2022年2022年给学生--新课标高中数学必修第二章基本初等函数精讲 .pdf

第 1 讲 2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.知识要点：1.若nxa，则 x 叫做 a 的 n 次方根，记为na，其中 n1，且nN.n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,nnN且）有如下恒等式：()nnaa；,|,nnanaan为奇数为偶数；npnmpmaa，（a0）.2.规定正数的分数指数幂：mnmnaa（0,1am nNn且）；11mnmnmnaaa.例题精讲：【例 1】求下列各式的值：（1）3nn（）（*1,nnN且）；（2）2()xy.解：【例 2】已知221na，求33nnnnaaaa的值.解：【例 3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a ba ba b；（2）3322114423()a babba ba（a0，b0）；（3）243819.解：点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例 4】化简与求值：（1）64264 2；（2）11111335572121nn.解：点评：形如AB的双重根式，当2AB是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧。而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第 2 小题也体现了一种消去法的思想。第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 23 页 -第 2 讲 2.1.1 指数与指数幂的运算基础达标1化简1327()125的结果是（）.A.35B.53C.3 D.5 2下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）.A.12()(0)xxxB.1263(0)yyyC.33441()(0)xxxD.133(0)xx x3下列各式正确的是（）.A.35351aaB.3322xxC.11 1111()82 4824aaaaD.112333142(2)12xxxx4计算10()02(4)12(15)221，结果是（）.A.1 B.2 2C.2D.1225化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)，结果是（）.A.11321(12)2B.1132(12)C.13212D.1321(12)26化简36639494()()aa的结果是.7计算2110332464()(5.6)()0.125927.能力提高8化简求值：（1）211132221566()(3)13a ba ba bg；（2）34a aa.答：9已知1122xx=3，求下列各式的值：（1）1xx；（2）33222223xxxx.解：探究创新10已知函数11331()()5f xxx，11331()()5g xxx.（1）判断()f x、()g x的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)ffg和(9)5(3)(3)ffg，并概括出涉及函数()f x和()g x对所有不为0 的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明.答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 23 页 -第 3 讲 2.1.2 指数函数及其性质（一）学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.知识要点：1.定义：一般地，函数(0,1)xyaaa且叫做指数函数（exponential function），其中x 是自变量，函数的定义域为R.2.以函数2xy与1()2xy的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为(0,)；当0 x时，1y，即图象过定点(0,1)；当01a时，在 R 上是减函数，当1a时，在 R 上是增函数。例题精讲：【例 1】求下列函数的定义域：（1）132xy；（2）51()3xy；（3）1010010100 xxy.解：【例 2】求下列函数的值域：（1）2311()3xy；（2）421xxy解：【例 3】（05 年福建卷.理 5 文 6）函数()x bf xa的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（）.A1,0abB1,0abC01,0abD01,0ab解：点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围.也可以取x=1 时的特殊点，得到01baa，从而 b 0,a1）知识要点：1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（inverse function）.互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称.2.函数(0,1)xyaaa与对数函数log(0,1)ayxaa互为反函数.3.复合函数()yfx的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求(),()yf uux的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性.例题精讲：【例 1】讨论函数0.3log(32)yx的单调性.解：【例 2】（05 年山东卷.文 2）下列大小关系正确的是（）.A.30.440.43log 0.3B.30.440.4log 0.33C.30.44log 0.30.43D.0.434log 0.330.4解：【例 3】指数函数(0,1)xyaaa的图象与对数函数log(0,1)ayx aa的图象有何关系？解：点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来.这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数xya与log(0,1)ayxaa互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线yx对称.【例 4】2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量 m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于 x 的函数关系式为：ln()ln(2)4ln 2(0)ykmxmk其中.当燃料重量为(1)em吨（e 为自然对数的底数，2.72e）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s与燃料重量x 吨之间的函数关系式()yf x；（2）已知该火箭的起飞重量是544 吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题.代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 23 页 -第 14 讲 2.2.2 对数函数及其性质（二）基础达标1函数1lg1xyx的图象关于（）.A.y 轴对称B.x 轴对称C.原点对称D.直线 yx 对称2函数212log(617)yxx的值域是（）.A.RB.8,)C.(,3D.3,)3（07 年全国卷.文理 8）设1a，函数()logaf xx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12，则a（）.A.2B.2 C.2 2D.4 4图中的曲线是logayx的图象，已知a的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,C CC C的a依次为（）.A.2，43，15，310B.2，43，310，15C.15，310，43，2D.43，2，310，155下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（）.A.12log(1)yxB.22log1yxC.21logyxD.20.2log(4)yx6 函数2()lg(1)f xxx是函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7函数xya的反函数的图象过点(9,2)，则 a 的值为.能力提高8已知6()log,(0,1)af xaaxb，讨论()f x的单调性.解：0 x C1 C2 C4 C3 1 y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 23 页 -9我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度I 用瓦/平方米（2/Wm）表示.但在实际测量中，常用声音的强度水平1L表示，它们满足以下公式：1010lgILI（单位为分贝），10L，其中1201 10I，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端.回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是1221 10/W m，耳语的强度是1021 10/W m，恬静的无限电广播的强度为821 10/Wm.试分别求出它们的强度水平.（2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50 分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解：探究创新10 已知函数()log(1),()log(1)aaf xxg xx其中(01)aa且（1）求函数()()f xg x的定义域；（2）判断()()fxg x的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f xg x成立的x的集合.解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 23 页 -第 15 讲 2.3 幂函数学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1.幂函数的基本形式是yx，其中x是自变量，是常数.要求掌握yx，2yx，3yx，1/2yx，1yx这五个常用幂函数的图象.2.观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)上是增函数.（2）当0时，图象过定点(1,1)；在(0,)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数yx的图象，在第一象限内，直线1x的右侧，图象由下至上，指数由小到大.y轴和直线1x之间，图象由上至下，指数由小到大.例题精讲：【例 1】已知幂函数()yf x的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：【例 2】已知幂函数6()myxmZ与2()myxmZ的图象都与x、y轴都没有公共点，且2()myxmZ的图象关于y 轴对称，求m的值解：【例 3】幂函数myx与nyx在第一象限内的图象如图所示，则（）.A101nmB1,01nmC10,1nmD1,1nm解：点评：观察第一象限内直线1x的右侧，结合所记忆的分布规律.注意比较两个隐含的图象1yx与0yx.【例 4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等.若改造到面积的一半时，所用时间需10 年.已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22.（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留24am的老房子开辟新的改造途径.今后最多还需平改坡多少年？解：点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数.体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 23 页 -第 16 讲 2.3 幂函数基础达标1如果幂函数()f xx的图象经过点2(2,)2，则(4)f的值等于（）.A.16 B.2 C.116D.122下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（）.A.1yxB.12yxC.1()3xyD.2215yxx3设120.7a，120.8b，c3log 0.7，则（）.A.cbaB.cabC.abcD.ba1()2xm恒成立，求实数m的取值范围解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 23 页 -