大学课件 高等数学下册 9-6.PPT

第九章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式和斯托克斯公式,一、高 斯 公 式,证明,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式的应用,解,(利用柱面坐标得),使用Guass公式时应注意:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,解:,作取下侧的辅助面,于是,二、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,另一种形式,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,斯托克斯(stokes)公式的应用,解,按斯托克斯公式, 有,例6 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向.,解,记以 L 为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则,确定，于是有,空间曲线积分与路径无关的条件,定理22.5,设 是空间单连通区域, 函数 P, Q, R,在上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对 内任一按段光滑闭曲线 L, 有,(2) 对 内任一按段光滑曲线 L,与路径无关,(4) 在 内处处有,(3) 在 内存在某一函数 u, 使,与路径无关, 并求函数,解 令, 积分与路径无关,因此,例7 验证曲线积分,内容小结,1. 高斯公式,2. 斯托克斯公式,