惯性定理正定二次型.ppt
惯性定理正定二次型现在学习的是第1页，共28页6.3 惯性定理和二次型的规范形惯性定理和二次型的规范形对于一个n元二次型xTAx，不论做怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。或者说或者说,对于实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要使CTAC=diag(d1,dp,dp+1,dp+q,0,0)其中，di0 (i=1,p+q),p+qn 成立，则p和q是由A唯一确定的。现在学习的是第2页，共28页因此，只需证明p由A惟一确定.由秩(A)=秩(CT A C)=p+q,知 p+q 由A唯一确定.设实二次型 f=xT A x,经由坐标变换设p+q=r(A)=r,x=By 和 x=Cz (B,C都可逆)分别化为标准形：f=b1y12+bp yp2 bp+1 yP+12-br yr2 f=c1 z12+ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2 (bi,ci0,i=1,r)要证正平方项的项数是唯一的.即要证明：p=t.现在学习的是第3页，共28页用反证法：假设 pt，此时由和可得f=b1y12+bt yt2 +bt+1yt+12+bpyp2 bp+1yp+12 br yr2 =c1z12+ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2由 z=C1x=(C 1B)y=Dy（其中D=C1B），即nnnnnnntntttnnydydydzydydydzydydydz2211221112121111现在学习的是第4页，共28页为了从式中找到矛盾，令 z1=z2=zt=0,yp+1=yn=0,代入式,得到y1,y2,yn的线性方程组00001221111212111nptntnttnnyyzydydydzydydyd齐次线性方程组有 n个未知量，但方程个数为 t+(n p)=n(p t)0 将的非零解代入式得到 z1,zt,zn 的一组值(其中 z1=z2=zt=0)将它们再代入式，又得f=ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr2 0,二式显然是矛盾的，故假设的pt不能成立.同理可证 t p，得 p=t。故 p 和 q=r p 是由A唯一确定的。现在学习的是第6页，共28页 二次型 xTAx 的标准形中，正平方项项数 p 称为二次型(或矩阵A)的正惯性指数；正惯性指数；负平方项项数 q=r p称为二次型(或矩阵A)的负惯性指数；负惯性指数；正负惯性指数的差 p q=2 p r 称为符号差符号差。秩(A)=r 也叫二次型的秩。设 A为 n 阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别为 p 和 q，则 A diag(1,1,1,1,0,0).其中1有p个,1有q个,0 有n(p+q)个。换句话说，现在学习的是第7页，共28页对于二次型 xTAx 存在坐标变换 x=Cy，使得 xTAx=y12+yp2 yp+12-yr2 (r=p+q)上式右端称为 xTAx 的。由定理6.26.3知,存在 可逆矩阵C1,使C1TAC1=diag(d1,dp,dp+1,dp+q,0,0)其中di0(i=1,p+q)。取可逆阵),(C111111diag112rppdddd2T2CC现在学习的是第8页，共28页则),()(001111diag21T1T2CACCC21CCC取则 CTA C=diag(1,1,1,1,0,0)若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的正、负惯性指数分别相等；2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1，1,0 的排列次序)可以划分为(n+1)(n+2)/2 类。现在学习的是第9页，共28页6.4 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵 如果n元实二次型 f(x1,x2,xn)=xTAx,x=(x1,x2,xn)T0(xRn),恒有 xTAx 0,就称 xTAx 为；称矩阵A为。由定义可得：(1)n元实二次型(标准形)f=(x1,x2,xn)=d1x12+d2x22+dnxn2 正定的充分必要条件是 di 0 (i=1,2,n)。充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在 di0，取 xi=1,xj=0(ji)，便有f(0,0,1,0,0)=di0。这与二次型正定相矛盾。现在学习的是第10页，共28页(2)对二次型 f=xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy,化为 f=yT(CTAC)y，其正定性保持不变。这是因为：y00，由于C可逆,相应的 x0=Cy00若 f=xTAx 是正定的，f=y0T(CTAC)y0=x0TAx00，即 y0T(CTAC)y0 正定，反之亦然。所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy,将其化为标准形 yT(CTAC)y=d1y12+d2y22+dnyn2,即A合同于对角矩阵 CT A C=diag(d1,d2,dn)，就容易判断其正定性。现在学习的是第11页，共28页 若A 为n阶实对称矩阵，下列命题等价：(1)xT A x 是正定二次型(或A是正定矩阵);(2)A的正惯性指数为n，即A I；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,n都大于零。(1)(2)由定理6.2,对于A,存在可逆矩阵使得CT A C=diag(d1,d2,dn)假设A的正惯性指数 0 (i=1,2,n)；(2)A的行列式 detA0。证：证：(1)因 xTAx 正定，取第i个分量xi=1,其余分量为0的向量 ei=(0,0,1,0,0)T，则有 eiTAei=aii 0 (i=1,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PT P，从而A=PTP=P 20或正定矩阵A的特征值都大于零,得A=12n0。现在学习的是第17页，共28页,B25541200210000120021D,A4221例如，A=0，2553CB0，C 中 c110(k=1,n).必要性得证.现在学习的是第19页，共28页充分性：充分性：对矩阵A的阶数n作数学归纳法。当n=1时，a110,xTAx=a11x120(x10),充分性成立.假设充分性对n 1元二次型成立；对n元二次型，将A分块为,AAnnnaT1其中=(a1n,a2n,an-1,n)T根据定理6.4，只需证明 A I,A0IC111T1T1nn取,0AIC11111nn则现在学习的是第20页，共28页A00AACC11T11T1nnnnabn00A1记作。其中A11Tnnnb由于C12 A=An-1 b 0,An-10，即得 b0。由归纳假设,An-1 正定,故存在 n1阶可逆矩阵 G，使得，11TnnIGAG,00GC,00GCbb121TT2则再取21T1T2)(CACCCbnbb111T000000GAG现在学习的是第21页，共28页21T1T2)(CACCC112T221T20000nnbICCCAC,IACC,CCCnT21则记故 A I，A正定。证毕。这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理现在学习的是第22页，共28页32312123222132148455xxxxxxxxxxxxf,例如例如 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解:的矩阵为321xxxf,524212425它的顺序主子式它的顺序主子式,051,0112252,015242124253 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.现在学习的是第23页，共28页例例4 证明：若A是n阶正定矩阵，则存在正定矩阵B，使得 A=B 2。证：证：正定矩阵A是实对称矩阵,所以存在正交阵Q使得),(nTdiagAQQ21).,(nii210其中n21 nn2121),(ndiag211 记21 AQQTTTQQQQA11 )(211BQQQQTT)(TQQB1.,是正定矩阵故特征值依旧大于B01 BQQT现在学习的是第24页，共28页6.5 6.5 其他有定二次型其他有定二次型定义定义6.5 如果 x=(x1,xn)T0，恒有二次型(1)xTAx 0,但至少存在一个 x0 0，使得 x0TAx0=0，则称 xTAx 为半正定二次型，A为半正定矩阵；(2)xTAx 0,则称 xTAx 为负定二次型,A为负定矩阵；(3)xTAx 0，但至少存在一个 x0 0，使得 x0TAx0=0，则称 xTAx 为半负定二次型，A为半负定矩阵。现在学习的是第25页，共28页正定,半正定,负定,半负定二次型统称为有定二次型.不是有定的二次型，就称为不定二次型。2222211nnTxdxdxdAxx例如，当di 0 (i=1,2,n)时，是负定的；当di 0 (i=1,2,n),且至少有一个为0 时是半正定;当di 0 (i=1,2,n)且至少有一个为0 时是半负定若A为负定(半负定)矩阵,则(A)为正定(半正定)矩阵.二次型经坐标变换,正(负)定性、半正(负)定性及不定性都不变。现在学习的是第26页，共28页定理定理6.7 设A为n阶实对称矩阵,则下列命题 等价：(1)xT A x 是负定二次型(或A是负定矩阵);(2)A的负惯性指数为n，即A I；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,n都小于零；(5)A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序 主子式都大于零。现在学习的是第27页，共28页定理定理6.8 设A为n阶实对称矩阵.则下列命题 等价：(1)xT A x 是半正定二次型(或A是半正定矩阵)；(2)A的正惯性指数为=r(A)=r(r n)或 A diag（1,1,0,0)，其中1有r个；(3)A的n个特征值都大于等于零,但至少存在一个为零；(4)存在非满秩矩阵P（r(P)n），使得A=PTP；(5)A的各阶主子式大于等于零,但至少有一个主子式 等于零。现在学习的是第28页，共28页
