第四章 4.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教师word）--高二数学--学习笔记（人教A版选择性必修第二册） (1).docx

§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数导语同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40这就是我们今天要研究的数列一、数列的概念与分类问题1观察以下几列数：古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭这句话中隐藏着一列数：1，；从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，2 023；小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，；的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂依次排成一列数：，；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？提示共同点：都是按照确定的顺序进行排列的不同点：从项数上来看：项数有限，项数无限；从项的变化上来看：每一项在依次变大，每一项在依次变小，项没有发生变化，项呈现周期性的变化，项的大小交替变化知识梳理1一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示其中第1项也叫做首项2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，an，简记为an3.分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3)an表示一个数列，an表示数列中的第n项例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(4)，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，1,2，3,4，5，.解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外跟踪训练1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，；(3)1，；(4)，；(5)1,0，1，sin ，；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列二、数列的通项公式问题2我们发现问题1中的，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？提示对于，a17，a27×772，a37×7×773，于是an7n，n；对于，ann1，nN*；对于，an2 023，n；对于，ann，nN*.知识梳理如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，；(2)，2，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an，nN*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an，nN*.(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an由第(1)题也可以写成an(nN*)或an(nN*)(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN*.延伸探究1试写出前4项为1,11,111,1111，的一个通项公式解由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an(10n1)，nN*.2试写出前4项为7,77,777,7777，的一个通项公式解由上式中的每一项乘7即可，即an(10n1)，nN*.反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)n或(1)n1处理符号(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等跟踪训练2写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31，；(2)，；(3)，；(4)2×3,3×4,4×5,5×6，.解(1)由121,3221,7231,15241，31251，可得an2n1.(2)由，可得an.(3)由，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an(1)n×.(4)由2×3(11)×(12)，3×4(21)×(22)，4×5(31)×(32)，5×6(41)×(42)，可得an(n1)(n2)三、数列与函数的关系问题3在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式(2)数列还可以用列表法、图象法表示例3已知数列an的通项公式是an(n1)n，nN*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解方法一an1an(n2)n1(n1)n，当n<9时，an1an>0，即an1>an；当n9时，an1an0，即an1an；当n>9时，an1an<0，即an1<an.则a1<a2<a3<<a9a10且a10>a11>a12>，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010×9.方法二根据题意，令即解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a1010×9.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令anf(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项(2)不等式组法：先假设有最大(小)项不妨设an最大，则满足(n2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n2)求得n的取值范围，从而确定n的值跟踪训练3已知数列ann26n5，则该数列中最小项的序号是()A3 B4 C5 D6答案A解析因为an(n26n9)4(n3)24，所以当n3时，an取得最小值1知识清单：(1)数列的概念与分类(2)数列的通项公式(3)数列与函数的关系2方法归纳：观察法、归纳法、猜想法3常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系1下列说法正确的是()A数列中不能重复出现同一个数B1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C1,1,1,1不是数列D若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同答案D解析由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确2已知数列an的通项公式为an，nN*，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0 B0,1,0,1C.，0，0 D2,0,2,0答案A解析把n1,2,3,4依次代入通项公式，得a11，a20，a31，a40.3在数列an中，an，则an()A是常数列 B不是单调数列C是递增数列 D是递减数列答案D解析在数列an中，an1，由反比例函数的性质得an是递减数列4数列3,5,9,17,33，的一个通项公式是_答案an2n1，nN*课时对点练1(多选)下列说法正确的是()A数列可以用图象来表示B数列的通项公式不唯一C数列中的项不能相等D数列可以用一群孤立的点表示答案ABD解析数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确2已知数列ann，则数列是()A递增数列 B递减数列C摆动数列 D常数列答案C解析因为ann，所以该数列中的项为，故该数列是摆动数列3数列1,3，7,15，的一个通项公式可以是()Aan(1)n·(2n1)，nN*Ban(1)n·(2n1)，nN*Can(1)n1·(2n1)，nN*Dan(1)n1·(2n1)，nN*答案A解析数列各项正、负交替，故可用(1)n来调节，又1211,3221,7231,15241，所以通项公式为an(1)n·(2n1)，nN*.4数列，的第10项是()A. B. C. D.答案C解析由题意知数列的通项公式是an(nN*)，所以a10.5数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的通项公式为()Aan(10n1)，nN*Ban(10n1)，nN*Can，nN*Dan(10n1)，nN*答案C解析因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，的通项公式为1，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的每一项都是上面数列对应项的，所以an，nN*.6(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin ，sin ，sin ，sin ，C1，D1，答案CD解析选项C，D既是无穷数列又是递增数列7已知数列an的通项公式为an2 0213n，则使an>0成立的正整数n的最大值为_答案673解析由an2 0213n>0，得n<673，又因为nN*，所以正整数n的最大值为673.8数列an的通项公式是ann27n50，则数列中的最小项的值是_答案38解析数列an的通项公式ann27n502，因为nN*，所以当n3或n4时，an最小，此时a3a438，则数列中的最小项的值是38.9写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)，；(3)1，.解(1)各项是从4开始的偶数，所以an2n2，nN*.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an，nN*.(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(1)n.又第1项可改写成分数，则每一项的分母依次为3,5,7,9，可写成(2n1)的形式分子为31×3,82×4,153×5,244×6，可写成n(n2)的形式所以此数列的一个通项公式为an(1)n·，nN*.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 021.解(1)设anknb(k0)，则有解得an4n2，nN*.(2)a2 0214×2 02128 082.11设an(nN*)，则a2等于()A. B.C. D.答案C解析an(nN*)，a2.12若数列an的通项公式为an，则这个数列中的最大项是()A第12项 B第13项C第14项 D第15项答案C解析an，因为 n228，当且仅当n14时，n有最小值28，所以当n14时，取得最大值.13设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B.C(1,3) D(2,3)答案D解析结合函数的单调性，要使数列an递增，则应有解得2<a<3.14某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)_.答案61解析f(1)12×1×01，f(2)1312×2×11，f(3)135312×3×21，f(4)13575312×4×31，故f(n)2n(n1)1.当n6时，f(6)2×6×5161.15如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为()Aann，nN* Ban，nN*Can，nN* Dann2，nN*答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an，.16在数列an中，an.(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？(1)证明因为an1(nN*)，所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内(2)解令<<，则<n2<2，nN*，解得n1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1.学科网（北京）股份有限公司