平面与平面垂直讲稿.ppt

关于平面与平面垂直第一页，讲稿共四十二页哦1.1.在立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别引直分别引直线线a/a,b/b,我们把相交直线我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。或直角）叫做异面直线所成的角。2.2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这叫做这条直线和这个平面所成的角。条直线和这个平面所成的角。问题问题:异面直线所成的角、直线和平面异面直线所成的角、直线和平面 所成的角有什么共同的特征？所成的角有什么共同的特征？结论结论:它们的共同特征都是将三维空间的它们的共同特征都是将三维空间的 角转化为二维空间的角角转化为二维空间的角,即平面角。即平面角。两异面直线所成角的取值范围：两异面直线所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：(0o,90o 0o,90o 第二页，讲稿共四十二页哦空间两个平面有空间两个平面有平行、相交平行、相交两种位两种位置关系，对于两个平面平行，我们已置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识，我们应从理论上有进一步的认识.第三页，讲稿共四十二页哦 两个相交平面的相对位置是由这两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的两个平面所成的“角角”来确定的在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平来确定的在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度一定的角度.洪坝洪坝水平面水平面为此引入二面角的概念，研究两个平面所成的角为此引入二面角的概念，研究两个平面所成的角第四页，讲稿共四十二页哦1半平面的定义半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做分，其中的每一部分都叫做半平面半平面半半平平面面半半平平面面第五页，讲稿共四十二页哦2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做形叫做二面角，二面角，这条直线叫做二面角的棱，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做每个半平面叫做二面角的面二面角的面 棱为棱为l，两个面分两个面分别为别为、的二面角记的二面角记为为 -l-，l Q QP P或或P P-l-Q Q第六页，讲稿共四十二页哦AB 平卧式：平卧式：直立式：直立式：ABl lAB l3画二面角画二面角第七页，讲稿共四十二页哦-,.OlOAOBOAOBlOA OB 如如图图，在在二二面面角角的的棱棱上上以以点点，在在半半平平面面 和和 内内分分别别作作和和则则射射线线和和构构成成任任取取点点为为垂垂足足垂垂直直于于叫叫作作二二面面角角的的线线的的棱棱射射平平面面角角的的ABl4.二面角的平面角二面角的平面角O注意注意二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内第八页，讲稿共四十二页哦A AO OlB BA AB BO O二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量思考思考:A O B的大小与点的大小与点O在在 上的位置有关吗上的位置有关吗?lA O B？A1O1B1第九页，讲稿共四十二页哦平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角.当二面角的两个面合成一个平面时，规定为当二面角的两个面合成一个平面时，规定为180180o o,当二面角的两个面重合时，规定为当二面角的两个面重合时，规定为0 0o o.因此因此,二面角大小的范围为二面角大小的范围为0 0o o,180,180o o二面角的取值范围二面角的取值范围第十页，讲稿共四十二页哦 如图，点如图，点A在二面角在二面角-l-的半平面的半平面上一点，过上一点，过点点A如何确定二面角如何确定二面角-l-的平面角？的平面角？OBB lA lAO-“-“定义法定义法”由定义知：过由定义知：过A作作AO 交交于于O，在面，在面内作内作OB 则则为所求的角。为所求的角。lll二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：-“-“垂线法垂线法”过过A作作AB 交于交于B，再过，再过A作作AO 交于交于O,连结连结OB，则，则 AOB为为所求的角。所求的角。l第十一页，讲稿共四十二页哦 第三种画法第三种画法:点点P P在二面角的两个面外时在二面角的两个面外时,经过经过P P点分别作两个点分别作两个面的垂线面的垂线,这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角两条交线就组成了二面角的平面角垂面法垂面法二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：lAOBP第十二页，讲稿共四十二页哦B1C1D1A1ABCDMNCABS第十三页，讲稿共四十二页哦B1C1D1A1ABCDMN第十四页，讲稿共四十二页哦 练习练习1、已知正三棱、已知正三棱锥锥V-ABCV-ABC所有的棱长均所有的棱长均相等，找二面角相等，找二面角 A-A-VC-BVC-B的平面角的平面角。VABC第十五页，讲稿共四十二页哦 ABP M N C DO解解：在在AB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OCAB交交PM 于于C，在在 内作内作ODAB交交PN于于D，连结连结CD，可得：，可得：设设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a22又又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90 例例1.如图如图,已知已知P是二面角是二面角 棱上一点，棱上一点，过过P 分别在分别在、内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。求此二面角的度数。ABCOD是二面角是二面角 的平面角的平面角AB一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”例题分析例题分析第十六页，讲稿共四十二页哦AO lD 例例2、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。2 3解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD3AO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离，AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角 ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在R t AOD中，中，sinADO=2 3342.AOAD ,lOD ODAOO ODAOD AOAOD 平平面面，平平面面llAO lAODADAOD lAD 平平面面平平面面，第十七页，讲稿共四十二页哦1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2、证明找到或作出的角就是二面角的平面角、证明找到或作出的角就是二面角的平面角3、计算出此角的大小、计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”二面角的有关计算二面角的有关计算:步骤步骤:第十八页，讲稿共四十二页哦 练习：在正方体练习：在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求二面角中，求二面角B B1 1-AC-B-AC-B大小的正切值大小的正切值.A AA1A1B BC CD DB1B1C1C1D1D1O解：连结BD，交AC于点O，连结B1O。BD1是正方体BB1面BD BB1 AC又 AC BD AC 面 BB1O BOB是二面角的平面角。BB1O中OB=BB1.2221tanBOB第十九页，讲稿共四十二页哦第二十页，讲稿共四十二页哦第二十一页，讲稿共四十二页哦观察观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。成与水平平面的横边垂直。平面平面与与垂直，记垂直，记作：作：。第二十二页，讲稿共四十二页哦 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这角是直二面角，就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直.面面垂直的定义：面面垂直的定义：(2)(2)日常生活中平面与平面垂直的例子日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)(1)除了定义之外除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直如何判定两个平面互相垂直呢呢?aAb第二十三页，讲稿共四十二页哦 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？知道其中的理论根据吗？问题：问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第二十四页，讲稿共四十二页哦如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，那么这两个平面互相垂直.猜想：猜想：下面我们来验证这个定理下面我们来验证这个定理第二十五页，讲稿共四十二页哦证明：设证明：设=CD=CD，则，则BCDBCD，在平面在平面内过内过B B点作点作BECDBECD。ABCDABCD，ABBEABBE。ABE=90ABE=90。是二是二面角面角CDCD的平面角，的平面角，二面角二面角CD CD 是直二面角，即是直二面角，即。ABCDE已知：直线已知：直线 ABAB平面平面于于B B点，点，AB AB 平面平面，求证求证:第二十六页，讲稿共四十二页哦平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面垂直.aA简记：线面垂直简记：线面垂直，则面面垂直则面面垂直 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直aa面符号符号:第二十七页，讲稿共四十二页哦 例例1 如图如图,AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在所在的平面于的平面于A，C是圆是圆O上不同于上不同于A、B的任意一点，的任意一点，求证：平面求证：平面PAC平面平面PBCABCPO O 证明证明:由由AB是圆是圆O的直径的直径,可得可得ACBCPAABCBCABC平面平面BCPAC 平面PABCBCACPAACABCPBC 平面平面PAC平面PBC第二十八页，讲稿共四十二页哦2.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中 求证求证:111AACCABD面面证明证明:1AAABCD面ABCDBD面又1AABDBDAC1ACAAA且11BDAACC面1BDABD面111AACCABD面面ACBDA1C1B1D1第二十九页，讲稿共四十二页哦第三十页，讲稿共四十二页哦第三十一页，讲稿共四十二页哦第三十二页，讲稿共四十二页哦第三十三页，讲稿共四十二页哦第三十四页，讲稿共四十二页哦第三十五页，讲稿共四十二页哦第三十六页，讲稿共四十二页哦第三十七页，讲稿共四十二页哦第三十八页，讲稿共四十二页哦第三十九页，讲稿共四十二页哦如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC的三视图中，正的三视图中，正(主主)视和侧视和侧(左左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点形，点M M是是A A1 1B B1 1的中点的中点(1)(1)求证：求证：B B1 1CC平面平面ACAC1 1M M；(2)(2)求证：平面求证：平面ACAC1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.第四十页，讲稿共四十二页哦 (1)1)由三视图可知三棱柱由三视图可知三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC为直三棱柱，为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且底面是等腰直角三角形，且ACBACB9090.连结连结A A1 1C C，设，设A A1 1CACCAC1 1O O，连结，连结MOMO，由题意可知，由题意可知，A A1 1O OCOCO，A A1 1M MB B1 1M M，MOBMOB1 1C C，又又MOMO平面平面ACAC1 1M M，B B1 1C C 平面平面ACAC1 1M M，B B1 1CC平面平面ACAC1 1M.M.(2)A (2)A1 1C C1 1B B1 1C C1 1，M M为为A A1 1B B1 1的中点，的中点，C C1 1MAMA1 1B B1 1，又平面又平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B B，平面平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B BA A1 1B B1 1，C C1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B B，又又C C1 1M M平面平面ACAC1 1M M，平面平面ACAC1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.第四十一页，讲稿共四十二页哦感谢大家观看感谢大家观看第四十二页，讲稿共四十二页哦