2022年2022年空间几何中的向量方法 .pdf
第一讲：空间几何中的向量方法-坐标运算与法向量一、空间向量的坐标运算1 若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则（1）112233(,)abab ab ab；（2）112233(,)abab ab ab；（3）123(,),aaaaR；（4）1 12233a ba ba ba b；（5）112233/,(0,)abab ab abbR；（6）1 122330aba ba ba b；（7）222123aa aaaa；（8）1 12233222222123123cos,aba ba ba ba babaaabbb.例 1 已知(2,3,5),(3,1,4),ab求,8,ab aba a b的坐标.2.若111222(,),(,),A xy zB xyz则212121(,)ABxx yy zz练习 1:已知 PA垂直于正方形ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB,PC 的中点，且 PA=AD=1，求向量MN的坐标.二、空间直角坐标系中平面法向量的求法1、方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。例1已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面 ABC 的法向量。解：设(,)nx y z，则由,nAB nAC得=0=0n ABn AC即220453=0 xyzxyz不妨设1z，得12=-1xy，取1(,1,1)2n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2.矢量积公式111111111222222222(,),(,),yzxzxyaxy zbxyzabyzxzxy其 中 行 列 式111221,22yzy zy zyz法向量取与向量ab共线的即可。用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写(2,2,1)(4,5,3)ab蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2 3 1 51就是向量ab的x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算234 12，作为ab的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算2 5422作为z坐标，所以(1,2,2)ab，可以取(1,2,2)n，它与前面方程法求得的1(,1,1)2n是共线向量。优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。例2已知(3,0,0)A,(0,4,0)B,(0,0,2)C，试求平面ABC 的一个法向量.练习：已知平面经过三点(1,2,3)(2 01)(32 0)ABC、，、，试求平面的一个法向量.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -第二讲：立体几何的向量方法-平行与垂直一、平行设直线,l m的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则（1）线线平行：/lm_;（2）线面平行：/l_;（3）面面平行：/_;例 1：四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC 的中点，求证：PAEDB/平面.二、垂直1、线线垂直设直线l的方向向量分别为123=,aa aa，设直线m的方向向量分别为123,bb b b，则lm_ 2、线面垂直设直线l的方向向量分别为123=,aa aa，设平面的法向量分别为123,uu uu，则l_ 3、面面垂直设平面的法向量分别为123,uu u u，设平面的法向量分别为123,vv v v，则_（一）证明线线垂直例 2：已知正三棱柱111ABCA B C的各棱长都为1，M 是底面上 BC 边上的中点，N 是侧棱1CC上的点，且11CNCC4，求证：1ABMN.变式1：已知正三棱柱111ABCA B C的各棱长都为1，若侧棱1CC的中点D，求证：11ABA D.（二）证明线面垂直名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -例 2：如图所示，在正方体1111ABCDA B C D中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为1CC的中点，求证：1A OGBD平面.变式训练2：如图所示，在正方体1111ABCDA B C D中，11EFD B1、分别是 BB，的中点，1EFB AC.求证：平面（三）证明面面垂直例3：在四面体ABBEFBC平面 ACD中，BCDBCCDBC,AB平面、分别是AC、AD 的中点，求证：平面BEFBC平面 A.变式训练3：在正棱锥P-ABC 中，三条側棱两两互相垂直，G 是三角形PAB 的重心，E、F分别是 BC、PB 上的点，且BE：FB=1:2，求证：平面GEFBC平面 P.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -第三讲：立体几何的向量方法-角度一、空间向量三种角的向量求解方法1、异面直线所成的角：设异面直线12,l l的方向向量分别为a和b，则1l与2l夹角满足_，其中的范围是 _.2、线面角：设直线l的方向向量为a和平面的法向量为n，则直线l与平面的夹角满足_，其中的范围是 _.3、二面角：设平面的法向量为n，设平面的法向量为m，则平面与平面所成二面角满足 _，其中的范围是 _.二、典型例题例 1：在Rt ABC中，90BCA，现将ABC沿着平面的法向量平移到111A B C的位置，已知1BCCACC，取11A B、11AC的中点1D、1F，求1BD与1AF所成角的余弦值.练习 1：正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，求11B C与面1AB C所成角的余弦值.例 3.在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PDBCD底面 A，PD=DC，E 是PC 的中点，作EFPBPBF,交于求二面角 C-PB-D 的大小.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -练习 2：在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60 AB2AD,PDABCD.底面(1)证明：PABD.(2)若 PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值.练习 3：在四棱锥P-ABCD，底面 ABCD 为矩形，PAABCDAPAB2底面，BC2 2E F,，分别是 AD，PC 的中点.(1)证明：PCBEF.平面(2)求平面 BEF 与平面 BAP 的夹角大小.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -第四讲：立体几何的向量方法-距离(1)点面距离的向量公式平面的法向量为n，点 P 是平面外的一点，点A 为平面内的一点，则点P 到平面的距离d等于 _;(2)线面、面面距离的向量公式平面/直线l，平面的方向量为n，MP点，l，平面与直线l间 的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d_;(3)异面直线的距离向量公式设向量n与异面直线ab、都垂直，,Ma Pb，则两异面直线ab、间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d_.例 1：正方形ABCD 的边长为 4，CG平面 ABCD,CG=2,E、F分别是 AB、AD 的中点，（1）求点 B 到平面 GEF 的距离；（2）求直线 BD 到平面 GEF 的距离.例2：直 三 棱 柱111ABCA B C的 侧 棱1AA=4，底面 三 角 形ABC 中，AC=BC=2，BCA90，E 是 AB 的中点，求异面直线CE 与1AB的距离.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -
