高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（江西卷.文）含详解.doc

2006高等学校全国统一数学文试题（江西卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则等于（）2函数的最小正周期为（）3在各项均不为零的等差数列中，若，则（）4下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（），为双曲线，5对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）6若不等式对一切成立，则的最小值为（）7在的二项展开式中，若常数项为，则等于（）8袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）9如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上10已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（）10010120020111为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）44812162024图（1）4481620241216448122416201612某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（）44816202412164481224162016第II卷二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分请把答案填在答题卡上13已知向量，则的最大值为14设的反函数为，若，则15如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为16已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题（）的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围18（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率19（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值20（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小21（本小题满分12分）OPAFBDxy如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，设轨迹的最高点和最低点分别为和当为何值时，为一个正三角形？22（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列，满足：，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求，并确定最小正整数，使为整数2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学（编辑：ahuazi）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么如果时间A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则等于（C）解：Px|x1或x0，Qx|x>1故选C2函数的最小正周期为（B）解：T，故选B3在各项均不为零的等差数列中，若，则（A）解：设公差为d，则an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故选A4下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（D），为双曲线，解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充要条件；C. p是q的充分条件，不是必要条件；D.正确5对于上可导的任意函数，若满足，则必有（C）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x<1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C6若不等式对一切成立，则的最小值为（C）解：设f（x）x2ax1，则对称轴为x若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）1>0恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C7在的二项展开式中，若常数项为，则等于（B）解：，由解得n6故选B8袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（A）解：依题意，各层次数量之比为4:3:2:1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A9如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（B）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B10已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（A）100101200201解：依题意，a1a2001，故选A11为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（D）解：设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故选B44812162024图（1）4481620241216448122416201612某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（D）44816202412164481224162016解：结合图象及函数的意义可得。第II卷二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分请把答案填在答题卡上13已知向量，则的最大值为解：|sinqcosq|sin（q）|14设的反函数为，若，则2解：f1（x）3x6故f1（m）6f1（x）63m3n3m n27mn3f（mn）log3（36）215如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为10解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。16已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题（）的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆必通过点其中真命题的代号是（A）、（D）（写出所有真命题的代号）解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，）递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）<c2（x1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c解得c<1或c>218（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率解：（1）P1（2）法一：P2法二：P2法三：P2119（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则（2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 20（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小解：（1）取BC的中点D，连AD、OD因为OBOC，则ODBC、ADBC，BC面OAD.过O点作OHAD于H，则OH面ABC，OH的长就是所求的距离. 又BC2，OD，又OAOB，OAOC OA面OBC，则OAODAD，在直角三角形OAD中，有OH（另解：由等体积变换法也可求得答案）（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM/AC,BEM是异面直线BE与AC所成的角，易求得EM，BE，BM.由余弦定理可求得cosBEM，BEMarccos（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.由OC面OAB，得OCAB，又OH面ABC，所以CFAB，EFAB，则EFC就是所求的二面角的平面角.作EGCF于G，则EGOH，在RtOAB中，OF在RtOEF中，EFsinEFGEFGarcsin.（或表示为arccos）注：此题也可用空间向量的方法求解。21（本小题满分12分）OPAFBDxy如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，设轨迹的最高点和最低点分别为和当为何值时，为一个正三角形？解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为轨迹H的方程可化为：M（，），N（ ，），F（c，0），使MNF为一个正三角形时，则tan，即a23b2. 由于，则1cosqsinq3 sinq，得qarctan22（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列，满足：，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求，并确定最小正整数，使为整数解：（1）条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以1因an>0，由1式解出an2（2）由1式有SnTn为使SnTn为整数，当且仅当为整数.当n1,2时，显然SnTn不为整数，当n3时， 只需为整数，因为3n1与3互质，所以为9的整数倍.当n9时，13为整数，故n的最小值为9.