2020-2021学年人教A版必修第二册学案83简单几何体的表面积与体积（同步培优）.docx

专题8. 3简单几何体的外表积与体积知识储藏1.空间几何体的外表积与体积公式2.正方体与球的切、接常用结论名称几何体外表积体积柱体（棱柱和圆柱）S外表积=S侧+2s底V=S 底 h锥体（棱锥和圆锥）S外表积=S侧+S底1V= - S 底 h 3台体（棱台和圆台）S外表积=S侧+S上+S下V= i（5 i +S 卜 + JS上S下）h球S=4k/?24RV tiR'3正方体的棱长为小 球的半径为上假设球为正方体的外接球，那么2R=G；（2）假设球为正方体的内切球，那么2R=a；（3）假设球与正方体的各棱相切，那么2R= V2 a.3 .长方体的共顶点的三条棱长分别为a, b, c,外接球的半径为凡 那么2R= 协+/+。2.4 .正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ： 1.能力检测考前须知：本试卷总分值100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0. 5毫米黑色签字 笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单项选择题（2020合肥市第十一中学高二期中（文）如图，正方体ABC。-4AG2的棱长为1,那么四棱锥48BQQ的体积为（）【答案】A设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为/,由侧面展开图是一个半圆可得加=2万人 解得/ = 2人乂 S = 71rl + 万r x 2厂=3%，所以r=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为/ = 2厂=2,圆锥的高为/Z = J/2 厂2 = J2?F =百，所以圆锥的体积为丫二,万户九二,万又广义6二左".333故答案为：2,叵 3【解析】由正方体性质得4G，平面842。,所以四棱锥。的体积为工乂旭乂枭研力二工乂交又卜夜二， 32 bbrd 323应选：B.1. （2019西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）直三棱柱ABC-A耳£的底面是等腰直角三 角形，/AC4=90° , 4G=1 , AAi=y/3 ,。是线段片瓦的中点.棱柱ABC A4cl被 平面AG。分成的两局部的体积比为（）.A. 1:3B. 1:4C. 2:3D. 1:5【答案】D【解析】在放4MG中，aG=4G=L。为A耳中点直三棱柱 ABC 48C中，AjA_L、,|hiA4GAAj = 3是三棱锥A - AG。的高，也是直三棱柱BC A8C的高，V- S ACD 9 AA x xy/3.cw 二 3 "CD = 3 4 JABC-AQ-Xy/362棱柱A3。agq被平面ag。分成的两局部的体积比为15应选：d3.（2020山西吕梁市高二期中）A,8,C。为球。的球面上的四个点，圆。|为A6C的外接圆.假设圆。的面积为4不，da = db = dc = ab = bc = ac,那么球。的体积为（）C. 18乃C. 18乃D.18区【答案】B【解析】由题意可得为等边三角形,设外接圆半径为人 上爪=2r=4 sin 60由D4 = OB = OC = A3 = BC = AC,可知三棱锥。 ABC为正四面体,将正四面体放在正方体，如图：设正方体的棱长为，那么/+2=（26=12,解得4 =指，设正方体的外接球半径为R,那么 2R = ,6 + 6 + 6 = 3a/2，所以 R =主旦, 2所以球。的体积为3乃斤=±乃x 27 x 2亚=9岳.应选:B 3384 . （2020山西吕梁市高二期中）A氏CD是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，那么原正方体中几何体A3C。的外表积为（）A. 2 + 4a/2 + 2>/3B. 2 + 2V2 + 2V3c. 2 + 2V2 + 4V3c. 2 + 2V2 + 4V3D 2 + 4a/2+4a/3【答案】A【解析】由所给正方体的展开图得到直观图,如图:如图:那么此二棱锥的外表积为：S /XBCD + S XADC + /ABD =-x2x2 + ix2x2V2 + -x2x2V2+-x2V2x2V2x = 2 + 4V2 + 2V3 .： A 22222. （2020湖南高三月考）如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器.秦始皇统一中 国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡.经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸, 内口长是宽的L8倍，内口的外表积（不含上底面）为33平方寸，那么该铜方升内口的容积为（）A. 5.4立方寸B. 8立方寸C. 16立方寸 D. 16.2立方寸【答案】D【解析】设内口宽为。寸，那么长为L8a寸，由2（a + l.8a） + l.8/=33整理得92+28 165 = 0，解得。=3 （。=个舍去）9故所求的容积为3x（L8x3）xl = 16.2立方寸.应选：D.（2020宁夏长庆高级中学高三月考（理）一个圆锥的外表积为二，它的侧面展开图是圆心角为 120。的扇形，那么该圆锥的高长为（）D. V2【答案】D【解析】设圆锥底面半径是小 母线长/,71rl + 7irl =兀，G|J r2 + r/ = 1 ©227rr根据圆心角公式得：= ，即/ = 3' 3 I13由解得：r = ， / =, 22=亚.应选:=亚.应选:D.5 .（2020河北高二学业考试）假设圆锥的底面半径和高都等于球的半径，那么圆锥的体积与球的体积之比是（）.121A. -B. -C.一396【答案】D4 .【解析】设球的半径为，那么该球的体积为耳=%一；又圆锥的底面半径和高都等于球的半径,1 7 1 .所以该圆锥的体积为匕=一/r二一"/,V2 1因此圆锥的体积与球的体积之比是r=7应选：D.匕4（2020昔阳县中学校高二期中）三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且24,平面ABC, AB = 2, AC = 1, ZACB = 90°,假设该棱锥的体积为2叵，那么此球的外表积为（） 3A. 167rB. 20万C. 8万D. 5【答案】B【解析】作出三棱锥PA5C,如图：因为口4,平面ABC,那么又因为/AC8 = 90。，所以 BCJ_AC,由 ACcR4 = A,所以平面P4C,所以PC,所以PCB为直角三角形，又为直角三角形，所以三棱锥P-ABC的外接球球心在 心的中点上， 1110VP-ABC =-SBCPA = -X-XiX-PA = 9 解得以=4，所以PB = *G = 2后,故三棱锥P-ABC的外接球半径r = 5 所以外接球外表积为4万/ =47x5 = 20乃.应选：B二、多项选择题9.（2020全国高三专题练习）正方体ABC。-44GA的各棱长均为2,以下结论正确的选项是（）A.该正方体外接球的直径为26B.该正方体内切球的外表积为47rC.假设球。与正方体的各棱相切，那么该球的半径为 血D.该正方体外接球的体积为4道【答案】ABC【解析】假设正方体的棱长为2,那么：假设球为正方体的外接球，那么外接球直径等于正方体体对角线，即2R = J?百百=26，故A正确，外接球体积为= 4仆兀,故。错误； 3假设球为正方体的内切球，那么内切球半径为棱长的一半，故尺=1,球的外表积为4iR2 = 47,故B正确；假设球与正方体的各棱相切，那么球的直径等于正方形对角线长，即R = JF万 =2后，球的半径为A =后，故。正确故此题选：ABC.10. （2020江苏连云港市高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M, N,假设线段MN 的最小值为G-1，那么（）A.正方体的外接球的外表积为12兀B.正方体的内切球的体积为?C.正方体的棱长为1D.线段MN的最大值为G + 1【答案】AD【解析】设正方体的棱长为那么其外接球的半径为/?=立，内切球的半径为r=, 22正方体的外接球与内切球上各有一个动点M, M由于两球球心相同，可得MN的最小值为0q = G 1，解得。=2,故C错误；22所以外接球的半径为G，外表积为4%x3 = 12%,故A正确；4内切球的半径为1,体积为一,故B错误； 3的最大值为R + R = g + 1，故D正确；应选：AD.11. （2020潍坊市潍城区教育局高三月考）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的 容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部 容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高2均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的弓（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）1024 7Z*A.沙漏中的细沙体积为cm381B.沙漏的体积是128万。/C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD.该沙漏的一个沙时大约是1565秒（万1 3.14）【答案】AC【解析】4根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，Q所以细沙的底面半径r = -x4 = -cm ,316 10247T3=cm381 12 2/z1 64所以体积V = - 7TK8 .沙漏的体积V = 2x x/rx 32!7 力-2 / |333 97cl c c 2563x/z = 2x xttx4x8 =7icm ；33C设细沙流入下部后的高度为4 ,根据细沙体积不变可知：噌工811=x371力丫'一一1024乃 16 万所以一 = 81%，所以4-2Acm ；cm沙漏每秒钟漏下0.02刖3的沙,喋产秒.故迄AC10244D因为细沙的体积为二一 811024所以一个沙时为：810.0212. （2020武安市第三中学高三期中）三棱锥A - 3c。中，BC±CD9 4B=AD=后，BC=1,CD=6 贝!J （）47rA.三棱锥的外接球的体积为 3区乃B.三棱锥的外接球的体积为不C.三棱锥的体积的最大值为16D.三棱锥的体积的最大值为百【答案】AC【解析】如图，V5C±CD, BC=1, CD=6，BD=2, :AB=AD=6,：.AB_LAD,47r的中点。为外接球球心，故半径为1,体积为 ，3当面A8D与面C8D相互垂直时，点A到面5CZ）的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为49=180=1；2其最大值为：-xx-xBCxCD=-xXy/3=-应选：AC.3266三、填空题13.（2019西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）S, A, B,。是球O外表上的点，5A1 ffiABC, ABLBC, SA = AB = 2, BC = 2.那么球。的外表积为.【答案】12兀【解析】SA，平面ABC, AB.LBC, SA = AB = 2, BC = 2.四面体S -ABC的外接球半径等于以AB为边长的正方体的体对角线的一半，那么正方体外接球的半径r二叵匠=,那么球体的外表积为：S = 4乃r=4乃x3 = 12/ 22故答案为:12兀（2020江苏南通市高三期中）在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的 直棱柱称为“堑堵”，三棱柱ABCA4G是一个“堑堵”，其中ab = bm=2, bc=i, ac = E 那么这个“堑堵”的外接球的外表积为.【答案】91【解析】因为 AB = 2,BC = 1,AC = 6,所以 A52 + BC2=ac2,所以 A3_L3C,所以可将三棱柱ABC-a AG补成一个长方体，如图：那么该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2R,所以2R =百11r = 3,所以23所以外接球的外表积为4"犬=4»x（了 =9.故答案为：9214. （2020山东日照市日照一中高三月考）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经 得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.三棱锥A-3CD的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD, BCLCD,且AB = CD=退，BC = 2,利用张衡的结论可得球。的外表积 为.【答案】ioVw【解析】如下图：因为3CLC。，所以BD = 5，BCD的外接圆的圆心。|为8。的中点，又ABL底面BCD,由截面圆的性质得：球0的球心为侧棱AD的中点，从而球0的直径为AO = J而，2利用张衡的结论可得二=9,那么=加，16 8所以球。的外表积为4»萼=10 = 10而.故答案为：10面 四、双空题15. （2020浙江台州市高二期中）圆锥的外表积为3万，且它的侧面展开图是一个半圆，那么它 的母线长为;该圆锥的体积为.【答案】2 2兀3【解析】