数值分析计算方法第七章.ppt

现在学习的是第1页，共34页函数逼近问题的一般提法：函数逼近问题的一般提法：对于函数类对于函数类A中给定的函数中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单要求在另一类较简单的且便于计算的函数类的且便于计算的函数类B(A)中寻找一个函数中寻找一个函数p(x)，使使p(x)与与f(x)之差在某种度量意义下最小之差在某种度量意义下最小。最常用的度量标准：最常用的度量标准：(一一)一致逼近一致逼近以函数以函数f(x)和p(x)的最大误差)()(max,xpxfbax作为度量误差作为度量误差 f(x)p(x)的的“大小大小”的标准的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 现在学习的是第2页，共34页对于任意给定的一个小正数对于任意给定的一个小正数 0，如果存在函数，如果存在函数p(x)，使不等式，使不等式)()(maxxpxfbxa成立，则称该函数成立，则称该函数p(x)在区间a,b上一致逼近一致逼近或均匀逼近均匀逼近于函数f(x)。(二二)平方逼近平方逼近：采用采用dxxpxfba2)()(作为度量误差的作为度量误差的“大小大小”的标准的函数逼近称为平方逼近的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近或均方逼近。现在学习的是第3页，共34页1 正交多项式正交多项式一、一、正交函数系的概念正交函数系的概念考虑函数系考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间-,上的积分都等于上的积分都等于0！我们称这个函数中任何两个函数在我们称这个函数中任何两个函数在-,上是正交上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。的，并且称这个函数系为一个正交函数系。现在学习的是第4页，共34页若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：使之成为：nxnxxxsin1,cos1,sin1,cos1,21那么这个函数系在那么这个函数系在-,上不仅保持正交的性质，上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的而且还是标准化的(规范的规范的)现在学习的是第5页，共34页1权函数权函数定义定义7.1 设设 (x)定义在有限或无限区间定义在有限或无限区间a,b上，上，如果具有下列性质：如果具有下列性质：(1)(x)0，对任意对任意x a,b，(2)积分积分 存在存在，(n=0,1,2,)，dxxxnba)(3)对非负的连续函数对非负的连续函数g(x)若若 badxxxg0)()(则在则在(a,b)上上g(x)0 称称 (x)为为a,b上的上的权函数权函数 现在学习的是第6页，共34页2内积内积定义定义7.2 设设f(x)，g(x)C a,b，(x)是是a,b上的权函数，上的权函数，则称则称 badxxgxfxgf)()()(),(为为 f(x)与与 g(x)在在 a,b上以上以 (x)为权函数的内积。为权函数的内积。内积的性质：内积的性质：(1)(f,f)0，且且(f,f)=0 f=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。现在学习的是第7页，共34页3正交性正交性定义定义7.3 设设 f(x)，g(x)C a,b 若若badxxgxfxgf0)()()(),(则称则称f(x)与与g(x)在在a,b上带权上带权 (x)正交正交。定义定义7.4 设在设在a,b上给定函数系，若满足条件上给定函数系，若满足条件)(),1,0,(,0,0)(),(是常数kkkjAkjkjAkjxx则称函数系则称函数系 k(x)是是a,b上带权上带权 (x)的正交函数系，的正交函数系，现在学习的是第8页，共34页若定义若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x)为权的在为权的在a,b上的正交多项式系。并称上的正交多项式系。并称pn(x)是是a,b上上带权带权 (x)的的n次次正交多项式正交多项式。特别地，当特别地，当Ak 1时，则称该函数系为时，则称该函数系为标准正交函数系。标准正交函数系。现在学习的是第9页，共34页二、常用的正交多项式二、常用的正交多项式1切比雪夫切比雪夫()多项式多项式定义定义7.5 称多项式称多项式)2,1,0,11()cosarccos()(nxxnxTn为为n 次的切比雪夫多项式次的切比雪夫多项式(第一类第一类)。现在学习的是第10页，共34页切比雪夫多项式的性质：切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：正交性：由由 Tn(x)所组成的序列所组成的序列 Tn(x)是是在区间在区间-1,1上带权上带权 211)(xx的正交多项式序列。且的正交多项式序列。且 0,0,2,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm现在学习的是第11页，共34页(2)递推关系递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：),2,1()()(2)()(,1)(1110nxTxTxxTxxTxTnnn(3)奇偶性：奇偶性：切比雪夫多项式切比雪夫多项式Tn(x)，当当n为奇数时为奇函数；为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。为偶数时为偶函数。)()1()cosarccos()1()coscarcos()arccos(cos)(xTxnxnnxnxTnnnn现在学习的是第12页，共34页(4)Tn(x)在区间在区间-1,1上有上有n 个不同的零点个不同的零点),2,1(,2)12(cosnknkxk(5)Tn(x)在在-1,1上有上有n+1个不同的极值点个不同的极值点),2,1,0(cosnknkxk使使Tn(x)轮流取得最大值轮流取得最大值 1 和最小值和最小值-1。现在学习的是第13页，共34页(6)切比雪夫多项式的极值性质切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为的最高次项系数为 2n-1(n=1,2,)。定理定理7.1 在在-1x 1上，在首项系数为上，在首项系数为1的一切的一切n次多项式次多项式Hn(x)中中)(21)(1xTxTnnn与零的偏差最小，且其偏差为与零的偏差最小，且其偏差为 121n即，对于任何即，对于任何 ，有有)()(xHxpn0)(max0)(max2111111xpxTxnxn现在学习的是第14页，共34页2勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式定义定义7.6 多项式多项式),2,1,0()1(!21)(2nxdxdnxpnnnnn称为称为n次勒让德多项式。次勒让德多项式。勒让德多项式的性质：勒让德多项式的性质：(1)正交性正交性勒让德多项式序列勒让德多项式序列pn(x)是在是在-1,1上带权上带权 (x)=1的正交多项式序列。的正交多项式序列。现在学习的是第15页，共34页nmnnmdxxpxpnm1220)()(11(2)递推关系递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：),2,1()(1)(112)()(,1)(1110nxpnnxxpnnxpxxpxpnnn现在学习的是第16页，共34页(3)奇偶性：奇偶性：当当n为偶数时为偶数时，pn(x)为偶函数为偶函数；当当n为奇数时为奇数时，pn(x)为奇函数为奇函数。(4)pn(x)的的n个零点都是实的、相异的，且全个零点都是实的、相异的，且全部在区间部在区间-1,1内部内部。现在学习的是第17页，共34页3其它常用的正交多项式其它常用的正交多项式(1)第二类切比雪夫多项式第二类切比雪夫多项式定义定义7.7 称称),2,1,0(1arccos)1sin()(2nxxnxun为第二类切比雪夫多项式。为第二类切比雪夫多项式。现在学习的是第18页，共34页 un(x)是在区间是在区间-1,1上带权函数上带权函数 21)(xx的正交多项式序列。的正交多项式序列。相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：),2,1()()(2)(,2)(,1)(1110nxuxxuxuxxuxunnn现在学习的是第19页，共34页(2)拉盖尔拉盖尔(Laguerre)多项式多项式定义定义7.8 称多项式称多项式 ),2,1,0()0(),()(nxexdxdexLxnnnxn为拉盖尔多项式。为拉盖尔多项式。现在学习的是第20页，共34页 Ln(x)是在区间是在区间0,+上带权上带权 (x)=e-x 的正交多项式序列的正交多项式序列。nmnnmdxxLxLenmx,)!(,0)()(20 相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),()()21()(,1)(,1)(12110nxLnxLxnxLxxLxLnnn现在学习的是第21页，共34页(3)埃尔米特埃尔米特(Hermite)多项式多项式定义定义7.9 称多项式称多项式),2,1,0(),(),()1()(22nxedxdexHxnnxnn为埃尔米特多项式。为埃尔米特多项式。现在学习的是第22页，共34页的正交多项式序列。的正交多项式序列。Hn(x)是在区间是在区间(-,+)上带权函数上带权函数2)(xexnmnnmdxxHxHennmx,!2,0)()(2 相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),(2)(2)(2)(,1)(1110nxnHxxHxHxxHxHnnn现在学习的是第23页，共34页2 最佳一致逼近最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念一、最佳一致逼近的概念定义定义7.10 设函数设函数f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，对于上的连续函数，对于 任意给定的任意给定的 0，如果存在多项式如果存在多项式p(x)，使不等式使不等式)()(maxxpxfbxa成立，则称多项式成立，则称多项式p(x)在区间在区间a,b上一致逼近上一致逼近(或均匀逼近或均匀逼近)于函数于函数f(x)。现在学习的是第24页，共34页维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理 若若f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，则对于任意上的连续函数，则对于任意 0，总存在多项式总存在多项式p(x)，使对一切，使对一切a x b有有)()(xpxf现在学习的是第25页，共34页3 最佳平方逼近最佳平方逼近1函数系的线性关系函数系的线性关系定义定义7.11若函数若函数 ，在区间，在区间a,b上连续，上连续，如果关系式如果关系式 当且仅当当且仅当 时才成立，则称时才成立，则称 函数在函数在a,b上是线性无关的，否则称线性相关。上是线性无关的，否则称线性相关。)(,),(),(10 xxxn0)()()()(221100 xaxaxaxann0210naaaa现在学习的是第26页，共34页)()()()(1100 xaxaxaxSnn)(,),(),(10 xxxn 设设 是是a,b上线性无关的连续函数上线性无关的连续函数a0,a1,an 是任意实数，则是任意实数，则,Span10n)(,),(),(10 xxxn并称并称 是生成集合的一个基底。是生成集合的一个基底。的全体是的全体是Ca,b的一个子集，记为的一个子集，记为现在学习的是第27页，共34页),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10111010100010nnnnnnnnnGG定理定理7.3 连续函数在连续函数在a,b上线性无关的充分必要条件是它们上线性无关的充分必要条件是它们 的克莱姆的克莱姆(Gram)行列式行列式Gn 0，其中，其中现在学习的是第28页，共34页2广义多项式广义多项式 设函数系设函数系 ，线性无关，线性无关，)(,),(),(10 xxxn)()(0 xaxSjujj则其有限项的线性组合则其有限项的线性组合称为广义多项式。称为广义多项式。现在学习的是第29页，共34页二、函数的最佳平方逼近二、函数的最佳平方逼近定义定义7.12 对于给定的函数对于给定的函数 ，若，若n次多项式次多项式,)(baCxfjnjjxaxS0*)(满足关系式满足关系式dxxSxfdxxSxfbaPxsban2)(2*)()(min)()(则称则称S*(x)为为f(x)在区间在区间a,b上的上的n次最佳平方逼近多项式。次最佳平方逼近多项式。现在学习的是第30页，共34页定义定义 7.13 对于给定的函数对于给定的函数,)(baCxf如果存在如果存在,)(10*nSpanxS使使 dxxsxfxdxxSxfxbaxSba2)(2*)()()(min)()()(则称则称S*(x)为为f(x)在区间在区间a,b上的上的最佳平方逼近函数。最佳平方逼近函数。现在学习的是第31页，共34页求最佳平方逼近函数求最佳平方逼近函数 的问题的问题可归结为求它的系数可归结为求它的系数 使多元函数使多元函数)()(0*xaxSjnjj*1*0,naaadxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),(取得极小值。取得极小值。I(a0,a1,，an)是关于是关于a0,a1,，an的二次函数，的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，利用多元函数取得极值的必要条件，现在学习的是第32页，共34页0kaI(k=0,1,2,n)0)()()()(20dxxxaxfxaIkjnjjbak得方程组得方程组),2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj最小二乘！最小二乘！现在学习的是第33页，共34页如采用函数内积记号如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk方程组可以简写为方程组可以简写为 ),2,1,0(),(),(0nkfakjjnjk现在学习的是第34页，共34页