北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案(6页).docx

-北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案-第 6 页课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析（上）期末试题(A卷)座号 _ 班级_ 学号_ 姓名_(试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)题号 一二三四五六七八九十 总分 得分签名一、填空（每小题4分，共20分）1若 ，则 . 2已知 则 . 3. . 4 . . 5. 设，则 .二、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限 2. 设，求.3. 计算.4.求的通解.三、（8分）已知，试确定常数和的值.四、（6分）已知证明: 数列极限存在；并求此极限.五、（8分）求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.六、（8分）设曲线，围成一平面图形.(1) 求平面图形的面积；(2) 求平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.七、（8分）设一长为的均匀细杆，线密度为,在杆的一端的延长线上有一质量为的质点，质点与该端的距离为.（1）求细杆与质点间的引力； （2）分别求如果将质点由距离杆端处移到处()与无穷远处时克服引力所做的功.八、（8分）设在上具有三阶连续导数，且证明在开区间内至少存在一点，使.九、（8分）设, 其中连续，求的表达式. 十、（6分）已知在闭区间上连续，在开区间内可导，且 证明：存在，使成立.北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析（上）期末试题(A卷)标准答案及评分标准 2018年1月12日一、填空（每小题4分，共20分）123. 4 . 5. 二、计算题（每小题5分，共20分）1. 解： . 2分 . 4分 . 5分注：此题也可以用泰勒公式。2. 解： . 2分 . 4分 因此，. . 5分3.解： 原式 . 2分 . 5分4. 解: 令，则 . 2分 代入原方程，得： 分离变量法得： . 4分 将代入上式， 得通解为：. . 5分 三、解: 由条件知： 得 . 4分 . 6分 . 8分四、解: . 2分 所以数列单调递减有下界， 存在. . 4分 设则有得 （舍去） 所以， . 6分五、解:定义域 ，； ，. . 2分列表： - -+ 不存在- -+ + 拐点极小值 间断点 , 有水平渐近线： , 有垂直渐近线： . 8分六、解：（1）画草图，解交点 .2分 .4分（2） .6分 .8分七、解: 建立坐标系, 使细杆位于区间上, 质点位于处. (1) .2分 .4分(2) 当质点向右移至距杆端处时，细杆与质点间的引力为 将质点由处移到处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作和. .6分 积分得 .8分八、解：由麦克劳林公式, .2分其中在与之间，从而 两式相减，得 .5分 在上连续，所以在上必有最小值和最大值 从而 .7分 由介值定理，至少存在一点 使得 .8分九、解： 上式两端对求导，得： .2分 再对求导得：， 则满足初值问题： .4分 对应齐次方程的通解为： 设非齐次方程的特解为：, 代入原方程，得： 解得： .6分通解为：由初始条件，得：所以 .8分十、证明: 构造辅助函数 . 2分有 在上连续,由零点定理可知,至少存在一点 使得 . 4分 又因为在上连续,在内可导,且由罗尔定理可知,存在 使，即 . 6分