概率论与数理统计第五章.ppt

关于概率论与数理关于概率论与数理统计第五章统计第五章现在学习的是第1页，共65页设非负 r.v.X 的期望 E(X)存在，则对于任意实数 0,)()(XEXP证证 仅证连续型 r.v.的情形dxxfXP)()(dxxfx)(0)(1dxxxf)(XE 重要不等式重要不等式 5.1 大数定律大数定律现在学习的是第2页，共65页设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E(|X|k)存在，则对于任意实数 0,kkXEXP)|(|)|(|推论推论 1设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对于任意实数 0,2)()|)(|XDXEXP推论推论 2 切贝雪夫(chebyshev)不等式或2)(1)|)(|XDXEXP当 2 D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式现在学习的是第3页，共65页例例1 1 设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的 6000 粒种子中,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.解解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)01.0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.010883现在学习的是第4页，共65页实际精确计算1060940XP01.0616000XP1059941600060006561kkkkC959036.0用Poisson 分布近似计算1060940XP01.0616000XP937934.010599411000!1000kkke取=1000现在学习的是第5页，共65页大数定律大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则0有0limpnnPAn或1limpnnPAn现在学习的是第6页，共65页证证 引入 r.v.序列Xk发生次试验第发生次试验第AkAkXk,0,1设,)1(pXPk则pqXDpXEkk)(,)(nXXX,21相互独立，nkkAXn1记,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由 Chebyshev 不等式现在学习的是第7页，共65页pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP现在学习的是第8页，共65页在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：nnA频率与 p 有较大偏差pnnA是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义nnA现在学习的是第9页，共65页定义定义a 是一常数，0limaYPnn(或)1limaYPnn则称 r.v.序列,21nYYY依概率收敛于常数 a,记作aYnPn故pnnnPA,21nYYY是一系列 r.v.设0有若现在学习的是第10页，共65页 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从(0,1)分布的 r.v.序列 Xk 的算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列现在学习的是第11页，共65页Chebyshev 大数定律,21nXXX相互独立，设 r.v.序列(指任意给定 n 1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差nXXX,21,2,1,)(,)(2kXDXEkk则0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP现在学习的是第12页，共65页定理的意义定理的意义当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替可被现在学习的是第13页，共65页注注2,21nXXX相互独立的条件可以去掉，代之以0112nnkkXDn注注1,21nXXX不一定有相同的数学期望与方差，可设,2,1,)(,)(22kXDXEkkkk有011lim11nkknkknnXnP现在学习的是第14页，共65页,21nXXX相 设 r.v.序列,2,1,)(iXEkki则0有01lim1knikinXnP互独立具有相同的分布，且记knikiMXn11注注3现在学习的是第15页，共65页11nPM),(21kMMMgnP),(21kg则则22nPMknPkM),(21kxxxg连续，若现在学习的是第16页，共65页第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结现在学习的是第17页，共65页一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动的误差以及射击时武器的振动、气象因素、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等如风速、风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并并且它们中每一个对总和产生的影响不大且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.现在学习的是第18页，共65页二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1现在学习的是第19页，共65页 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数定理四表明定理四表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxt).(de2122 现在学习的是第20页，共65页,0|1,),2,1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)现在学习的是第21页，共65页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)(xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 现在学习的是第22页，共65页定理五表明定理五表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.现在学习的是第23页，共65页 xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证明证明根据第四章第二节例题可知根据第四章第二节例题可知,1 nkknX 分分布布律律为为分分布布的的随随机机变变量量一一是是相相互互独独立立的的、服服从从同同其其中中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)现在学习的是第24页，共65页,)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk 根据定理四得根据定理四得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxt).(de2122 定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可可以利用该定理来计算二项分布的概率以利用该定理来计算二项分布的概率.现在学习的是第25页，共65页下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.现在学习的是第26页，共65页三、典型例题三、典型例题.105,)1,0(,)20,2,1(20201的近似值的近似值求求记记上服从均匀分布上服从均匀分布且都在区间且都在区间机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随个噪声电压个噪声电压一加法器同时收到一加法器同时收到 VPVVkVkkk解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例1现在学习的是第27页，共65页2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02de2112tt)387.0(1 .348.0 现在学习的是第28页，共65页 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲已知每遭受一次海浪的冲击击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90 000次次波浪冲击波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的的概率是多少？概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海浪将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,.)31,00090(bX且且例例2现在学习的是第29页，共65页所求概率为所求概率为3050029500 XP.323190000900003050029501kkkk 分布律为分布律为kXP,32310009000090kkk .00090,1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP现在学习的是第30页，共65页 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 现在学习的是第31页，共65页 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每人每年交每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万万元元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017.0,10000 pn其其中中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3现在学习的是第32页，共65页2001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率现在学习的是第33页，共65页 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长人来参加家长会的家长人数是一个随机变量数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的设各学生参加会议的家长数相互独立家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议求参加会议的家长数的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加名家长来参加会议的学生数不多于会议的学生数不多于340的概率的概率.解解,)400,2 ,1()1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例4现在学习的是第34页，共65页 的的分分布布律律为为则则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易易知知)400,2,1(,19.0)(kXDk ,4001 kkXX而而根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，19.04001.1400 4001 kkX随随机机变变量量 19.04001.1400 X),1,0(N近似服从正态分布近似服从正态分布现在学习的是第35页，共65页 19.04001.140045019.04001.1400 XP450 XP于于是是 147.119.04001.14001 XP;1357.0)147.1(1 现在学习的是第36页，共65页 ,)2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8.0,400(bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2.08.04008.04003402.08.04008.0400 YP 5.22.08.04008.0400 YP.9938.0)5.2(现在学习的是第37页，共65页.,1,),2,1()1,1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证),2,1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE)(iXD,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(24iiYEXE 例例5现在学习的是第38页，共65页 1144d21)(iiixxXE因为因为,51 23151)(iYD所所以以,454 ,21相相互互独独立立因因为为nXXX .,21相相互互独独立立所所以以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，现在学习的是第39页，共65页 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故现在学习的是第40页，共65页四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独当独立随机变量的个数增加时立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布其和的分布趋于正态分布.现在学习的是第41页，共65页李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn:6 Jun.1857 in Yaroslavl,RussiaDied:3 Nov.1918 in Odessa,Russia现在学习的是第42页，共65页德莫佛资料德莫佛资料Abraham de Moivre Born:26 May.1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov.1754 in London,England现在学习的是第43页，共65页拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon Laplace Born:23 Mar.1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,France Died:5 Mar.1827 in Paris,France现在学习的是第44页，共65页第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理习习 题题 课课二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点现在学习的是第45页，共65页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.现在学习的是第46页，共65页大数定律大数定律二、主要内容二、主要内容中心极限定理中心极限定理定定理理一一定理二定理二定理三定理三定理一的另一种表示定理一的另一种表示定理一定理一定理二定理二定理三定理三现在学习的是第47页，共65页契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变量个随机变量作前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ,1),2,1()(,)(,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX.11lim|lim1 nkknnXnPXP现在学习的是第48页，共65页定理一的另一种表示定理一的另一种表示.,1),2,1()(,)(,1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则序列则序列和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量现在学习的是第49页，共65页伯努利大数定理伯努利大数定理有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设,0,ApAnnA.0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或现在学习的是第50页，共65页辛钦定理辛钦定理),2,1()(,21 kXEXXXkn 且且具具有有数数学学期期望望服服从从同同一一分分布布相相互互独独立立设设随随机机变变量量有有则则对对于于任任意意正正数数,.11lim1 nkknXnP现在学习的是第51页，共65页独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY标准化变量标准化变量现在学习的是第52页，共65页满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim现在学习的是第53页，共65页李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理,0|1,),2,1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量现在学习的是第54页，共65页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)(xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 现在学习的是第55页，共65页德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理恒恒有有对对于于任任意意则则的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为设设随随机机变变量量,)10(,),2,1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 现在学习的是第56页，共65页三、典型例题三、典型例题 解解.,1 ,:4).3,2,1,()(,1221指指出出其其分分布布参参数数并并近近似似服服从从正正态态分分布布随随机机变变量量大大时时充充分分当当证证明明已已知知样样本本的的简简单单随随机机是是来来自自总总体体假假设设 niinkknXnZnkXEXXXX ,21独独立立同同分分布布因因为为nXXX ,22221也也独独立立同同分分布布所所以以nXXX例例1现在学习的是第57页，共65页,)(22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布.现在学习的是第58页，共65页 ,充分大时充分大时故当故当n,近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布nV ,充分大时充分大时从而当从而当n )(12224近似服从近似服从 nnVnZ .,22422的的正正态态分分布布参参数数为为n 现在学习的是第59页，共65页?1000161,6000,61,的概率是多少的概率是多少之差的绝对值小于之差的绝对值小于所占的比例与所占的比例与试问在这些种子中良种试问在这些种子中良种粒粒选选今在其中任今在其中任其中良种占其中良种占现有一批种子现有一批种子解解 ,0,1粒粒不不是是良良种种第第粒粒是是良良种种第第令令iiXi.,2,1ni,61)1(iXP则则,1 niinXY记记.6000,61,nnBYn则则例例2现在学习的是第60页，共65页根据题意根据题意,所求概率为所求概率为 10001616000nYP),61000(nYP,61,6000 BYn因因为为由由中心极限定理中心极限定理有有:,651000,1000 NYn近近似似服服从从现在学习的是第61页，共65页 10001616000nYP所以所以 6/5100066/510001000nYP15000662 1)208.0(2 15832.02 .1664.0 现在学习的是第62页，共65页.)975.0)96.1(,(,19.6 3,100 ),10,0(2 效数字效数字要求小数点后取两位有要求小数点后取两位有的近似值的近似值并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出的概率的概率绝对值大于绝对值大于次测量误差的次测量误差的至少有至少有次独立重复测量中次独立重复测量中在在试求试求假设测量的随机误差假设测量的随机误差NX解解,6.19 概概率率的的值值大大于于为为每每次次测测量量误误差差的的绝绝对对设设 p6.19 XPp 106.1910XP例例3现在学习的是第63页，共65页 96.110XP,05.0)96.1(22 ,6.19100 的次数的次数出现出现次独立测量中事件次独立测量中事件为为设设 Xk ,05.0,100 的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为则则 pnk3 kP 故故31 kP2989910005.095.029910005.095.010095.01 96.1102XP现在学习的是第64页，共65页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第65页，共65页