高中数学新课程创新教学设计案例--两角和与差的余弦.docx

41 两角和与差的余弦 教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出，均为锐角时成立对于，为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的，角推广到任意角教学目标1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明任务分析这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性对于公式中的和角要强调其任意性数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习教学过程一、问题情景我们已经学过诱导公式，如可以这样来认识以上公式：把角转动，则所得角的正弦、余弦分别等于cos和sin把角转动，则所得角的正弦、余弦分别等于sin和cos由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角的终边转动（度或弧度），那么所得角的正弦、余弦如何用或的正弦、余弦来表示呢？出示一个实际问题：右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图吊桥长AB（m），A是支点，在河的左岸点C在河的右岸，地势比A点高AD表示水平线，DAC，为定值CAB，随吊桥的起降而变化在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？由图可知BEasin（）我们的问题是：如何用和的三角函数来表示sin（）如果为锐角，你能由，的正弦、余弦求出sin（）吗？引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用，的三角函数去表示±的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索的余弦与，的函数关系式更一般地说，对于任意角，能不能用，的三角函数值把或的三角函数值表示出来呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（）coscos（2）引导学生通过特例否定这一猜想例如，60°，30°，可以发现，左边cos（60°30°）cos30°，右边cos60°cos30°显然，对任意角，cos（）coscos不成立（3）再引导学生从道理上否定这一猜想不妨设，均为锐角，则，则cos（）cos又cos，所以cos（）coscos2. 分析讨论（1）如何把，角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？3. 教师明晰通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：设角的终边与单位圆的交点为P1，POP1，则POx过点P作PMx轴，垂足为M，那么，OM即为角的余弦线，这里要用表示，的正弦、余弦的线段来表示OM过点P作PAOP1，垂足为A，过点A作ABx轴，垂足为B，再过点P作PCAB，垂足为C，那么cosOA，sinAP，并且PACP1Ox，于是OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin4. 提出问题，组织学生讨论（1）当，为任意角时，上述推导过程还能成立吗？若要说明此结果是否对任意角，都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考事实上，根据诱导公式，总可以把，的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（）cos，把的余弦，化为锐角的余弦因此，三、解释应用例题1. 求cos15°及cos105°的值分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°cos（60°45°）2. 已知sin，（，），cos，且是第三象限的角，求cos（）的值分析：观察公式C与本题已知条件应先计算出cos，cos，再代入公式求值求cos，cos的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意，的取值范围来求解练习1. （1）求sin75°的值（2）求cos75°cos105°sin75°sin105°的值（3）化简cos（AB）cosBsin（AB）sinB（4）求cos215°sin215°的值分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可对于（2），逆向使用公式C-，即可将原式化为cos30°对于（3），可以把AB角看成一个整体，去替换C-中的角，用B角替换角2. （1）求证：cos（） sin（2）已知sin，且为第二象限角，求cos（）的值（3）已知sin（30°），60°150°，求cos分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，（30°）30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值3. 化简cos（36°）cos（54°）sin（36°）sin（54°）分析：这里可以把角36°与54°均看成单角，进而直接运用公式C-，不必将各式展开后再计算分析：本题是一道综合题，由于cos（）coscossinsin，欲求cos（）的值，只须将已知两式平方相加求出coscossinsin即可四、拓展延伸1. 由任意角三角函数定义，可知角，的终边与单位圆交点的坐标均可用，的三角函数表示，即角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式C-呢？教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则（cos，sin），（cos，sin）由向量数量积的概念，有·cos（）cos（）由向量的数量积的坐标表示，有·coscossinsin于是，有cos（）coscossinsin依据向量数量积的概念，角必须符合，即在此条件下，以上推导才是正确的由于，都是任意角，也是任意角，因此，须研究为任意角时，以上推导是否正确当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角，0，2），使coscos（）若0，则·coscos（）；若，2，则20，且·cos（2）coscos（）于是，对于任意角，都有2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用sin，sin，cos，cos来表示sin（）的问题，试探索与研究sin（）的表达式点评这篇案例设计完整，思路清晰案例首先通过问题情景阐述了两角和、差、三角函数公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中的三角函数线对，为锐角时给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念同时，例题与练习由浅入深，完整，全面总之，关注学生的已有基础，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立C±模型这种设计思路有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，体现了对传统的中国式数学教学精华的继承如果能在结束时再创设引导学生自我小结、反思的环节，可能会锦上添花