天津商业大学 2020 年硕士研究生招生考试试题714高等数学.docx
天津商业大学 2020 年硕士研究生招生考试试题专业： 统计学科目名称： 高等数学（714）共4页第1页说明：答案标明题号写在答题纸上，写在试题纸上的无效。一、选择题（1-10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1. 极限 lim20sin2 x ln(1+ t)dt= （）.x4x0（A） -1（B）1（C）1（D） 222. 设 f (x) 在a, b 上具有连续的导数， f (a) = f (b) = 0 ，并且 ab f 2 (x)dx = 2 ，则b（）.axf (x) f (x)dx =（A） 0（B）1（C） -1（D） -123.曲线 y = (x - 2)(x - 3)(x - 4) 与 x 轴所围部分的面积为（）.（A） -24 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx（B） 23 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx - 34 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx（C）24 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx（D）- 23 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx + 34 (x - 2)(x - 3)(x - 4)dx4. 设函数 y = y(x, z) 由方程 xyz = ex+ y 所确定，则y= （）.x（A） y(x -1)x(1- y)5. 二重积分 x 2 + y2 16（B）y（C）y(1- x)（D）y(1- xz)x(1- y)x(1- y)x(1- y)x2 + y2 - 4d = （）.（A） 20（B） 40（C） 60（D）802)d2y6. 设函数 y = y(x) 由 x = ln(1+ t确定，则= （）.dx2 y = t - arctan t（A）1+ t2（B）1（C） 0（D）1+ t2t24t天津商业大学 2020 年硕士研究生招生考试试题专业： 统计学科目名称： 高等数学（714）共 4 页 第 2 页说明：答案标明题号写在答题纸上，写在试题纸上的无效。7.111-111-11= ().1-111-1111（A） -24（B） 24（C）16（D） -16 -1008.010,则2+A+E设 3 阶矩阵 A 相似于矩阵 B，其中 B = A00-2（A） 9（B） -9（C） -3（D） 3=().9. 设 A 为 3 阶正交矩阵，记 A = ( 1, 2, 3) ,其中 1, 2, 3 为矩阵 A 的列向量组。若 为 3 维列向量，且 关于 1, 2 , 3 的坐标为 (2, -1,3) ，则向量 和 2 的内积为（）.（A） 2（B） -1（C） 0（D） 3 3000-10，则下列命题中正确命题的数目为10. 设实对称矩阵 A 合同于矩阵 B，其中 B = 002（）.二次型 f = xT Ax 的一个标准型为 y2+ y2- 2 y2 ；123矩阵 A 的特征值为 1 = 3, 2=-1, 3= 2 ； 100 01；矩阵 A 和 B 必合同于相同的矩阵 0 00-1矩阵 A 不是正定矩阵.（C） 3（A）1（B） 2（D） 4二、计算题（11-18 小题，共 75 分）+xex11.（7分） 计算反常积分 0dx .(1+ ex )2天津商业大学 2020 年硕士研究生招生考试试题专业： 统计学科目名称： 高等数学（714）共4页第3页说明：答案标明题号写在答题纸上，写在试题纸上的无效。12.（9 分） 有甲、乙两种商品，其单价分别为 p1 、 p2 元，某消费者消费 x 单位甲商品和 y 单位乙商品所获得的效用为u(x, y) =ln x + (1-) ln y （ 0 << 1，为常数），求该消费者在这两种商品预算支出为 m 元时所获得的最大效用，以及各商品的消费数量.13.9y+ 4 y = sin xy(0) = y (0) = 1.（分） 求微分方程满足初始条件的特解分） 设 f (x) =x3 sin1,x 014.（9x，试讨论0,x = 01f (x)x = 02f (x)x = 0.（）在处的连续性与可导性；（）在处的连续性与可导性115.（9分） 讨论级数 (-1)n-1 ln(1+) 的收敛性，若收敛，指明是条件收敛还是绝对收敛.n=1n16.（12 分）设1 = (1,1,3,1)T , 2= (1,3, -1, -5)T , 3 = (2,6, a, -10)T , 4 = (3,1,15,12)T , = (1,3,3, b)T ,试讨论（1） a, b 为何值时，可由1, 2 , 3 , 4 唯一线性表示；（2） a, b 为何值时，不能由1, 2 , 3 , 4 线性表示；（3） a, b 为何值时，可由1, 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一，并求出一个线性表示；（4）当可由1, 2 , 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一时，求向量组 1, 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组，并将其余的向量用该极大线性无关组线性表示.-1 -10 -1-2 17.（82-13-4，求矩阵 X.分）设矩阵X满足AX =B-2X ，其中A=-1, B=01 -31-2天津商业大学 2020 年硕士研究生招生考试试题专业： 统计学科目名称： 高等数学（714）共4页第4 页说明：答案标明题号写在答题纸上，写在试题纸上的无效。30-218.（12 分） 设矩阵 A = a1-2 ，（1）参数 a 为何值时，矩阵 A 可对角化？（2）当矩阵 A 可对角化时，求可逆矩阵 P，使得 P-1 AP = L 为对角形矩阵；（3）求 An .三、证明题（19-21 小题，共 25 分）19.（ 8 分） 设 fn (x) = cos x + cos2 x + + cosn x ，证明：对任意正整数 n ，方程 fn (x) = 1在20.（9 分） 设函数 f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导， A(a, f (a), B(b, f (b) ，弦 AB 与曲线 y = f (x) 相交于点 C(c, f (c), c (a, b) . 试证明（1）在 (a, b) 内存在互异的两个点 1,2 ，使得 f ( 1 ) = f ( 2 ) ；（2）在 (a, b) 内至少存在一点，使得 f ( ) = 0 .21.（8 分） 设 4 阶矩阵 A = (aij ), A 0 ，证明：齐次线性方程组 a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = 0 a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = 0的一个基础解系为 1 = ( A31 , A32 , A33 , A34 )T , 2 = ( A41 , A42 , A43 , A44 )T , 其中 Aij (i, j = 1, 2,3, 4) 是A中元素 aij 的代数余子式.
