大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用.doc

导数、微分及其应用训练一、 （15分）证明：多项式无实零点。证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为 由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。二、 （20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得 证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得 再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得 由此可得 三、 （20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有 证明：当时，。证明：因为，设，则有 因此当时， 当时，。四、 （15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。证明：考虑球面坐标，其中，则有，因为所以仅为的函数。五、 （15分）设在点处可导，且。证明： 证明：因为在点处可导，所以 又因为，所以，由此可得 六、 (15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。证明：对任给的有。证明：任取数，构造函数 因为，并且只有，所以任取正数，则有 利用拉格拉日中值定理，存在使得， 所以有 又因为，所以 当时有， 由的任意性可得对任给的有。（第4页（共4页）