北京大学数学分析考研试题及解答(9页).doc

-北京大学数学分析考研试题及解答-第 9 页判断无穷积分的收敛性。解 根据不等式，得到 ， ； 从而 绝对收敛，因而收敛，再根据是条件收敛的，由，可知积分收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设，是的实根，求证：，且。证明 （1）任意，当时，有；当且充分大时，有，所以的根存在，又，严格递增，所以根唯一，。（2） 任意，所以的根，（）。因为若时，的根，不趋向于。则存在，使得中含有的一个无穷子列，从而存在收敛子列，（为某有限数）；，矛盾。例、 设，讨论级数的收敛性。解 显然当时，级数发散；由 ，得，（充分小），于是，（充分大）（1） 当时，收敛，收敛，收敛，绝对收敛；（2） 当时，收敛，收敛，于是收敛，从而收敛，收敛，而发散，由，得发散，所以发散，故此时条件收敛。（3） 当时，发散，而收敛，此时发散。 北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。命题：若在上连续，且，那么必然存在一点，满足。采用反正法，若对于任意点，有，那么显然对于任意，仍然有。 由于的连续性，我们对于任意一点，可以找到一个邻域，使得在中保号，那么区间被以上形式的，开区间族所覆盖，由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间就能覆盖闭区间，再由覆盖定理的加强形式可得，存在，满足当，时，存在中的某个开集同时覆盖。那么我们就证明了当时，有同号； 现取正整数，满足，令，那么我们有，与同号，从而证明了与同号，即与同号，这与题目中的矛盾，证明完毕。2、 设在有限区间内一致连续，证明：也在内一致连续。证明 首先证明都在上有界，因为在有限区间内一致连续，从而存在，满足当此，时，有现取正整数，满足，令，；对任意，存在，使得即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面证明，若在区间上有界，且都一致连续，则在区间上一致连续。 设，满足，;那么由得一致连续性得到，对于任意，存在，使得当，时，有从而即得在上一致连续。3、 已知在上有四阶导数，且有，证明：存在，使得。证明 不妨设（这是因为否则可以考虑，而的三、四阶导数与的相同）。从而我们要证明存在，使得。下面分两种情形来证明之，（1），当，由带Peano余项的Taylor展开式，我们得到那么在足够小的邻域内有，取，满足，不妨设，由于，那么存在，使得，从而取，；当时，同理可得；（2），那么有，可以同样Taylor展开，做法与（1）相同，证毕。4 、构造一个函数在上无穷次可微，且，并说明满足条件的函数有任意多个。解 构造函数项级数显然此幂级数的收敛半径为，从而可以定义函数：容易验证此函数满足：，考虑到函数，由我们熟知的结论知，在上无穷次可微，且，对任意在上无穷次可微的函数，从而也满足题目要求条件，结论得证。5 、设，是上的连续函数，证明满足的点有无穷多个。证明 设 ，那么我们有，下面分两种情况讨论：（1） 若或有一个成立时，当，我们有，从而有，从而为常数，此时结论显然成立；当时，我们有，从而为常数，此时结论显然成立；（2）我们可以选取无穷多条连接和的不相交的连续曲线显然连续，由连续函数的介值定理，存在，使得即，结论得证。6 、求，其中是，方向向上。解法1 设，解法2 记，利用高斯公式，得7、 设是上的连续函数，试作一无界区域,使在上的广义积分收敛。解 首先取，使得，满足再选取，使得，满足依次选取，使得，满足取，是一个无界区域，可以验证在上的广义积分收敛。8、 设，讨论不同的对在上积分的敛散性。解 显然在时，发散，下面只对时讨论。由，当时，收敛，时，发散，当时，发散； 时，收敛；当时，收敛；所以（1）当时，由，得绝对收敛；（2） 当时，（充分大）， 收敛，由于发散，此时，发散，于是发散，而，收敛，收敛；故当时，条件收敛；（3）时，（充分大）；由于发散，于是发散，而收敛，故此时发散。9、 记，是否存在以及函数在上可导，且，。解 设知级数在内是收敛的，从而在内有定义；显然；由于，都在，（为任意大于0的常数）内都是一致收敛的。所以，从而在的某个邻域上偏导数都存在，且是连续的，又有，到这里我们已经验证了隐函数定理的三条件：（1），为刚刚解答中的某个邻域，（2），（3），从而根据隐函数定理可知存在这样的满足题目中的条件，结论得证。事实上，显然，是方程的唯一解。10 、设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是。证明 在这里我们只证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）。记为的傅里叶系数；为的傅里叶系数，先证充分性：设，那么显然从而，同理；再证必要性：若的傅里叶展开式有相同的系数，从而得傅里叶系数都为0，因为在上黎曼可积，从而，在上黎曼可积。由等式，我们得到，而又由不等式得到从而，这就证明了必要性。