大学课件 高等数学 下学期 9-5(第二型曲面积分).ppt

第五节 第二型曲面积分,一、有向曲面 二、第二型曲面积分的概念与性质 三、第二型曲面积分的计算法 四、两类曲面积分之间的联系,有两侧的曲面.,(1)双侧曲面,1. 曲面的分类,法向量的方向来区分曲面的两侧.,规定,一、,有向曲面,(2) 单侧曲面,莫比乌斯(Mobius)带.,B、C 粘在一起形成的环,不通过边界可以,这在双侧曲面上是不能实现的.,它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.,Mobius(1790-1868) 19世纪德国数学家,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,2.有向曲面,通常光滑曲面都有两侧.,(假设曲面是光滑的),有向曲面.,决定了侧的曲面称为,3. 有向曲面在坐标面上的投影,设是有向曲面.,恰好等于 与坐标面xOy的二面角.,假定,的余弦,上各点处的法向量与 z轴的夹角,有相同的符号.,在有向曲面,取一小块,类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影:,在xOy面上的投影,在xOy面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号.,的二面角.,流向曲面一侧的流量.,流量,实例,( 为平面A的单位法向量),(斜柱体体积),(1),流速场为常向量,有向平面区域 A,求单位时间流过A的流体的质量,(假定密度为1).,引例,(2) 设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,(假定密度为1),的速度场由,当,不是常量,曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面,分割,则该点流速为 ，,法向量为,求和,取近似,高,底,通过流向指定侧的流量,取极限,1. 定义,二、第二型曲面积分概念与性质,定义,有向曲面元,2.性质,(1),(2),(3),当曲面,(4),为母线平行于z轴的柱面时,表示相反的一侧,上侧,三、对第二型曲面积分的计算法,设积分曲面是由,的曲面,在xOy面,上的投影区域为,函数,具有一阶连续偏导数,被积函数R(x, y, z)在上连续.,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的,侧.,注,计算对坐标的曲面积分时:,(1) 认定对哪两个坐标的积分,将曲面表为 这两个变量的函数,并确定的投影域.,(2) 将 的方程代入被积函数,化为投影域上 的二重积分.,(3) 根据的侧(法向量的方向)确定二重积分 前的正负号.,解,投影域,例1,计算,其中是球面,外侧在,的部分.,例2,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,x=a面在yOz面上的投影为正,而,x=0面在yOz面上的投影为负.,投影域均为:,0ya, 0za, 故,由 x,y,z 的对等性知,所求曲面积分为 3a4.,后两个积分值也等于a4.,四、两类曲面积分之间的联系,其中,是有向曲面在点,处的法向量的方向余弦.,两类曲面积分之间的联系,不论哪一侧都成立.,解,例3,下侧.,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧,在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的,取上侧,法二,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧,锐角.,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧(内侧仍成立),那末,关于yOz平面对称,例4,其中:,解,关于yOz面对称,被积函数,关于x为偶函数.,下侧.,关于zOx面对称,被积函数,关于y为偶函数.,原式=,解,求,练习,而,思考题,思考题解答,因为上半球面,下半球面,故,关于曲面侧的性质,小结,对坐标的曲面积分的计算,对坐标的曲面积分的概念,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想: 化为二重积分计算;,对坐标的曲面积分的物理意义,注意:,“一投,二代,三定号”,对坐标的曲面积分的性质,两类曲线积分之间的联系,方法:,