2022年新课标人教A版高一数学必修知识点总结 .pdf

精心整理精心整理高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：如 我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 （1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R|x-32 或x|x-32（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A的元素，就说 a 属于集合 A记作 aA，相反，a 不属于集合 A记作 aA 6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合 A与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A为集合 B的子集，记作 AB注意：有两种可能（1）A是 B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。反之:集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 AB或 BA 集合 A中有 n 个元素,则集合 A子集个数为 2n.2“相等”关系(5 5，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合 B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合 B，即：A=BABBA且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -精心整理精心整理任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 AB那就说集合 A是集合 B的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB同时 BA那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A交 B”)，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A并 B”)，即 AB=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质：AA=A，A=,AB=B A，AA=A，A=A,AB=B A.4、全集与补集（1）全集：如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U来表示。（2）补集：设 S是一个集合，A是 S的一个子集（即 AS），由 S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做S中子集 A的补集（或余集）。记作：CSA，即 CSA=x|xS且 xA（3）性质：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U(4)(CUA)(CUB)=CU(AB)(5)(CUA)(CUB)=CU(AB)二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间 的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.S CsA A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -精心整理精心整理(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(xA)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C上.即记为 C=P(x,y)|y=f(x),xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）将 y=f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如：书上P21例 5（2）y=f(x)和 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称。如1xxxyayaa与（3）y=f(x)和 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。如1logloglogaaayxyxx与、平移变换:由 f(x)得到 f(xa)左加右减；由 f(x)得到 f(x)a 上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射定义：一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合 A到 B的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合 B的对应，它与从 B到 A的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB来说，则应满足：（）集合 A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -精心整理精心整理在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(x A)称为 f 是 g 的复合函数。7函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。区间 D称为 y=f(x)的单调增区间；如果对于区间 D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是 减函数.区间 D称为 y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间 D内的任意 两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)（或 f(x1)f(x2)）。（2）图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x10（C为常数）时，()yf x与()yC f x的单调性相同；当 C0且 a12、指数函数的图象和性质0a1 图像性质定义域 R,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即 x=0时，y=1(2)在 R上是减函数(2)在 R上是增函数（3）当 x0 时,0y1;当 x1（3）当 x0 时,y1;当 x0时,0y1图象特征函数性质共性向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R+图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -精心整理精心整理到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当 x0时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当 x0时,0y0时，a,N 在 1 的同侧；当 b0且 a1；2.真数 N03.注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,loglneNN记为3、对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数 a幂底数对数 x指数真数 N幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0 特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式：logNaaN（二）对数的运算性质如果 a0，a 1，M0，N0有：1、logMNloglogaaaMN（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2、NMNMaaalogloglog两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3、loglognnaaMnM（R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”2)有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,)4)特别注意：NMMNaaalogloglog名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -精心整理精心整理注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa利用换底公式推导下面的结论abbalog1logloglogloglogabcabcddloglogmnaanbbm（二）对数函数1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且 a1 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a1)0a1 a1 图像性质定义域：（0，）值域：R 过点(1,0),即当 x1 时,y 0 在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当 x1时，y0 当 x=1时，y=0 当 0 x0 当 x1时，y0 当 x=1时，y=0 当 0 x1时，y0;当 a,b 不同在(0,1)内，或不同在(1,+)内时,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时,logab0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用 y=1去截图象得到对应的底数。、y=ax(a0 且 a1)与 y=logax(a0 且 a1)互为反函数，图象关于y=x 对称。5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.6 比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x 是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+）上是增函数特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数 y=f(x),使 f(x)=0的实数 x 叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与 x 轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 f(x)=0有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点3、零点定理：函数 y=f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)0,那么函数 y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得 f(c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0的根。4、函数零点的求法：求函数 y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)1）0，方程 f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程 f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3）0，方程 f(x)=0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点二、二分法1、概念：对于在区间 a,b 上连续不断且 f(a)f(b)0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间 a,b,验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)的中点 c;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -精心整理精心整理计算 f(c),若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0,则令 b=c（此时零点 x0(a,c)）若 f(c)f(b)0,则令 a=c（此时零点 x0(c,b)）(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0)指数函数：y=ax(a1)指数型函数：y=kax(k0,a1)幂函数：y=xn（n?N*)对数函数：y=logax(a1)二次函数：y=ax2+bx+c(a0)增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式(1)log2x2xx2(2)log2xx20）的根的分布两个根都在（m,n)内两个有且仅有一个在（m,n)内x1(m,n)x2(p,q)f(m)f(n)0两个根都小于 K 两个根都大于 K 一个根小于 K，一个根大于 K y x n m m n m n p q y x k k k 02()0()0bmnafmfn()0()0()0()0fmfnfpfq02()0bkafk02()0bkafk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -精心整理精心整理f(k)0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -