2022年朝阳区高三一模数学试题及答案 .pdf

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2012.3（考试时间120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40 分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数10i12iA.42iB.42iC.24iD.24i2.已知平面向量,a b满足()=3aa+b，且2,1=ab，则向量a与b的夹角为A.6B.3C.3D.63.已知数列na的前n项和为nS，且21()nnSanN，则5aA.16B.16C.31D.324.已知平面，直线,a b l，且,ab，则“la且lb”是“l”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5.有 10 件不同的电子产品，其中有2 件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3 次就结束测试的方法种数是（）A.16B.24C.32D.486.已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有(2)()f xf x.当01x时，2()f xx.若直线yxa与函数()yf x的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是A.0B.0或12C.14或12D.0或147.某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70 元，年销售量为11.8 万件.从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的%x的管理费（即销售100 元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%xx元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14 万元，则x的取值范围是A.2B.6.5C.8.8D.108.已知点集22(,)48160Ax y xyxy，(,)4,Bx yyxmm是常数，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为,M N.若点(,4)D m在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则DMN的面积的最大值是A.1B.2C.2 2D.4第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9.已知双曲线的方程为2213xy，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为 .名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -10.已知某几何体的三视图如图所示，则 该 几 何 体 的 体 积为 .（第10 题图）（第 11 题图）11.执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是.12.在极坐标系中，曲线2 3 sin和cos1相交于点,A B，则线段AB的中点E到极点的距离是.13.已 知 函 数213(),2,()24log,02.xxf xxx若 函 数()()g xf xk有 两 个 不 同 的 零 点，则 实 数k的 取 值 范 围是.14.已知ABC中，90,3,4CACBC.一个圆心为M，半径为14的圆在ABC内，沿着ABC的边滚动一周回到原位.在滚动过程中，圆M至少与ABC的一边相切，则点M到ABC顶点的最短距离是，点M的运动轨迹的周长是.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15.（本小题满分13 分）已知函数()cos()4f xx.（）若72()10f，求sin2的值；（II）设()2g xfxfx，求函数()g x在区间,6 3上的最大值和最小值.16.（本小题满分13 分）某次有 1000 人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85 分及其以上为优秀.（）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a,b 的值；区间75，80)80，85)85，90)90，95)95，100 人数50 a 350 300 b（II）现在要用分层抽样的方法从这1000 人中抽取40 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（）在（II）中抽取的40 名学生中，要随机选取2 名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求 X的分布列与数学期望.17.（本小题满分14 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，=90ABD，EB平面ABCD，EF/AB，=2AB，=3,=1EBEF，=13BC，且M是BD的中点.（）求证：EM/平面ADF；85 80 90 100 95 O频率组距分数75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 2 1 1 3 3 正视图侧视图俯视图2 1 F E 开始输入 kS=0，i=1 1+(1)SSi ii=i+1?ik输出 S 结束是否名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -（）求二面角D-AF-B的大小；（）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分13 分）设函数2e(),1axf xaxR.（）当1a时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数)(xf单调区间.19.（本小题满分14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点分别为1(2,0)F，2(2,0)F.点(1,0)M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆C的方程；（）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(,)(3)m n m.过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为1k，2k，3k，若1322kkk，试求,m n满足的关系式.20（本小题满分13 分）已知各项均为非负整数的数列001:,nAaaaL()nN，满足00a，1naanL 若存在最小的正整数k，使得(1)kak k，则可定义变换T，变换T将数列0A变为数列00111():1,1,1,0,kknT AaaaaaLL 设1()iiAT A，0,1,2iL（）若数列0:0,1,1,3,0,0A，试写出数列5A；若数列4:4,0,0,0,0A，试写出数列0A；（）证明存在唯一的数列0A，经过有限次T变换，可将数列0A变为数列,0,0,0nn个L142 4 3；（）若数列0A，经过有限次T变换，可变为数列,0,0,0nn个L142 4 3设1mmmnSaaaL，1,2,mnL，求证(1)1mmmSaSmm，其中1mSm表示不超过1mSm的最大整数北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2012.3 一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A C B B C D D B 二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -答案2 331323423(,1)4249三、解答题：（15）（本小题满分13 分）解：（）因为72()cos()410f，所以272(cossin)210，所以7cossin5.平方得，22sin2sincoscos=4925，所以24sin 225.6 分（II）因为()2g xfxfx=cos()cos()44xx=22(cossin)(cossin)22xxxx=221(cossin)2xx=1cos22x.10 分当,6 3x时，22,33x.所以，当0 x时，()g x的最大值为12；当3x时，()g x的最小值为14.13 分（16）（本小题满分13 分）解：（）依题意，0.045 1000200,0.025 1000100ab.4 分（）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则350300100401000 x，解得：x=30，即其中成绩为优秀的学生人数为30 名.7 分（）依题意，X的取值为0，1，2，2102403(0)52CP XC，1110302405(1)13C CP XC，23024029(2)52CP XC，所以 X 的分布列为X0 1 2 P3525132952352930125213522EX，所以 X的数学期望为32.13 分（17）（本小题满分14 分）证明：（）取AD的中点N，连接MN,NF.在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1=2MN/AB,MNAB，又因为1=2EF/AB,EFAB，所以MN/EF且MN=EF.所以四边形MNFE为平行四边形，N C A F E B M D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -所以EM/FN.又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM/平面ADF.4 分解 法 二：因 为EB平 面ABD，ABBD，故 以B为 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系-B xyz.1 分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BAD3(3,-2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2CEFM（）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=uuuruuu r，=(0,-1,3)AFuuu r.2 分设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn.由0,0,ADAFnnuuu ruuu r得323x-y=0,-y+z=0.令y=3，则(2,3,3)n.3 分又因为3(,0,-3)(2,3,3)=3+0-3=02EMnuuur，所以EMnuuur，又EM平面ADF，所以/EM平面ADF.4 分（）由（）可知平面ADF的一个法向量是(2,3,3)n.因为EB平面ABD，所以EBBD.又因为ABBD，所以BD平面EBAF.故(3,0,0)BDuuu r是平面EBAF的一个法向量.所以1cos=2BDBD,BDnnnuuu ruuu ruuu r，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60.10 分（）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30.不妨设(0,0,t)P（03t），则=(3,-2,-),=(0,-1,3)PCAFtuuu ruuu r.所以2-3cos22PC AFtPC,AFPCAFt+13uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r，由题意得2-33222tt+13，化简得4335t，解得3504 3t.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30.14 分（18）（本小题满分13 分）解：因为2e(),1axf xx所以222e(2)()(1)axaxxafxx.（）当1a时,2e()1xf xx,222e(21)()(1)xxxfxx,所以(0)1,f(0)1f.所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为10 xy.4 分（）因为222222e(2)e()(2)(1)(1)axaxaxxafxaxxaxx，5 分（1）当0a时,由()0fx得0 x；由()0fx得0 x.所以函数()fx在区间(,0)单调递增,在区间(0,)单调递减.6 分（2）当0a时,设2()2g xaxxa，方程2()20g xaxxa的判别式2444(1)(1),aaa 7 分z C A F E B M D x y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -当01a时，此时0.由()0fx得211 axa,或211axa；由()0fx得221111aaxaa.所以函数()fx单调递增区间是211(,)aa和211(,)aa,单调递减区间221111(,)aaaa.9 分当1a时，此时0.所以()0fx，所以函数()f x单调递增区间是(,).10 分当10a时，此时0.由()0fx得221111aaxaa；由()0fx得211axa,或211 axa.所以当10a时,函数()f x单调递减区间是211(,)aa和211(,)aa,单调递增区间221111(,)aaaa.12 分当1a时,此时0，()0fx，所以函数()f x单调递减区间是(,).13 分（19）（本小题满分14 分）解:（）依题意，2c，1b，所以223abc.故椭圆C的方程为2213xy.4 分（）当直线l的斜率不存在时，由221,13xxy解得61,3xy.不妨设6(1,)3A，6(1,)3B，因为13662233222kk，又1322kkk，所以21k，所以,m n的关系式为213nm，即10mn.7 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x.将(1)yk x代入2213xy整理化简得，2222(31)6330kxk xk.设11(,)A x y，22(,)B xy，则2122631kxxk,21223331kx xk.9 分又11(1)yk x，22(1)yk x.所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)yyyxyxkkxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -122112122(1)(3)2(1)(3)3()9k xxk xxx xxx121212122(42)()6123()9kx xkxxkx xxx222222223362(42)6123131336393131kkkkkkkkkkk222(126)2.126kk 12 分所以222k，所以2213nkm，所以,m n的关系式为10mn.13 分综上所述，,m n的关系式为10mn.14 分（20）（本小题满分13 分）解：（）若0:0,1,1,3,0,0A，则1:1,0,1,3,0,0A；2:2,1,2,0,0,0A；3:3,0,2,0,0,0A；4:4,1,0,0,0,0A；5:5,0,0,0,0,0A若4:4,0,0,0,0A，则3:3,1,0,0,0A；2:2,0,2,0,0A；1:1,1,2,0,0A；0:0,0,1,3,0A 4 分（）先证存在性，若数列001:,nAaaaL满足0ka及0(01)iaik，则定义变换1T，变换1T将数列0A变为数列10()TA：01111,1,1,kknaaak aaLL易知1T和T是互逆变换 5 分对于数列,0,0,0nL连续实施变换1T（一直不能再作1T变换为止）得,0,0,0nL1T1,1,0,0nL1T2,0,2,0,0nL1T3,1,2,0,0nL1TL1T01,na aaL，则必有00a（若00a，则还可作变换1T）反过来对01,na aaL作有限次变换T，即可还原为数列,0,0,0nL，因此存在数列0A满足条件下用数学归纳法证唯一性：当1,2n是显然的，假设唯一性对1n成立，考虑n的情形假 设 存 在 两 个 数 列01,naaaL及01,nb bbL均 可 经 过 有 限 次T变 换，变为,0,0nL，这 里000ab，1212nnaaabbbnLL若0nan，则由变换T的定义，不能变为,0,0nL；若nan，则120naaaL，经过一次T变换，有0,0,0,nLT1,1,1,0L由于3n，可知1,1,1,0L（至少 3 个 1）不可能变为,0,0nL所以0na，同理0nb令01,naaaLT121,na aaL，01,nb bbLT121,nb bbL，则0nnab，所以1211naaanL，1211nbbbnL因为110,naaLT有限次-1,0,0nL，110,nbbLT有限次-1,0,0nL，故由归纳假设，有iiab，1,2,1inL再由T与1T互逆，有01,naaaLT111,0naaL，01,nb bbLT111,0nbbL，所以iiab，1,2,inL，从而唯一性得证 9 分（）显然iai(1,2,)inL，这是由于若对某个0i，00iai，则由变换的定义可知，0ia通过变换，不能变为0由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -变换T的定义可知数列0A每经过一次变换，kS的值或者不变，或者减少k，由于数列0A经有限次变换T，变为数列,0,0nL时，有0mS，1,2,mnL，所以mmSmt(mt为整数)，于是1mmmSaS1(1)mmamt，0mam，所以ma为mS除以1m后所得的余数，即(1)1mmmSaSmm 13 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -