2022年2022年降落伞的选择数学建模作业 .pdf

降落伞的选择学院：电气工程学院专业：电气工程及其自动化姓名：徐永干学号：20124003 姓名：李聪学号：20123997 指导老师：黄光辉名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5 种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。首先，我们要确定阻力系数。通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用 matlab 插点作图进行数据拟合，得到半径为 3m，载重为 500kg的降落伞从 500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为 17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过 20m/s 为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932 元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6 个，其他半径的降落伞不予选购。最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为 2 米、2.5 米、3 米、3.5 米、4 米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为 l 的 16 跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3 米，载重 300 千克的降落伞从 500 米高度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -验数据。为了确保救灾物资顺利的到达地面，我们对降落伞的投放环境进行研究。我们发现风速和偏角是影响降落伞下降时绳索拉直时间的关键因素，因此我们对已知数据进行拟合，得到风速，偏角与降落伞绳索拉直时间的关系函数，在以确定降落伞的大小与投放高度的条件下，选择最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要 求 降 落 伞 落 地时 的 速 度 不 能 超 过20m/s。降落伞面为半径r 的半球面，用每根长为 l 的 16根绳索连接着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图所示。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径 r 决定；绳索费用由绳索总长度及单价 4 元/米决定；其他费用为200 元。降落伞在降落过程中受到空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重 300kg 的降落伞从 500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，是费用最低。半径 r/m 2 2.5 3 3.5 4 费用/元65 170 350 660 1000 表格 1 不同半径的降落伞伞面价格t/s 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x/m 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 表格 2 降落伞试验的时刻t 与高度 x 的观测值mrl名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -问题的分析这是一个有约束的优化问题，目标函数是降落伞的总费用，为了实用上的方便，不妨只选一种规格（伞半径）的降落伞，于是总费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积，而你决策变量是降落伞数量（记作n）和每个伞的半径r。虽然 r 和 n 都只能取有限个离散值，但是，对n 和 r 的各种组合进行枚举计算，逐个验算是否满足约束条件，比较费用，是相当繁琐的，并且缺乏一般性。我们宁可先将 n 和 r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求做适当调整。约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s，为表述这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程，而方程中的重要参数空气阻力系数又要通过测量数据（表格2）作拟合得到。显然，由于测量数据是时间和高度，所以需要找出速度和高度之间的关系。确定费用函数的关键是找出伞面价格与伞半径的关系，它可以根据所给数据（表格 1）用适当的函数来拟合，观察这些数据的散点图，用幂函数拟合比较合适。建立降落伞下落的微分方程时，关键是对所受阻力的分析，显然，阻力随着降落速度和伞面积的增加而变大。模型假设（1）伞面价格 c1与伞半径 r 的关系，用幂函数c1=arb（a,b 为待定参数）按照表格 1 数据来拟合；载重m位于球心下方面处，每根绳索的长度l=2r。（2）降落伞在空中只受到向下的重力和向上的空气阻力的作用，阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比，阻力系数用表格2 数据作拟合；降落伞初速为零。符号说明n降落伞数目m所投物的质量x(t)物体在 t时刻的高度名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -v(t)物体在 t时刻的速度k阻力系数s降落伞的面积g重力加速度t时间r降落伞的半径C降落伞的总费用1C每个降落伞的三面价格2C每个降落伞的绳索价格3C其他费用模型建立（1）目标函数 n 个降落伞的总费用，记作C。每个降落伞的费用由伞面价格c1=arb,绳索价格rrc5.9021642和其他费用 c3=200组成，于是)2005.90()(321rannCrcccb（20）（2）伞的速度和高度记时刻 t 伞的速度为 v(t),高度为 x(t),空气阻力为 kr2v,k 是待定参数，按照牛顿第二定律，v(t)满足,2vkrmgdtdvm（21）,0)0(v名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -其中，m=2000/n（一个降落伞的载重），g=9.8m/s2,方程（21）的解为)2000exp(1(200022tnkrnkrgv（22）对速度函数积分，并注意到t=0 时 x=500，得到伞的高度 x(t)为)2000exp(1(20002000500224222tnkrnrkgtnkrgx（23）（3）约束条件降落伞落地速度不超过20m/s,即当（23）式的 x=0时的解得的根 t,代入（22）式后满足20,v(0)，此外还有,1n的附加条件，整个优化模型可记作,1,20)2000exp(1(20000)2000exp(1(20002000500.)2005.90(min22224222ntnkrnkrgtnkrnrkgtnkrgtsrarnCb（24）当参数 a,b,k用所给数据拟合确定后，即可求解模型（24）得到 n，r（实数值），然后再作适当调整。模型求解（1）参数估计a，b 的估计：先将然后对于表 14.5 数据用线性最小二乘法和MATLAB 软件编程 1 得到 a=4.3039，b=3.9779 与数据的拟合效果见图14.5.42r,lnlnln11rbacarcb转化为.42r名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -图表1 由表 14.5 数据拟合参数a,b下面取 a=4.3 b=4 K 的估计：用表 14.6 数据估计 k，注意到作降落试验时n=1，m=300，r=3，于是（23）式应改为)1003exp(1(910310050024tkkgtkgx（25）有表 14.6 数据利用 MATLAB 软件作非线性最小二乘法拟合，编程2：得到 k=18.4583 与数据的拟合效果见图14.6.下面取 k=18.5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 18 页 -图表2 由表 14.6 数据拟合参数k（2）优化模型求解将参数估计得到的a=4.3，b=4，k=18.5 代入优化模型（24），用 MATLAB的优化工具箱求解编程 3得到 x=6.0072 2.9695 27.0408 c=4.8245e+003 根据题目要求，将结果调整为 n=6，r=3，验证落地速度是否不超过20m/s,为此，先由(23)求解非线性方程：)2000exp(1(200020005000224222tnkrnrkgtnkrg（26）再将得到的 t 代入（22）式计算出落地速度，编程4：得到 t=27.4867 v=19.6196 落地速度符合要求。最后，按照（20）式计算总费用（其中c1 用实际价格 350 元），得到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 18 页 -C=6*（350+90.5*3+200）=4920（元）。添加问题风速偏向与风速大小将影响降落伞下降过程中的拉直时间，从而影响降落伞落地时的速度大小，请分析出风向与风速对拉直时间的关系，确定适合利用降落伞空投物资的风速范围以及风速的偏向。问题分析降落伞拉直过程是降落伞开伞过程的一个重要阶段，早起拉直过程动力学模型，都是假设伞系统和气流方向一致，处于理想的直线状态。但实际上降落伞在拉直过程中，会收到各种因素的影响，导致降落伞的拉直方向几乎不可能与气流速度方向一致。当在拉直过程中受到风的影响时，拉直时间会随之改变，从而影响落地的速度，为了保证物资可以安全的抵达地面，我们需要建立风速与风向对降落伞拉直时间的关系模型，从中解出适合利用降落伞空投物资的风速与风向范围。由于限制条件要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s，以及上面已经求出的最优解的限制，我们可以得出在高度H处必须将降落伞打开，于是对拉直时间T做出了要求，即221500gTH。所以我们需要先利用已知的数据，做出模型，在221500gTH的范围内，求解出风速与风向的范围模型假设（1）在降落伞拉直打开的过程中，我们假设此时降落伞做的是自由落体运动，即此时不受阻力的影响。（2）假设在伞面打开以后，降落伞的运动过程与上一问中的运动情况完全相同。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 18 页 -符号说明T拉直时间H最低开伞高度风向偏角v风速大小x(t)物体在 t时刻的高度g重力加速度约束条件上一问题中，在不加拉直时间的情况下，我们求出费用最低的最优解，此时 k=18.5，n=6，r=3，代入下式中：)2000exp(1(200022tnkrnkrgv)2000exp(1(20002000224222tnkrnrkgtnkrgHx（27）假设落地速度v=20m/s，我们可以解出t=27.0860s,H-=491.6858m 又因为拉直过程做的是自由落体运动，有221500gTH（28）解得，sT3026.1（29）模型求解(1)变量说明在该模型中，我们只研究风速偏向，以及风速大小对拉直时间的影响，其他外界环境因素可先忽略。在此，我们对风速偏向做出三维图解，如下图所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 18 页 -(2)数据分析经过网络数据统计，我们得到表1-1、表 1-2 表 1-1 拉直时间随风速偏角的变化偏角风速0204060801001201401601800m/s 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 30m/s 1.37 1.35 1.29 1.22 1.16 1.15 1.18 1.19 1.20 1.21 60m/s 1.50 1.40 1.26 1.10 0.91 0.82 1.07 1.14 1.18 1.19 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 18 页 -风速(m/s)051015202530拉直时间(s)/0 度顺风1.271.281.31.32 1.341.351.37拉直时间(s)/90 度顺风1.271.261.251.241.211.181.15拉直时间(s)/180 度逆风1.271.261.251.241.231.221.22风速(m/s)35 40 45 50 55 60 拉直时间(s)/0 度顺风1.4 1.43 1.45 1.47 1.49 1.5 拉直时间(s)/90 度顺风1.11 1.08 1.05 1.01 0.98 0.95 拉直时间(s)/180 度逆风1.21 1.21 1.21 1.21 1.20 1.20 表 1-2 拉直时间随风速大小的变化利用 MATLAB，导入数据得到图1-1、图 1-2 图 1-1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 18 页 -图 1-2(3)数据处理风速偏向与拉直时间关系由图 1-1 我们可以看出，风速0m/s 与风速 60m/s 是两个边界图像，即0m/s60m/s之间的风速值所对应的图像都在0m/s 图像和 60m/s图像之间，因此我们只需考虑 0m/s 和 60m/s 两种情况即可。（a）风速大小为 0m/s时名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 18 页 -由散点图可知拟合函数为三角函数，我们可以假设风速偏向与拉直时间的关系为：)s i n()c o s(110wbwaat（30）将数据代入 matlab 软件中进行拟合（编程 5），可以得到：8365.04954.00005476.0507.1110wbaa利用 matlab软件，进行误差分析,得到：方差=0.02482 标准差=0.05955 根据方差和标准差分析，可知误差相对较小，因此我们可以得到风速偏向于拉直时间之间的函数关系为：当风速为 0m/s 时)8 3 6 5.0s i n(4 9 5 4.0)8 3 6 5.0c o s(0 0 0 5 4 7 6.00 5 7.1t根据式（29），即sT3026.1，我们排除偶然误差等因素，可以看出当风速大小为 0m/s时，偏向角范围是0180，即偏向角可以取任意值。（b）风速大小为 60m/s时名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 18 页 -由散点图可知拟合函数为三角函数，我们可以假设风速偏向与拉直时间的关系为：)sin()cos(110wbwaat（31）将数据代入 matlab 软件中进行拟合（编程 5），可以得到：94.101047.0992.5264.11510wbeaa利用 matlab软件，进行误差分析,得到：方差=0.001087 标准差=0.01246 根据方差和标准差分析，可知误差相对较小，因此我们可以得到风速偏向于拉直时间之间的函数关系为：当风速为 60m/s时)94.1sin(01047.0)94.1cos(992.5264.15et根据式（29），即sT3026.1，我们可以得到风速为60m/s时，风速偏向范围是:26.8717180名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 18 页 -风速大小与拉直时间关系由图 1-2 我们可以看出，拉直时间t 与风速大小 v 成正比关系，有t=av+b（30）图中，0顺风呈递增图像，90侧风和 180逆风都成递减图像，因此我们只需对 0顺风的情况进行研究，若0顺风时满足约束条件的要求，则其他偏向角也可满足条件。图 1-3 利用上面所提供的数据，利用 matlab，将数据进行拟合（编程 6），如图 1-3我们可以得到：a=0.0041 b=1.2593 利用 matlab软件，进行误差分析,得到：方差=0.0005863 标准差=0.0073 拟合图像如图 1-3 所示即可得到拉直时间t 与风速大小 v 之间的函数关系为：t=0.0041v+1.2593（31）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 18 页 -根据式（29），即sT3026.1，我们可以得到风速的大小范围是:（4）总结说明为了使物资安全抵达地面，根据最后计算结果，我们可以得到适合空投物资的环境为：风速偏角范围：26.8717180风速大小范围：smv/5610.10附录：编程1：r=2 2.5 3 3.5 4;c1=65 170 350 660 1000;lgc1=log(c1);lgr=log(r);A=polyfit(lgr,lgc1,1);b=A(1);a=exp(A(2);rr=2:0.01:4;cc1=a*rr.b;plot(r,c1,+,rr,cc1),grid 编程2：function f=sanf(k,t)f=500-980*t/3/k+98000*(1-exp(-3*k*t/100)/9/k2;t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30;x=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1;k0=10;k=lsqcurvefit(sanf,k0,t,x);tt=0:0.1:30;f=500-980*tt/3/k+98000*(1-exp(-3*k*tt/100)/9/k2;plot(t,x,+,tt,f),grid 编程3：function c=sanc(x)%目标函数,x(1)=n,x(2)=r c=x(1)*(4.3*x(2)4+90.5*x(2)+200);function cc,cceq=sancc(x)%约束条件，x(3)=t k=18.5;p=19600/k/x(1)/x(2)2;q=1-exp(-k*x(1)*x(2)2*x(3)/2000);cc=p*q-20;%不等式约束cceq=500-p*x(3)+p2*q/9.8;%等式约束名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 18 页 -x0=3,4,30;v=1,2,0;u=10,4,50;x,c=fmincon(sanc,x0,v,u,sancc)编程4 function ff=sany(t,k,n,r)p=19600/k/n/r2;q=1-exp(-k*n*r2*t/2000);ff=500-p*t+p2*q/9.8;k=18.5;n=6;r=3;t0=30;t=fzero(sany,t0,k,n,r)p=19600/k/n/r2;q=1-exp(-k*n*r2*t/2000);v=p*q 编程5：v=0 pi/9 2*pi/9 pi/3 4*pi/9 pi/2 5*pi/9 2*pi/3 7*pi/9 8*pi/9 pi;t=pianjiao(4,:);t1=pianjiao(2,:);再利用 cftool工具里的三角函数拟合进行拟合编程6v=fengsu(1,:);t=fengsu(2,:);plot(v,t)polyfit(v,t,1)hold on t1=0.0041*v+1.2593;plot(v,t1,r*-)%xlable(风速偏角/();%x轴注解%ylable(拉直时间/s);%y轴注解title(拉直时间随风速的变化);%图形标题legend(原始数据,拟合函数);%图形注解grid on;%显示网格线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 18 页 -