抽象代数练习题(3页).doc

-抽象代数练习题-第 页抽象代数练习题一设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.则集合的并是上的一个代数运算.证明:是一个半群.（10分）二令.证明关于矩阵的乘法构成一个半群.（10分）-三设是一个群,证明:,.（10分）四设是一个群,证明:是交换群的充要条件是,.（10分）五求证:循环群的商群也是循环群. （10分）六.设是群,和是的子群,(1)证明:是的子群.(2)假设是的正规子群,证明:是的子群.(3)假设和都是的正规子群,证明:是的正规子群.（20分）七设是群的子群,是的共轭子群,证明:与同构.（10分）八设是群到群的满同态,是的正规子群,证明:.（20分）参考答案：一证明 众所周知,对于任意的,总有这就是说,上的代数运算适合结合律,所以是一个半群.二证明 众所周知,对于任意的,总有这就是说,矩阵的乘法是上的一个代数运算,并且适合结合律,所以关于矩阵的乘法构成一个半群.三证明 对于任意的,我们有所以四证明 必要性是显然的.现在假设满足该条件.于是,对于任意的,我们有,即.运用消去律(第5题)立即可得.所以是交换群.五证明 设是循环群,是的子群.于是,我们有这就表明,是循环群.六证明 (1)假设是的子群.于是,对于任意的,我们有存在和,使得存在和, 所以.假设.为了证明是的子群,任意给定.于是,存在和,使得,.因此由于,因此存在和,使得,从而,这样一来,由于的任意性,我们断言:是的子群.(2)由于是的正规子群,我们有这样,根据(1),是的子群.(3)根据(2),是的子群.此外,还有所以是的正规子群.七证明：定义到的映射如下:直接从的定义可以明白,是满射.利用消去律容易推知,是单射.因此是双射.其次,对于任意的总有所以是群到群的同构,从而,.八证明：由于是的正规子群,根据定理6.7,是的正规子群.现在定义到的映射如下:由是群到群的满同态可知是到的满射.其次,注意到是的正规子群,对于任意的,有所以是到的满同态.最后,对于任意的,我们有因此.这样一来,根据群的同态基本定理,.