高考卷 08届 普通高等学校招生全国统一考试数学（辽宁卷·理科）（附答案完全word版）.doc
2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷1至2页，第卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体和只公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 V= 其中R表示球的半径一、选择题1.已知集合,则集合为( ) A. B. C. D.2.等于( ) A. B. C. D.3.圆与直线没有公共点的充要条件是( ) A. B.C. D.4.复数的虚部是( ) A. B. C. D.5.已知是平面上的三个点,直线上有一点,满足,则等于( ) A. B. C. D.6.设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是( ) A. B. C. D.7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D.8.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则等于( ) A. B. C. D.9.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种10.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D.11.在正方体中,分别为棱的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条12.设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为( ) A. B. C. D.第卷（选择题共60分）二、填空题13.函数的反函数是_.14.在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为_.15.已知的展开式中没有常数项,则_.16.已知,且在区间有最小值,无最大值,则_.三、解答题17.在中,内角对边的边长分别是.已知.若的面积等于,求;若,求的面积.18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量234频数205030根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.ABCDPQEFGH19.如图,在棱长为1的正方体中,截面,截面.证明:平面和平面互相垂直;证明:截面和截面面积之和是定值,并求出这个值;若与平面所成的角为,求与平面所成角的正弦值.20.在直角坐标系中,点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为,直线与交于两点.写出的方程;若,求的值;若点在第一象限,证明:当时,恒有.21.在数列中,且成等差数列,成等比数列.求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;证明:.22.设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、 解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解决供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、 答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）C（8）A（9）B（10）A（11）D（12）C(18)本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。解：（）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. 3分（）的可能值为8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04,P（=10）=20.20.5=0.2,P（=12）=0.52+20.20.3=0.37,P（=14）=20.50.3=0.3,P（=16）=0.32=0.09.的分布列为810121416P0.040.20.370.30.099分F=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4千元） 12分（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。解法一：（I）证明：在正方体中，ADAD,ADAB,又由已知可得PFAD，PHAD,PQAB,所以 PHPF,PHPQ,所以 PH平面PQEF.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直， 4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是，是定值. 8分（III）解：连结BC交EQ于点M.因为PHAD,PQAB,所以平面ABCD和平面PQGH互相平行，因此DE与平面PQGH所成角与DE与平面ABCD所成角相等.与（I）同理可证EQ平面PQGH，可知EM平面ABCD，因此EM与DE的比值就是所求的正弦值.设AD交PF于点N，连结EN，由FD=l-b知因为AD平面PQEF，又已知DE与平面PQEF成角，所以DE=即，解得,可知E为BC中点.所以EM=，又DE=，故DE与平面PQCH所成角的正弦值为.解法二：以D为原点，射线DA、DC，DD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，故A（1，0，0），A（1，0，1），D（0，0，0），D（0，0，1），P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0),F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).（I）证明：在所建立的坐标系中，可得因为是平面PQEF的法向量.因为是平面PQGH的法向量.因为，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 4分（II）证明：因为，所以，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得所以，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和为，是定值. 8分（III）解：由已知得角,又可得 ，即所以DE与平面PQGH所成角的正弦值为 12分（20）本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分. 解： （）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴 故曲线C的方程为 3分 （）设，其坐标满足 消去y并整理得 3.0， 故 5分 若即 面 化简得所以 8分 （） 因为A在第一象限，故x10.由知从而又 故 即在题设条件下，恒有 12分（21）本小题主要考查等差数列，等比数例，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解： （）由条件得由此可得 2分猜测 4分用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.假设当n=k时，结论成立，即那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. 7分（）n2时，由（）知 9分故 综上，原不等式成立. 12分
