大学课件 高等数学下册 第七章_多元函数微分学(二).ppt

1,第七章 多元函数微分学(二),典型例题,主要内容,堂上练习题,小结,2,一、主要内容,第4节 多元复合函数的求导法则,一、复合函数的求导法则(链导法则),则复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,具有连续偏导数,定理:,3,注意:,1. (*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2. (*)式两边都在点,取值.,4,?,项数,问:,每一项,?,中间变量,函数对中间变量的偏导数,该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).,的个数.,函数对某自变量的偏导数之结构,分量原则,5,网络图,6,二. 介绍”网络图”,全导数,全导数,7,8,引入记号:,设,记,9,三、全微分形式不变性,具有连续偏导数,则有,全微分,则有全微分,全微分形式不变性的实质,10,第5节 隐函数求导法,一、一个方程的情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,11,隐函数存在定理1,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),(3),恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边关于x求导,由全导数公式,得,12,或简写:,于是得,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,13,如,方程,记,(1),的邻域内连续;,所以方程在点,附近确定一个有连续导数、,且,隐函数存在定理1,的隐函数,则,(2),(3),14,注意:,1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出.,2. 定理的结论是局部的.,3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解:,4. 定理的条件只是充分条件. 如:,5. 注意哪个是隐函数,哪个是自变量.,求高阶导时,利用复合函数的求导方法.,15,则方程,内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的,并有,具有连续偏导数;,若三元函数,的某邻域内,函数,它满足条件,在点,在点,2.,由三元方程,确定二元隐函数,隐函数存在定理2,的某一邻域,(1),(2),(3),满足:,16,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得,是方程,所确定的隐,设,函数,则,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,17,二、方程组的情形(隐函数组),下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的,确定两个二元函数,求,故由方程组,求导方法.,18,将恒等式,两边关于x求偏导,解这个以,为未知量的线性方程组,由链导法则得:,求,19,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851,20,同理,两边关于y求偏导,得,求,21,第6节 方向导数与梯度,一、方向导数,1. 方向导数的定义,设有二元函数,沿任何方向的变化率,考虑函数在某点,射线是指有方向的半直线,即,22,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数,在点,记为,即,方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,23,2. 方向导数的几何意义,的几何意义为曲面,当限制,对应的空间点,形成过,的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条,记此半切线与方向,的夹角为,则由方向导数的,半切线,定义得,24,一定为正!,是函数在某点沿任何方向的变化率.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线,x、y可正可负！,的变化率.,结论：,25,证,由于函数可微,得到,3. 关于方向导数的存在及计算公式,充分条件,定理,可微,则函数,且,则增量可表示为,两边同除以,26,故有方向导数,27,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,(3),(4) 关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,28,可微,如，,结论,29,连续。,结论,如,30,推广可得三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,可定义为,同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点,沿任意方向l的方向导数都存在,且有,31,问题,?,二、梯度概念与计算,已知方向导数公式,方向：,模：,方向一致时,方向导数取最大值,f 变化率最大的方向,f的最大变化率之值,函数,沿什么方向的方向导数为最大,(gradient),32,定义,记作,读作nable.,即,为函数,称向量,梯度(gradient),称为,或,算子,或向量微分算子.,引入算符,哈米尔顿算子,设函数,可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成,33,结论,x轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的,而它的模,为方向导数的最大值.,梯度的模为,34,在几何上,曲面被平面,所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线,等值线,梯度为等值线上的法向量,表示一个曲面,所截得,如图:,35,法线的斜率为:,为等值线上点P处的法向量.,所以梯度,事实上,由于等值线,上任一点,等值线,36,类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,三元函数,在空间区域G内,则对于每一点,都可定义一个向量(梯度),具有一阶连续偏导数,37,类似地,设曲面,为函数,此函数在点,的梯度的方向与过点P的等量面,在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.,且从数值较低,而梯度的模,38,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,1. 空间曲线的方程为参数方程,一、空间曲线的切线与法平面,第7节 偏导数的几何应用,39,考察割线趋近于极限位置,上式分母同除以,割线 的方程为,切线的过程,40,曲线在M处的切线方程,切向量,法平面,切线的方向向量称为曲线的切向量.,过M点且与切线垂直的平面.,41,设曲线直角坐标方程为,法平面方程为,2. 空间曲线的方程为,曲线的参数方程是,由前面得到的结果,在M(x0, y0, z0)处,令,切线方程为,x为参数,两个柱面,的交线,42,设空间曲线方程为,3.空间曲线的方程为,确定了隐函数,(此曲线方程仍可用方程组,两边分别对,表示.),x求全导数:,两个曲面,的交线,43,利用2.结果,两边分别对,x求全导数,44,法平面方程为,切线方程为,在点 M(x0, y0, z0)处的,45,今在曲面上任取一条,1. 设曲面的方程为,的情形,隐式方程,二、曲面的切平面与法线,函数,的偏导数在该点连续且不同 时为零.,点M 对应于参数,不全为零.,过点M 的曲线,设其参数,方程为,46,由于曲线在曲面上,所以,在恒等式两端对t 求全导数,并令,则得,若记向量,曲线在点M处切线的方向向量记为,则式可改写成,即向量,垂直.,47,因为曲线是曲面上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量,垂直,因此这些切线必共面,称为曲面在点M的,过点M且垂直于切,法线,又是法线的方向向量.,向量,称为曲,法向量.,切平面,由切线形成的这一,平面,平面的直线称为曲面在,点M的,面在点M的,48,曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:,切平面方程为,法线方程为,所以曲面上在点M的,49,2. 曲面方程形为 的情形,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,或,显式方程,50,因为曲面在M处的切平面方程:,全微分的几何意义,表示,切平面上的点的竖坐标的增量.,切平面上点的竖坐标的增量,51,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与,z 轴的正向所成的角,是锐角,则法向量的,方向余弦为,52,一、多元函数的极值和最值,1.极大值和极小值的定义,一元函数的极值的定义:,是在一点附近,将函数值比大小.,定义,点P0为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,?,设在点P0的某个邻域,为极大值.,则称,第8节 多元函数的极值,53,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,内的值比较.,是与P0的邻域,极小值可能比极大值还大.,54,例,例,例,函数 存在极值,在(0,0)点取极小值.,在(0,0)点取极大值.,(也是最大值).,在(0,0)点无极值.,?,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,在简单的情形下是,容易判断的.,函数,函数,(也是最小值).,函数,55,2.极值的必要条件,证,定理1,(必要条件),则它在该,点的偏导数必然为零:,有极大值,不妨设,都有,说明一元函数,有极大值,必有,类似地可证,56,推广,如果三元函数,具有偏导数,则它在,有极值的必要条件,为,均称为函数的,驻点,极值点(对于可导函数而言),仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的,点,驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点,如,驻点,但不是极值点.,?,57,3.极值的充分条件,定理2,(充分条件),的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,58,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,59,取得.,然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:,函数,不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处,但也可能是极值点.,在点(0,0)处的偏导数,60,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,4.多元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有可能极值点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,61,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,并无,条件极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,62,解,例5,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,63,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,要受到条件,的限制,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:,下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法,64,拉格朗日乘数法:,现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,如函数(1)在,由条件,(1),(2),极值的必要条件.,取得所求的极值,那末首先有,(3),确定y是x的隐函数,不必将它真的解出来,则,于是函数(1),即,取得所,取得极值.,求的极值.,65,其中,代入(4)得:,由一元可导函数取得极值的必要条件知:,(4),取得极值.,在,(3) ,(5)两式,取得极值的必要条件.,就是函数(1)在条件(2)下的,66,设,上述必要条件变为:,(6)中的前两式的左边正是函数:,(6),的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.,67,拉格朗日乘数法:,极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,先构造函数,为某一常数,其中,可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,68,如何确定所求得的点,实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广:,判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,?,69,推广:,求函数,在条件,下的极值的步骤:,(1) 作辅助函数,(2) 解方程组,得到可能极值点.,70,二、典型例题,例1. 设,求,例2. 设,求,71,例3. 已知f(t)可微,证明 满足方程,提示,t, y 为中间变量, x, y 为自变量.,引入中间变量,则,72,引入记号:,设,记,例4. 设,有连续偏导,求,73,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,74,例5. 设,具有二阶连续偏导数,试求,在新坐标系,下的相应表达式.,75,例6. 设,求,76,例7. 求由,确定的隐函数,的一阶偏导.,例8. 设方程,确定了隐函数,其中,f有连续偏导.,证明:,77,8. 设,是由方程组,确定的函数,其中f,g均连续可微,且,求,78,例9.,证明: 函数,沿任意方向的方向导数都存在,但偏导不存在.,79,例10.,设点,求函数,的方向导数.,80,例11 设函数,(1) 求出,沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率.,(2),最大增长率为多少?,解,(1),81,沿什么方向具有最大的增长率,(2),最大增长率为多少?,解,方向具有最大的增长率,最大的增长率为:,即为梯度方向.,82,解,切线方程,法平面方程,例12,即,83,13. 设曲线,证,因原点,即,于是,证明此曲线必在以原点为,的法平面都过原点,在任一点,中心的某球面上.,曲线过该点的法平面方程为,故有,在法平面上,任取曲线上一点,84,例14. 证明曲面,上任意一点处的切平面都与直线,平行,其中f具有连续偏导数,且,为常数.,85,例15,其中 有连续导数.,例16,求函数,在此点的外法线方向的方向导数.,86,解,令,练习,得到的旋转面在点,处的指向外侧的,单位法向量为( ).,旋转面方程为,87,例17 证明函数,有无穷多个极大值点,但无极小值点.,例18. 求函数,的极值点.,提示:,88,例19. 求函数,在圆域,上的最大值,最小值.,89,例20. 在半径为R的半球内求一个体积为 最大的内接长方体.,对于实际问题:,若函数,一定能取得最大(小)值,而函数在D内可微分且只有一个驻点,则,此驻点就是最大(小)值点.,90,例21. 抛物面,被平面,截成一个椭圆,求原点到此椭圆的最长与最短距离.,例22. 求抛物线,与直线,之间的最短距离.,91,解,为椭球面上的一点,令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,思考,切平面,四面体体积最小,求切点坐标.,92,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积,约束条件,在条件,下求V 的最小值,93,约束条件,令,由,目标函数,94,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,95,三、堂上练习,1. 设,其中,有连续的二阶偏导,求,2. 设,均可导,求,3. 若,其中,二次可微.,证明:,96,4. 设,求,5. 设,6. 设,其中,有二阶连续偏导,求,7. 设,其中,可导,求,有二阶连续偏导,97,多元复合函数,掌握其一阶,二阶偏导的求法,全微分形式的不变形,会利用它求复合函数的偏导数,四、小结,隐函数的求导法,高阶偏导,掌握其求法,掌握其求法,98,二阶偏导,掌握其求法,方向导数和梯度,空间曲线的切线与法平面,理解其概念并掌握其计算方法,了解概念,会求方程,曲面的切平面与法线,了解概念,会求方程,多元函数的极值和条件极值,理解概念,掌握存在的必要条件,了解充分条件,会求极值与条件极值,多元函数的最大值,最小值及其简单应用,会求最值并会解决简单应用问题,