高中数学新课程创新教学设计案例--平面向量的基本定理.docx

38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点教学目标1. 了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础2. 通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力3. 通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一任务分析这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理教学设计一、问题情景1. 在ABCD中，（1）已知，试用，来表示，；（2）已知，试用，表示向量，.2. 给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e12e2，e12e23. 平面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示？二、建立模型1. 学生回答（1）由向量加法，知；由向量减法，知，0·（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知2. 师生总结以，为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量，估计任一向量都可以写成·的线性表达任意改成另两个不共线向量，作基本向量，也可表示其他向量3. 教师启发通过了e12e2，e12e2的作法，让学生感悟通过改变1，2的值，可以作出许多向量1e12e2在此基础上，可自然形成一个更理性的认识平面向量的基本定理4. 教师明晰如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量在平面内任取一点O，作e1，e2，；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N这时有且只有实数1，2，使1e1，2e2由于，所以1e12e2，也就是说任一向量都可表示成1e12e2的形式，从而有平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数1，2，使1e12e2我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（1，2）叫在基底e1，e2下的坐标三、解释应用例题1. 已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量2.5e13e2注：可按加法或减法运算进行2. 如图38-4，不共线，t（tR），用，表示解：练习1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量e12e22. 已知：不共线向量e1，e2，并且e13e21e12e2，求实数1，23. 已知：基底a，b，求实数，满足向量等式：3xa（10y）b（4y7）a2xb4. 在ABC中，点G是ABC的重心，试用，表示5. 已知：ABCDEF为正六边形，试用a，b表示向量6. 已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有.四、拓展延伸点评这篇案例由向量加、减、数乘运算过渡到平面向量的基本定理，引入比较自然，合理，使学生由感性认识上升为理性认识这种既重结果又重过程的教学理念符合新课程标准的精神同时，有关向量基本定理的应用的例、习题的设计也较有梯度和力度，强化了知识的应用，为提高学生的分析问题和解决问题的能力打下了一定的基础如果能把多媒体教学等信息技术用于向量的分解，那么会使问题更为直观，进而学生更易于接受