叶变换的数学描述；分数傅里叶变换与傅里叶变换的关系；考虑到实际应用和数值计算的须要，还有一些问题比如分数傅里叶变换的离散采样算法；离散分数傅里叶变换如何定义；离散分数傅里叶变换能否利用离散傅里叶变换的快速算法比如 FFT 实现快速数值计算等。0.3 小波变换与分数 傅里叶 变换的相像性 小波变换和分数傅里叶变换都是从经典傅里叶变换发展起来的，它们是从不同的角度改进了傅里叶变换。另外，从数字信号处理、数字图像处理的时-频分析和空-频分析的角度来看，小波变换和分数傅里叶变换都是一种特定的时-频分析或空-频分析方法。 8 0.3.1 小波变换与傅里叶变换 事实上，经典傅里叶变换是定义在函数空间或信号空间( ) R L 2 上的连续线性算子。详细地说，对于空间 ( ) R L 2 中的任何信号或函数 f(t)，它的傅里叶变换定义为 ( ) ( ) ( )ò+¥¥ - = t vt t f v F d i exp （0.3.1）有时也称傅里叶变换 F(v)为 f(t)的谱。从傅里叶变换发展到小波变换的中间阶段是 D.Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换，其Gabor 变换定义的基本形式是 ( ) ( ) ( ) ( )ò+¥¥ - - = t vt b t g t f v b Ga fd i exp,其中 ( ) ( ) π 2 4 exp2a a t t g a - = 是 Gaussian（高斯）函数（ 0 > a 是常数），称为窗口函数。对任何 0 > a ，Gabor 变换可以理解为 ( ) t f 在时间点 b t = 处，频率为 v 的频率成分，就是说，在时间点 b t = 处旁边肯定窗口范围内用傅里叶变换（谱）进行分析处理。体现了窗口傅里叶变换的时-频分析特点。小波变换也是定义在函数空间或信号空间 ( ) R L 2 上，但小波变换的变换因子不再是窗口傅里叶变换的积分因子 ( ) ( ) vt b t g a i exp - - ，而是如下的连续小波函数 ( ) ( )÷øöçèæ -=ab tatb a 1,y y假如 ( )+¥ < = ò*d2RvvvCYy （0.3.2）其中 ( ) ( )ò+¥¥ - = t vt t v d ) i exp( y Y 是 ( ) t y 的傅里叶变换，则称 ( ) t y 为允许小波或小波母函数。小波变换的定义是 ( ) ( )ò÷øöçèæ -=Rftab tt fab a W d 1, y （0.3.3）由此看出，随意信号或函数 f(t)的小波变换 W f （a ， b）是一个二元形式的信号，这是和傅里叶变换很不相同的地方。假如小波函9 数 ( ) t y 的傅里叶变换 ( ) v Y 在原点 v=0 是连续的，那么 ( ) 0 0 = Y ，即 ( ) t y 的积分等于 0。这说明函数有波动的特点。因为 ( ) t y 是L 2 （R）的，它只在原点旁边才会存在明显的起伏，在远离原点的地方函数值将快速衰减为零，这是称它为小波的基本缘由。同样，( ) ( )tb a,y 将在 x=b 的旁边才存在明显不为 0 的数值，而这个旁边范围的大小正比于参数 a。因此，虽然形式上小波变换和窗口傅里叶变换完全不同，但从在指定时间（空间）点旁边，探讨信号的波动改变状况这个意义来看，它们事实上是极其相像的，体现的都是同时考虑时间（空间）和频率的探讨思想。一般称之为时（空）-频分析方法。0.3.2 分数傅里叶变换（A ）现在回顾一下分数傅里叶变换的定义。为了本书后续部分运用的便利，此处将 V.Namias 在 1980 年所给的定义重新整理并按严格的形式复述。相应于非负整数 m=0,1,2,，将傅里叶变换对应的特征值写成 ÷øöçèæ -=2π iexpmml （0.3.4）同时，相应的标准化特征函数可以写成 ( ) ( )÷÷øöççèæ -=2exp π ! 212tt Hmtmmmf（0.3.5）也就是说， ( ) tmf 的傅里叶变换恰好等于它自己与复数ml 的乘积，标准化的含义是 ( ) tmf 的 L 2 -范数等于 1。在上述公式中出现的记号 ( ) t H m 表示第 m 个 Hermite（埃尔米特）多项式，它随着 m 的递推关系是 ( ) ( )( ) ( ) ( )îíì- = =- +t mH t tH t Ht t H t Hm m m 1 11 02 22, 1，m=1,2,3,. （0.3.6）利用这些记号，V. Namias 的分数傅里叶变换 ( ) ( ) t f Fa可以表示成傅里叶变换标准化特征函数 ( ) tmf 的无穷级数和的形式 10 ( ) ( ) ( ) ( )å=mm m mt a h t f F f la （0.3.7）其中， ( ) ( ) 2 π i exp a m am- = l ，m=0,1,2,，是傅里叶变换的特征值，组合系数 ( ) ( )ò=Rm mt t t f h df 是原始信号在傅里叶变换的各个规范化特征函数上的正交投影。因此，分数傅里叶变换和傅里叶变换具有完全相同的特征函数，而它们的特征值之间是幂次关系，所以，分数傅里叶变换是完全不同于傅里叶变换的一种新的变换类，只有幂次取一些特别数值比如 5、9 时，分数傅里叶变换才返回到经典的傅里叶变换。这就是 V. Namias 的分数傅里叶变换的定义 28 。A. C. Mcbride 和 F. H. Kerr 在 1987 年给出了 V. Namias 的分数傅里叶变换的积分形式。详细地说，对信号空间 ( ) R L 2 中的任何信号 ( ) t f ，它的分数傅里叶变换 ( ) ( ) t f
