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-数学归纳法-第 5 页数学归纳法及其应用举例单元练习（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于A. 1 B.2 C.3 D.02.等式12+22+32+n2=A.n为任何自然数时都成立；B.仅当n=1，2，3时成立C.n=4时成立，n=5时不成立；D.仅当n=4时不成立3.用数学归纳法证明不等式+（n2,nN*)的过程中，由n=k逆推到n=k+1时的不等式左边A. 增加了1项；B.增加了“”，又减少了“”C.增加了2项 D.增加了，减少了4.用数学归纳法证明（n+1)(n+2)(n+n)=2n·1·3·5·（2n1)(nN*)时，假设n=k时成立，若证n=k+1时也成立，两边同乘A.2k+1B.C.D.5.证明1+ (nN*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是A. 1项B.k1项C.k项D.2k项6.上一个n级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f(n),则下列猜想中正确的是A.f(n)=nB.f(n)=f(n1)+f(n2)C.f(n)=f(n1)·f(n2)D.f(n)=二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.凸n边形内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_.8.观察下列式子：1+,1+,1+,则可归纳出：_.9.设f(n)=（1+,用数学归纳法证明f(n)3.在“假设n=k时成立”后，f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·_.10.有以下四个命题：（1）2n2n+1(n3) (2)2+4+6+2n=n2+n+2(n1) (3)凸n边形内角和为f(n)=(n1)(n3) (4)凸n边形对角线条数f(n)= (n4)其中满足“假设n=k(kN,kn0).时命题成立，则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是_.11.用数学归纳法证明（a,b是非负实数，nN*)时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是_.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知an=nN*求证：an1.13.平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2n+2个区域.14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k1x)2k1(kN*)的正整数x的个数.（1）求f(k)的解析式；（2）记Sn=f(1)+f(2)+f(n),Pn=n2+n1（nN*）试比较Sn与Pn的大小.参考答案：一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180°8.1+9.(1+ 10.(2)（3） 11.两边同乘以三、12.证明：(1)当n=1时，a1=1，不等式成立.（2）假设n=k(k1)时，不等式成立，即ak=1亦即1+22+33+kk(k+1)k当n=k+1时ak+1=()k1.n=k+1时，不等式也成立.由（1）、（2）知,对一切nN*，不等式都成立.13.证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而121+2=2，命题成立.（2）假设n=k(k1)时，命题成立，即k个圆把平面分成k2k+2个区域.当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2个区域.n=k+1时，命题也成立.由（1）、（2）知，对任意的nN*,命题都成立.14.解：（1）log2x+log2(3·2k1x)2k1,解得2k1x2k, f(k)=2k2k1+1=2k1+1(2)Sn=f(1)+f(2)+f(n)=1+2+22+2n1+n=2n+n1SnPn=2nn2n=1时,S1P1=21=10;n=2时，S2P2=44=0n=3时，S3P3=89=10;n=4时，S4P4=1616=0n=5时，S5P5=3225=70;n=6时，S6P6=6436=280猜想，当n5时，SnPn0当n=5时，由上可知SnPn0假设n=k(k5)时，SkPk0当n=k+1时,Sk+1Pk+1=2k+1(k+1）2=2·2kk22k12(2kk2)+k22k1=2(SkPk)+k22k1k22k1=k(k2)15(52)1=140当n=k+1时，Sk+1Pk+10成立由、可知，对n5，nN*，SnPn0成立即SnPn成立由上分析可知，当n=1或n5时，SnPn当n=2或n=4时，Sn=Pn当n=3时，SnPn.
